初二数学经典难题及答案

A

P

C

D

B

初二数学经典题型

1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。

首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。

在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则

∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，

PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是

中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.

又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)

又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.

3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2

又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF

所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.

4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．

过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE

因为DP//AE ，AD//PE

所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠

PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP

所以，A、E、B、P四点共圆

所以，∠PAB=∠PEB

因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD

而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC

所以，PE//BC，且PE=BC

即，四边形EBCP也是平行四边形

所以，∠PEB=∠PCB

所以，∠PAB=∠PCB

5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．

解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ

因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC

所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ

90°

即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45

因为PA=a，PB=2a，PC=3a

所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2

＝9a^2

所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90° 所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA ＝∠BQC ＝135° 作BM ⊥PQ

则△BPM 是等腰直角三角形

所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a ＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2

所以AB ＝[√(5＋2√2)]a

6.一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。

由题意得：

t x v

x v =+82 解之得：t v

x 85=

经检验得：t

v

x 85=是原方程解。

∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为t

v

25。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，

1）

，且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

y kx =，将点M （

-12

，所以正比例函数解析式为1

2y x 同样可得，反比例函数解析式为2

y x

）当点Q 在直线 设点Q 的坐标为1()2

Q m m ，， 于是2

1

11

12

22

4

OBQ S OB BQ m m m △， 而1

(1)(2)12OAP

S △， 所以有，21

14

m ，解得2m =±

所以点Q 的坐标为1(21)Q ，

和2(21)Q ， （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ， 而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．

因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n

，， 由勾股定理可得2222

42()4OQ n n

n n

，

所以当2

2()0n

n

即20n

n

时，2OQ 有最小值4，

图A

O P

图