线性代数教学中的模式直观
【课程思政优秀教学案例】《线性代数》课程
案例课程：可逆矩阵一、课程简介《线性代数》是面向我校理工类，经管类专业学生的数学基础课程。
通过线性方程组、向量、矩阵的理论和方法的学习，培养学生具有初步的抽象思维能力、逻辑推理能力，一定的计算和表述能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力。
课程思政建设中特色和改革创新点：1.教育为学生提升自身价值为教学理念支撑课程思政建设。
2.课程思政方法可移植，模式可复制。
项目教学模式的探索和研究也可以为相应的其它公共基础课程借鉴性和移植，具有较大的应用和推广价值。
3.课程思政元素贯穿课堂教学全过程。
二、案例展示1、课程思政育人目标（1）素质提升目标。
通过线性代数课程的学习不但要掌握课程知识而且还要让学生感受“文化自信”，实现课程育人。
（2）专业学习目标。
通过课程的学习掌握课程内容，满足后续专业课程的学习。
（3）价值塑造目标。
把数学教学内容和知名数学家的事迹相结合，激励学生学好课程知识的同时奋发向上、努力进取；把数学定理的阐述和做人道理相结合；把课程具体内容讲授和逻辑思维推进相结合。
2、课程思政元素及实施路径课程思政元素：矩阵有广泛的应用，既要学到知识也要学会运用知识，同时要让知识实现最大的价值，为国家富强添砖加瓦。
实施路径1）展示线性方程组与矩阵的联系：通过平面图形和空间图形以及高维空间图形的介绍让学生发现可逆矩阵的存在。
2）突出重点的方法：“抓两面、突重点”即①思维启发面：通过几何展示。
②逻辑思维面：可逆矩阵的介绍，环环相扣，层层递进。
3）突破难点的手段：“抓两点，破难点”即一抓学生情感和思维的兴奋点；二抓教学内容的切入点。
3、教学改革成效1）课程内容生动有趣，深入浅出，便于学生理解。
学生对教师教学评价好，教学相长。
2）我校学生考研数学成绩逐年稳步提升；数学建模和高等数学竞赛等学科竞赛成绩稳中有升。
3）《线性代数》课程是省首批线上线下混合式一流课程，也是省首批课程思政示范课程。
4）基于线性代数相关的课程建设获得省级以上教学改革研究立项5项，发表相关教育研究论文6篇。
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
线性代数课程BOPPPS教学模式的应用研究
线性代数是高等代数的一个重要分支，在工程学、计算机科学、经济学、统计学、系统控制、航空航天等诸多领域都有广泛的应用。
因此，线性代数不仅是一门非常重要的基础课程，更是一门非常有价值的基础课程。
一、目前线性代数课程现状工科数学的教学原则是“以应用为目的，已够用为度”，而现行的大部分教材都重理论轻应用。
学生在学完线性代数课程之后，在遇到实际问题或者与专业相关的问题时，仍然不会用所学的知识来解决问题。
线性代数内容前后联系紧密、相互渗透，抽象性和逻辑性比较强，学生学习起来感觉很困难，造成学生的厌烦情绪。
并且学生习惯了以往的“接受性”教育，学生学习自主性差，只是为了学习而学习，应付考试得学分，失去了高等教育以应用为目的的教育根本。
二、BOPPPS教学模式BOPPPS教学模式的基木概念是根据人的专注力大约只能维持15min，于是将教学内容切割为若干时长15min左右的小单元、每个教学小单元依起承转合切分为6个阶段。
BOPPPS教学模式主要用于教师的技能培训，在培训中主要采用教学实践来强化训练，目的是提高教师教学技能和教学的有效性。
BOPPPS教学设计模式注重学生参与和反馈，充分发挥学生的主动性，遵循以学生为中心，以目标为导向的教学理念，注重教学互动和反思，引导学生自主学习。
该教学设计模式也能帮助教师分解并分析教学过程，从而更有效地设计教学内容，改善并提升教学质量。
三、线性代数BOPPPS教学模式的课堂教学设计以知识点“行列式按行按列展开”为例。
第一阶段导言( Bridge-in )，在导言部分，我们的目的是导入问题，吸引学生的注意力，帮助学生专注在即将要介绍的内容。
从学生熟悉的低阶行列式入手，引导学生学会思考，思考低阶行列式与高阶行列式之间的相互关系。
第二阶段学习目标（Objective），学生自然会想到高阶行列式可以用低阶行列式表示，但是如何具体表示呢？此时教师自然地引入新的知识课本中余子式和代数余子式的概念，有了代数余子式的概念及其符号，让学生重新用新的概念表示高阶行列式。
