圆心角定理汇总

圆心角定理

(弧、弦、圆心角关系定理)

基本容：

1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：

⑴前提：在同圆或等圆中；

⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：

1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说确的个数是（）

①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；

④所对的弦心距等于所对的弦心距。

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，在两半径不同的同心圆中，?

∠

∠60

AOB，则（）A．B．

C．的度数=的度数D．的长度=的长度

3．下列语句中，正确的有（）

（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；

（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

4．已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为．5．在⊙O中，的度数240°，则的长是圆周的份．

概念的延伸及其基本应用：

1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA

∠等于另一圆心角COD

∠的2倍，则下列式子中能成立的是（）

2．在同圆或等圆中，如果，则AB与CD的关系是（）A．CD

AB2

>B．CD

AB2

=C．CD

AB2

AB=

（2题图）

3．在⊙O 中，圆心角?=∠90AOB ，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（）

A ．24

B ．28

C ．24

D ．16

4．在⊙O 中，两弦CD AB <，OM ，ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM ，ON 的关系是（） A ．ON OM >

B ．ON OM =

C ．ON OM <

D ．无法确定

5．已知：⊙O 的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3

，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm ． 6．如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，

的度数为45°，则∠COD 的度数为．

典型例题精析：

例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和

的度数.

解：连结OC ，

在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴

的度数为70°，

∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴

的度数为20°.

说明：连结OC ，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识. 例题2、如图，已知：在⊙O 中，

，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，

并说明理由.

分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下：

如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’

∵

，∴，

∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD

又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD，即AB<2CD.

说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。 ②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2

可得

∠AOB=2∠COD 是正确的，但由

得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的迁移

能力.

例题3、如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：=

A C

O D

D C

（6题图）

（例题1图）

（例题2图）

（例题4图）

（例题5图）

分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ，

∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴=

证法二：连结OC 、OD ，

∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=2

BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，

∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ，

∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴

证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=2

BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，

又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴CE=DF ，∴=

∵

，=

1，∴=

说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.

例题4、如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若的度数为40°，

求

的度数．

分折：要求

的度数，可求它所对的圆心角∠BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换

得出结果．

解：连OE 、OD 并延长DO 交⊙O 于F ． ∵

的度数为40°，∴∠AOD=40°．

∵CD ＝CO ， ∴∠ODE ＝∠AOD ＝40°． ∵OD ＝OE ， ∴∠E ＝ ∠ODE ＝40°．

∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD ＝40°，则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴

的度数为120°．

说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．例题5、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于CD 并交CD 于E ；直径MN 交CD 于F ，且OE FD FO 2==，求

的度数. 解连结OD .

ΘCD AB ⊥于E ，且OE OF 2=.

O O

B C

O D E

（例题3图1）

（例题6图）

（例题7图）

?=∠∴30EFO ，?=∠60EOF ，又FD OF =Θ.

?=∠=∠∴15FOD FDO ?=∠∴75AOD ，

∴

的度数是?150.

说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求

弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题. 例题6、已知：如图，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，CD AB =，求证：CNM AMN ∠=∠.

分析：由弦CD AB =，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM ，ON ，则有ON OM =，AB OM ⊥，CD ON ⊥，故易得结论.

证明连结OM 、ON ，

ΘO 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点，

CD ON AB OM ⊥⊥∴,.

CD AB =Θ ON OM =∴

ONM OMN ∠=∠∴

ONM CNM OMN AMN ∠-?=∠∠-?=∠90,90Θ

CNM AMN ∠=∠∴

说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.

例题7、如图，已知⊙O 中，

，OB 、OC 分别交AC 、

DB 于点M ，N ，求证：OMN ?是等腰三角形.

分析：由

，

应得：AC OM ⊥，BD ON ⊥，

因此，只要证明BD AC =就可以证明MON ?是等腰三角形.

说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.

例题8、如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦AB CD ⊥，作OCD ∠的平分线交⊙O 于P 点，连接PB PA ,. 求证：PB PA =. 证明：连结OP .

∵ ,OP CO =∴ OPC OCP ∠=∠. ∵ CP 是DCO ∠的平分线，

∴ OCP DCP ∠=∠.∴OP ∥CD . ∵ ,AB CD ⊥∴ AB OP ⊥.

∴ .PB PA =

∴

说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结OP ，证AB OP ⊥.易错点是囿于用全等三角形的办法证明PA 与PB 相等而使思维受阻或证明繁杂.

