合理添加平行线构造相似三角形

E A F
D
C
相似三角形 添平行线构造相似三角形的基本图形。
E A F M
若点D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3, 试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//BC,交AC于点M
C
B
D
1.利用FM平行截三角形两边可 得到哪种相似的基本图形？
E 2a
A F 2b M F 2b 3a B 10b C D 5b C M
A
E D C
图1
用一用
添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。 求:AF:FB的值 A 证法二：过点D作DG∥AB交CF于G点，
F E B D
图1-2
G C
用一用
添平行线构造相似三角形的基本图形。
相似三角形
E
添平行线构造相似三角形的基本图形。 若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
A
试求AF:FB的值.
F
B
D
C
你还有其他方案吗？
相似三角形
E A F
添平行线构造相似三角形的基本图形。
E A E E
A
M F
A F
M
F
MBiblioteka Baidu
B
D
C B
D
M
CB
D
C B
D
C
E
A F
E A F
M
M
B
2.可写出图中的相似三角形吗？
3.怎么将两个图形顺利过渡呢？
相似三角形
E
添平行线构造相似三角形的基本图形。 若D为BC中点,ED交AB于点F, 且EF:FD=2:3,
A
F
试求AF:FB的值.
解：过点F作FM//AC,交BC于点M
B
D
M
C
E A F 2a F 3a B 8b M 2bC D M C 3b 2b
“A”型相似
m 即： 13 3 m 4 解得： m 125 36
3
13 m 4 5
B B
F F F
.O
C C
(1) 则⊿ 若BC=6,AF=5, BF 的长吗? ACF∽ ⊿你能求出 ABC∽ ⊿ CBF (2) BC是圆O的切线，切点为C. (3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD² =AD×BD BC² =BD×AB AC² =AD×AB
D
C
B
D
C
用一用
添平行线构造相似三角形的基本图形。
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。 求:AF:FB的值。
证法一：过点D作DG∥CF交AB于G点， ∵DG∥CF ∴△BDG∽△BCF ∵AD是△ABC的中线 ∴BD:BC=BG:BF=1:2 F ∴BG=FG G ∵DG∥EF B ∴△AEF∽△ADG ∴AE:AD=AF:AG ∵ AE:ED = 4:1 ∴AF:FG=4:1 ∴AF:FB=4:2=2:1
相似三角形
添平行线构造相似三角形的基本图形。
例：若点D为BC中点,ED交AB于点F,且 EF:FD=2:3, 试求AF:FB的值.
1. △AFE和△BFD相似吗？ 2.题目中有其他相似三角形吗？ 3.能构造涉及AF和BF(或AB） B 的相似三角形吗？ 4.利用平行线构造相似三角形的 基本图形，能动手试试吗？
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条
直线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得的 三角形与原三角形相似吗？
基本图形1
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A 型
A M E D N
B M D
C E
N
S型
如果用直线MN去截AB与AC边所在直线呢？
A
F
E D 图1-3 G C
B
小结：
这节课你学到了什么？
合理添加平行线
构造相似三角形
M E D N
A 型
S型
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
基本图形2
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ ACF ∽ ABC. ⊿ BCF ∽⊿ ⊿ BAC.
基本图形2
A A A
当∠BCF＝ ∠A 时， ⊿BCF∽ ⊿BAC.
合理添加平行线
构造相似三角形
练一练
M
E
b
a 2a 2b
D
N
b
H
已知:MN∥BC,过点D作DH∥EC交BC延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形? ⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH 1： 2 (2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=_______; 2： 3 (3)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
y A
D B(-3,0) O C (1,0) x
y
A
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
BP BQ BA BD 13 3 m m 4 即： 13 5 3 4
则
D C (1,0) x
B(-3,0) Q O Q tan∠ABC=
3 4
解得： m
25 9
有公共角∠B,
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则
BP BQ BD BA
tan∠ABC=
3 4
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC ∴∠CAD＝∠ABC 3 ∴tan∠CAD＝∠ABC= 4 ∵BC=4 ∴AC=BC· tan ∠ABC=3 3 ∴CD=AC· tan ∠CAD=3× = 4 9 13 ∴OD=OC+CD=1+ = 4 4 13 ∴D( ,0) 4
9 4
用一用
PP
练习1．已知：如图1，过△ABC的顶点C作一条直线与 中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1。 求:AF:FB的值
证法三：过B点作BG∥CF交AD的延长线于点G（如图1-3）， BG∥CF,则∠GBD=∠ECD 在△BDG和△CDE中 ∵∠BDG=∠CDE， BD=CD ∠GBD=∠ECD ∴△BDG≌△CDE ∴DG=DE