以问题为导向的教学模式的尝试与探讨——以《线性代数》的教学为例
后来 ， 笔者换 了一种 方式 ： 把学生分组 ， 比如 ８ 个人 组 ， 他们课 后去 收集 关 于“ 让 线性 代数在 生活 中的作
后来 ， 笔者参加 了一个教 育技术培训班 的学 习后 才 恍然 大悟 ， 原来是笔者 的教学模式选错 了。因为现在 的 教学对象是 ９ 后 ， ０ 不再是 ８ 后 了。９ ０ ０后 的孩子 出生 在 信息化 时代背景下 ， 他们很 小的时候就接触 了 电脑 和网 络 ， 以随时随地 地 了解 到各种 最新 资讯 ， 可 接受 新事 物
案例一： 这门课有什么用？ 刚一接触这 门课 程 ， 就有学生 问“ 门课 有什么用 ？ 这 它和我 的专业有 什么联系 呢？” 笔者 只是 轻描淡写地 回 答， 至于和计 算机专业 的关 系 ， 以去 问问你们 计算机 可
课 程 的老师 。但是 ， 有多少学生会去做这事情？“ 不知” ， 仍是 “ 不知 ” 。于是有一 部分学生就开始不认 真听课 了 ， 甚至理直气壮地认为 ： 没用 ， 我学它干什么？ ！
加工作 以来 ， 这次是 笔者第 三次讲 授这 门课 程 了 ， 之前 直 以来都是采 用传统教学模式 ：主要是教师讲 授 ， 辅 以课堂 练 习 、 学生互 动 ， 置作业及 练 习让学 生巩 固所 布
一
问题 意识 、 批判性思维和创造性 思维以及 问题解决 的实 践 能力 为主要 目标 。Ｉ ｌ ｌ 它强调 以“ 问题” 中心组织 学习 为
向的教学模式 ” 它主张把学习置于复杂 、 。 有意义 的问题 情境之 中 ， 过学 习者 的 自主探究 ， 通 以合 作方 式解 决 真 实 问题 以及学 习问题背后 的科学 知识 ， 以培养 学习者 的
模式 ， 老师先给 出一个具体 的（ 而不是像教材 中抽 象的 ） 二元一 次方程组让学生 自己动手用消元法去求解 ， 学生
(完整word版)《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。
其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。
本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。
通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。
因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。
2. 课程在整个课程体系中的地位《线性代数》是计算机专业的基础课。
《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。
二、课程目标1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置；2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法；3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用；4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力；5．学会用线性代数的方法处理离散对象；6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力；7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。
三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
新形势下线性代数课程教学模式探讨
特 性 是参 与 性 ， 通 过 强 调 与 学 生 的 双 向交 流 ， 分 调 动 双 方 的 积 极 性 它 充 和 能 动性 ， 而 活跃 课 堂 气 氛 ， 利 于 让 更 多 的 学 生 参 与 到 互 动 中来 。 从 有 有 利 于 提 高课 堂 互 动 质 量 ， 现 教 与 学 的 统 一 。 当 然 ， 实 施 互 动 式 教 实 在
、
现 有 教 学 模 式存 在 的 问题
