(完整版)2二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

百年前，著名教材《坐标几何》(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是

2 2

这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆笃￡ 1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可

a2 b2

以表示为(acos , bsin )( R)，角就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理?这一条件是否充分，一直是悬案?在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决?到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］

2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖

北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献［3,4］).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：

若两条直线h : y y0 k, (x x0)(i 1,2) 与二次曲线

2 2

:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是

k1 k20.

文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍” ?

文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8):

结论1抛物线y2 2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补

结论2圆锥曲线mx2 ny21(mn 0,m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条

件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献［5］中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确?但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论 4.

定理 1 若两条二次曲线ax2 by2 cx dy e 0(a b)，a x2 b y2 cx d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆.

证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):

2 2 2 2

(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e) 0 ①式①左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式①左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得也一？，此时曲线①即

2 2

xycxdyeO ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹?而题中的四个

交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆?这就证得了四个交点共圆?

定理2若两条直线l i : a x b i y c i 0(i 1,2)与二次曲线

2 2

:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是

aQ? a2d 0.

证明由组成的曲线即

(a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0

所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):

2 2

(ax by cx dy e) (a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0 ③必要性?若四个交点共圆，则存在，使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy

0 (否则③表示曲线，不表示圆)，所以a i b? a?b i 0.项的系数(a1b2 a2d) 0.而

充分性?当a i b2 azb 0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选I时，再令式③

左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即 a a i a2 b db2，得—?

b a

此时曲线③即

x2 y2 cx dy e 0 ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹?而题中的四个

交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆?这就证得了四个交点共圆?

推论i若两条直线与二次曲线:ax2 by2 cx dy e 0(a b)有四个交点，贝U

这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互

为相反数?

证明设两条直线为|j：ax b i y c i 0(i i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要

条件是a id a?b i 0 ?

(i)当l i //I2即a i b2 a2t i时，得四个交点共圆的充要条件即a i b2 a2t i 0也即

a i a20 或

b b20 ?

⑵当l i与l2不平行即a i b2 a2“时，由a4 a20 0得a4 0, a2 0 0，所以四个

交点共圆的充要条件即 ai a2

0也即直线l 1,l 2的斜率均存在且均不为

0且互为

b i b 2

相反数?

由此可得欲证成立.

个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点

P .3,- 在椭圆E 上.

2

(1) 求椭圆E 的方程；

1

(2) 设不过原点O 且斜率为一的直线I 与椭圆E 交于不同的两点 A , B ，线段AB 的中

2

点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C , D ，证明：MA MB MC MD .

2

解(1)(过程略)椭圆E 的方程是 —

y 2 1.

4

⑵设A(X 1,yJ , Bgy)，线段AB 的中点为M(x °,y 。).

2

X

2 2

1,—— y 2 1，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得

4

(X 1 %2)(

X 2)

(Y 1 Y 2)(Y 1 y ?)

4

1 k y 1

k AB

y 2 X 1 X 2

X 0 2

4(y 1 y 2)

X 1 X 2 4y °

k CD

y 。 1

X 0

2

再由相交弦定理，立得 MA MB = MC MD 竞赛题1

(2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第

2

X 2

—

上的两点，点N(1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于

C 、

2

D 两点?

(1)确定的取值范围；

咼考题1

(2016年咼考四川卷文科第

2 x

20题)已知椭圆E :

a

2

y_ b 2

b 0的一

2 y

1

所以k AB k cD

0，由推论1得A,B,C,D 四点共圆.

13题)设A 、B 为双曲线

⑵试判断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由

简解(1)用点差法可求得直线AB的方程是y x 1,由直线AB与双曲线X2乞

2

交于不同的两点，可得1且0.

得直线CD的方程是y x

2

3，由直线CD与双曲线x2 y

2

交于不同的两

点,

可得9且0.

所以的取值范围是(1,0)(0,).

(2)在(1)的解答中已k AB k cD 0,所以由推论1立得A,B,C,D四点共圆.

笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解?这五道题及其答案分别是：

高考题2 (2014 年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C：2

y 2px( p 0)的焦点为F，直线y 4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

QF| 54|P Q .

(1)求C的方程；

⑵过F的直线l与C相交于A, B两点，若AB

的垂直平分线I与C相交于M ,N两点，且A,

M , B, N四点在同一圆上，求丨的方程.

2

(答案：(1)y 4x ；(2) x y 1 0 或x y 1 0.)

高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图1所示，已知O

2

为坐标原点，F为椭圆C :x2—1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为■. 2的直线

2

I与C交于代B两点，点P满足OA OB OP 0.

图1

(1)证明：点P在C 上;

2⑵设点P关于点O的对称点为Q，证明：A, P, B,Q四点在同一圆上

高考题 4 ( 2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设A, B是椭圆

3x2 y2上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与该椭圆交

于C,D两点?

(1)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

⑵试判断是否存在这样的，使得代B,C,D四点在同一圆上？并说明理由?

(答案：(1)的取值范围是(12,)，直线AB的方程是x y 4 0 ; (2)当12时时，均有代B,C,D四点在同一圆上.)

2 高考题5 ( 2002年高考江苏卷第20题)设代B是双曲线x2匚 1上的两点，点

2

N N(1,2)是线段AB的中点?

(1)求直线AB的方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点，那么A, B,C,D四点是否共圆？为什么？

(答案：(1)y x 1；⑵是.)

竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线y2 2x及点P(1,1)，过点P的不重合的直线h、J与此抛物线分别交于点A,B,C,D . 证明：A, B,C, D四点共圆的充要条件是直线11与12的倾斜角互补.