作业：

1．已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则AOB ∠=_________，弦心距是_______

2．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3

，圆的半径为cm 2，则AB =_________ 3．圆的一条弦把圆分为度数的比为5:1的两条弧，如果圆的半径为R ，则弦长为______，

该弦的弦心距为__________

4．如图，直径CD AB ⊥，垂足为E ，?=∠130AOC ，则的度数为

_______，

的度数为________

5．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________

6．⊙O 中弦AB 是半径OC 的垂直平分线，则

的度数为_______

PA=PB

7．已知⊙O 的半径为cm 5，的度数是?120，则弦AB 的长是________

8．如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为1:3，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________ 9．已知：在直径是10的⊙O 中，

的度数是60°．求弦AB 的弦心距．

10．已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，求证：=2

．

11．如图，⊙O 两条相等的弦AB 与CD 相交于P ，求证：PD PB =

12．如图，⊙1O 和⊙2O 是等圆，M 是两圆心21O O 的中点，过M 任作一直线分别交⊙1O 于A ，B ，交⊙2O 于C ，D ，求证：

13．如图，已知⊙O 的直径AC 为cm 20，

的度数为?60，求弦AB 的弦心距的长。

例如图，已知：在⊙O 中，

，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，并说

明理由.

分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等

关系，常常把两条线段放到一个三角形中. 解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下：如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC ’

∵

，∴，

∴AB=CC ’. ∠AOB=∠CO C ’=∠COD+∠DOC ’=2∠COD

又∵在△CD C ’中，CD+DC ’> CC ’，∴CC ’ <2CD ，即AB<2CD.

说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可

得∠AOB=2∠COD 是正确的，但由=2得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的迁

移能力.

例如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：=.

分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ，

∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴=.

证法二：连结OC 、OD ，

∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=2

BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，

∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ，

∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴

证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=2

BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，

又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴CE=DF ，∴=

∵

，=

1，∴=

说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法. 例如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和

的度数.

分析：连结OC ，通过求圆心角的度数求解. 解：连结OC ，

在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ，

O O

∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，

∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴

的度数为20°.

说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识.

例如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若的度数为40°，求

的度数．分折：要求

的度数，可求它所对的圆心角∠BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换

得出结果．

解：连OE 、OD 并延长DO 交⊙O 于F ． ∵

的度数为40°，∴∠AOD=40°．

∵CD ＝CO ， ∴∠ODE ＝∠AOD ＝40°． ∵OD ＝OE ， ∴∠E ＝ ∠ODE ＝40°．

∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD ＝40°，则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴

的度数为120°．

说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．

典型例题五

例（市区试题，2002）已知：如图，ABC ?接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，点E 、F 分别在AB 、AC 的延长线上，EF 交⊙O 于点M 、N ，交AD 于点H ，H 是OD 的中点，

，2=-HF EH ，设α=∠ACB ，4

tan =

α，EH 和HF 是方程()0422=++-k x k x 的两个实数根.

（1）求EH 和HF 的长；（2）求BC 的长. 解：

O D E

（1）依题意，有一元二次方程根与系数关系，得

()[]04412>?-+-=k k ?，① 2+=+k HF EH ， ② 04>=?k HF EH ， ③ 又2=-HF EH . ④ 由②、③、④得 12=k . 当12=k 时，①成立.

把12=k 代入原方程解得 81=x ,62=x ∴8=EH ，6=HF . （2）解法一：

连结BD ，∴α∠=∠1.

∵AD 是⊙O 的直径，∴?=∠90ABD . ∵

， ∴EF AD ⊥. 即?=∠=∠90AHF AHE .

∴α∠=∠=∠1E .

在AEH Rt ?中，4

tan tan ===αEH AH E ，又8=EH . ∴6=AH . 由勾股定理得10=AE . 在AHF Rt ?中，6==HF AH ，

由勾股定理得26=AF .

在ABD Rt ?中，4

tan 1tan ===

∠αBD AB . 设m AB 3=，则m BD 4=，由勾股定理得m AD 5=.

∵H 是OD 的中点，∴AD AH 4

∴863

34=?==AH AD .

∴85=m . 解得58

=m .

∴5

3==m AB . …………………………11分

∴α∠=∠E ，FAE BAC ∠=∠， ∴ABC ?∽AFE ?.

∴

EF BC =

. ∴(

)()2528

668524

=+?=+=AF HF EH AB BC . …………………………14分

解法二：

同解法一求出10=AE ，8=AD .

连结CD .

∵HF AH =，且HF AH ⊥， ∴?=∠=∠45F HAF ∵AD 为⊙O 直径，

∴?=∠90ACD ，?=∠45ADC .

∴2445sin sin =??=∠?=AD ADC AD AC . ……………………11分以下同解法一可求得25

101424=?=?=

AE EF AC BC . 说明：这是一道综合性较强的题目，主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。

典型例题六

例如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于CD 并交CD 于E ；直径MN 交CD 于F ，且

OE FD FO 2==，求

的度数.

解连结OD .

ΘCD AB ⊥于E ，且OE OF 2=. ?=∠∴30EFO ，?=∠60EOF ，又FD OF =Θ.

?=∠=∠∴15FOD FDO ?=∠∴75AOD ，

∴的度数是?150.

说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.

典型例题七

例如图，已知⊙O 中，，OB 、OC 分别交AC 、DB 于点M ，N ，

求证：OMN ?是等腰三角形.

分析：由

，

应得：AC OM ⊥，BD ON ⊥，

因此，只要证明BD AC =就可以证明MON ?是等腰三角形.

说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.

典型例题八

例已知：如图，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，CD AB =，求证：CNM AMN ∠=∠.