体 ， 师 则 是 这 类 活 动 过 程 的 组 织 者 和 指 导 者 。 因 此 要 合 理 发 挥 教 师 教
的 主 导 作 用 和 学 生 的 主体 作 用 ， 才能 实 现 真 正 意 义 上 的互 动 教 学 。
２ 引入 网络 教 学 平 台 、
传统的
支 粉 笔 的教 学 方 式 现 在 已 跟 不 上 时代 发 展 的 要 求 。 随 着
计 算 机 技 术 ， 媒 体 技 术 和 网络 通信 技 术 的 飞速 发 展 ， 何 实 现 信 息 技 多 如 术 与 课 程 教 学 整 合 已 经成 为教 学 创 新 的 热 点 问题 。在 当 前 线 性 代 数 课 时 普 遍 缩 减 ， 班 化 教 学 师 生 难 以 互 动 的 形 势 下 ， 新 教 学 观 念 ， 信 大 更 将
传 统 的教 学 设 备 就 是 一 支 粉 笔 。 随 着 计 算 机 技 术 ， 媒 体 技 术 和 多
网 络 通信 技术 的 飞速 发 展 ， 用 现 代 化 的 教 学 手段 进 行 教 学 已 变 成 可 运 能 并 且 非 常必 要 。传 统 的 教 学 方 法 当 中 不 能 展 示 的 一 些 美 妙 的 数 学 图 形 可 以 直 观 的 通过 多 媒 体 展 示 给 学 生 ， 加 上 多 媒 体 等 现 代 教 育 手 段 再 可 以 极 大 的 丰富 课 堂 教 学 的 信 息 量 ， 高 学 生 的学 习 兴 趣 的 同 日 还 提 也
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施《线性代数》是高校公共数学科目中一门非常重要的基础必修课，在很多学科的应用中都起了很重要的作用。
但在线性代数的整个教学过程当中却出现了诸如知识脱节、课程设计不合理等问题。
线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。
计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。
随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科——线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。
二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈1.传统教学内容的设置不合理目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。
同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。
2.传统教学目的占主导由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。
而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。
在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。
线性代数立体化教学模式分析
线性代数立体化教学模式分析作者：刘逸轩来源：《课程教育研究》2020年第09期【摘要】线性代数是大学工科专业中很重要的一门基础课，但受到各种因素的影响，其教学效果始终不是很理想。
随着教学模式的不断改革，线性代数的立体化教学模式逐渐被认可和推广。
本文论述了线性代数立体化教学模式的特点与具体措施。
以期本文能够为我国高校的线性代数的立体化教学模式和研究分析作一些贡献。
【关键词】线性代数 ;立体化 ;教学模式【中图分类号】G42 ;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）09-0132-01随着近些年来高校对线性代数课程教学改革的研究的不断深入，学校更加重视学生的专业素养、综合素养、实践操作能力和创造创新能力。
在这样的背景下，更符合时代需求和大学生们的需求的线性代数立体化教学模式应用而生。
一、传统课程模式与教学应用效果不匹配线性代数是工科专业学生数学课中十分重要的一门课，它是除高等数学外最为重要的一门课。