证明连结OM 、ON ，

ΘO 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点，

CD ON AB OM ⊥⊥∴,.

CD AB =Θ ON OM =∴

ONM OMN ∠=∠∴

ONM CNM OMN AMN ∠-?=∠∠-?=∠90,90Θ

CNM AMN ∠=∠∴

说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.

典型例题九

例如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦AB CD ⊥，作OCD ∠的平分线交⊙O 于P 点，连接PB PA ,. 求证：PB PA =. 证明：连结OP .

∵ ,OP CO =∴ OPC OCP ∠=∠. ∵ CP 是DCO ∠的平分线，

∴ OCP DCP ∠=∠.∴OP ∥CD . ,AB CD ⊥∴ AB OP ⊥.

∵

∴ ∴ .PB PA =

典型例题十

PA=PB

例如图1，四边形ABCD接于⊙O，.8

,9=

=DA

AB（1）若把和交换了位置，DAB

∠的大小是否变化？为什么？（2）求证：0

∠DAB。

解（1）由圆的旋转不变性知：与交换位置后，它们的和仍等于，故DAB

∠

的大小不发生变化。

（2）当交换位置以后（如图2），1

,9=

=DC

AB，则四边

形ABCD变为上底为1，下底为9，两腰为8的等腰梯形。作AB

DE⊥于E，图1 AB

CF⊥于F。

则4

=BF

AE。

在AED

Rt?中，

cos=

A，

∴0

∠A。即0

∠DAB。

说明：本题考查了圆的旋转不变性，解题关键是透彻理解题意并正确画出变化后图2 的图形，易错点是画错或画不出变化后的图形。

选择题

1、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC BOC=

（）．

（A）140°（B）135°

（C）130°（D）125°

2、下列语句中，正确的有（）

（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；

（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3.在同圆或等圆中，如果圆心角BOA

∠等于另一圆心角COD

∠的2倍，则下列式子中能成立的是（）

4.在同圆或等圆中，如果，则AB与CD的关系是（）

A．CD

AB2

>B．CD

AB2

=C．CD

AB2

AB=

5.在⊙O中，圆心角?

∠90

AOB，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．2

4B．2

8C．24 D．16

6.在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说确的个数是（）

①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④

所对的弦心距等于所对的弦心距。

A．1个B．2个C．3个D．4个

7.在⊙O中，两弦CD

AB<，OM，ON分别为这两条弦的弦心距，则OM，ON的关系是（）

A．ON

OM>B．ON

OM=C．ON

8.如图，在两半径不同的同心圆中，?

∠

∠60

AOB，则（）

A．B．

C．的度数=的度数D．的长度=的长度

答案:

1、D；

2、A； 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C

填空题

1、已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为．

2、在⊙O中，的度数240°，则的长是圆周的．

3、已知：⊙O的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的

，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm．

4、如图，在⊙O中，AB∥CD，的度数为45°，则∠COD的度数为．

5、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠

BOC=（）．

（A）140°（B）135°

（C）130°（D）125°

6. 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB

∠=_________，弦心距是_______

7. 在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的

，圆的半径为cm

2，则AB=_________

8. 圆的一条弦把圆分为度数的比为5:1的两条弧，如果圆的半径为R，则弦长为______，该弦的弦心距为__________

9. 如图，直径CD

AB ⊥，垂足为E，?

∠130

AOC，则的度数为_______，的度数为________

10.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________

11. ⊙O 中弦AB是半径OC的垂直平分线，则的度数为_______

12.已知⊙O的半径为cm

5，的度数是?

120

，则弦AB的长是________

13.如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为1:3，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________

答案:

1、60°；

2、2/3；

3、3

4，2； 4、90°；5. ?

60，R

6. 3

2 7. R；R

130；?

100 9. ?

60 10. 等腰直角三角形 11. ?

120 12. 3

5 13. 2:1.

解答题

1、已知：在直径是10的⊙O中，的度数是60°．求弦AB的弦心距．

2、已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，

DE∥AB，求证：=2．

3．如图，⊙O两条相等的弦AB与CD相交于P，求证：PD

PB=

4．如图，⊙

O和⊙

O是等圆，M是两圆心

O的中点，过M任作一直线分别交⊙

O于

A，B，交⊙

O于C，D，求证：=

A B

5．如图，已知⊙O的直径AC为cm

20，的度数为

60，求弦AB的弦心距的长。

参考答案：1、

；

2、提示：连结OE，则OE=2OD，sin∠OED=OD/OE=1/2，∴∠OED=30°，∠EOC=60°，则∠AOE=30°，所以=2．

3．提示：作AB、CD的弦心距

4．提示：作AB、CD的弦心距

5．cm

1、若⊙O的半径为4㎝，其中一条弧长为2π㎝，则这条弧所对的圆心角的度数是________；2．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心、OA为半径的一段圆弧。

⑴请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

⑵若∠AOB=120°，OA=4米，请求出石拱桥的高度。

参考答案：

1．0

90； 2．（1）略（2）2米。