但是，在线性代数的教学中，我们发现学生们除了会做一些课本上的习题作业，能够应付了期末考试，线性代数的本质和精髓他们一概不知。
进入工作岗位后，工科学生会发现自己所学的线性代数知识和工作岗位的知识无法匹配，线性代数的本质和精髓自己一无所知，更何谈工业创新和技术创新？而立体化教学却恰恰可以有效的解决这一问题，这就是当前推行线性代数立体化教学模式的原因。
二、线性代数立体化教学模式的优点传统的线性代数教育模式中，老师都是起着完全主导的作用，学生们的思考过程很少，老师也很少重视学生们的思想状态。
立体化教学模式则不同于传统的教学模式，这种模式以学生为教学的核心，老师们可以通过不同的上课模式进行切入以提高学生们的上课兴趣，这样他们也有更强烈的学习动力和欲望。
立体化教学模式也可以让老师之间有更多的互动、交流和学习，老师也会有更多的方法来引导学生进行学习线性代数。
这样，老师就成为了一个好的引导者，而不是教育者。
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来 表 现 的 ， 个 体 理 解 了抽 象 的意 义后 ， 了解 除 繁 琐 的 记 但 为
忆 负 担 ， 把 这 种 结 果 迁 移 到 自己熟 悉 的 直 观 中 去 ， 化 为 常 转
迁 移 想 象 ： 难 知道 函 数 方 程 不
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ｎ ） 事实 上 ， 一 公 式 是 正 确 的 ． ． 这 欧拉 凭 借 他 特 有 的 直 观 想 象 力 发 现 了解 决 问 题 的 关 键 ， 功 地 求 出 了 自然 数 序 列 成 的倒数平方和．
在 数 学 思 维 领 域 ， 为 直 观 思 维 的 一 种 方 式 ， 广 祥 和 张 奠 作 张 宙在文 ［］ １ 中提 出 “ 式 直 观 ” 概 念 ， 给 出 了模 式 直 观 模 的 并 的初 步 分 类． 谓 “ 式 直 观 ” 指 通 过 相对 比较 具 体 的 、 所 模 是 先 前 已经 熟 悉 的 、 有 普 遍 协 调 感 的 、 易 接 近 的 模 式 作 为 背 具 容 景 ， 得 人 们 能 够 进 一 步 把 握 和 理 解 更 加 抽 象 、 为 深 刻 的 使 更
以 上 两 例 我 们 看 到 ， 造 性 的 数 学 思 维 过 程 ， 的原 始 创 它 形态充满着模式直观． 二 、 性 代 数 教 学 中 的模 式 直 观 举 例 线 线 性 代数 教 学 中经 常需 要 引 导 学 生 对 抽 象 的 代 数 结 构
、
模 式 与 模 式 直 观
理过程．
已有 的解 决 方 案 ， 须 再 重 复 相 同 的 工 作 ． 式 有 不 同 的领 无 模 域 ， 筑 领 域有 建 筑 模 式 ， 件 设 计 领 域 也 有 设 计 模 式 ． 建 软 当
一
个领域逐渐成熟的时候 ， 自然 会 出现 很 多 模 式 ． 直 观 是 指 在 实 践 中 对 客 观 事 物 的直 接 的 、 动 的反 映 ． 生
…
＝ ０有 根 ±叮， １， ｒ ±２ｒ
直 观 形 态 来储 存 ． 于 这 种 直 观 ， ［ ］ 立 了 “ 式 直 观 ” 关 文 １建 模 概 念 ， 给 出 了模 式 直 观 的 初 步 分 类 ， 论 了在 初 等 代 数 教 并 讨
学 中的 作 用． 文 通 过 线 性 代 数 课 程 中 大 量 模 式 直 观 的 例 本 子 ， 析 其 教 育 价 值 ， 讨 了应 用 模 式 直 观 组 织 教 学 应 注 意 分 探 的 几 个 问题 ．
意 点．
例 ２ 自然数序列的倒数平方和 ∑÷ ＝ （ 欧拉） ．
ｎ ＝ １ｎ ｏ
【 关键 词ห้องสมุดไป่ตู้】 式 直 观 ； 学思 维 ； 性代 数 模 数 线
数 学 是 一 门 逐 级 抽 象 的 学 科 ， 一 级 抽 象 都 是 以前 一 每 级 抽 象 为 直 观 背 景 ． 学 思 维 的 结 果 通 常 是 以 抽 象 的 形 式 数
模 式 就是 解 决 某 一 类 问 题 的 方 法 论 ． 解 决 某 一 类 问 把
题 的 方法 总结 归 纳 到 理 论 高 度 ， 是 模 式 ． 个 模 式 都 描 述 就 每
了一 个 在 我 们 的环 境 中不 断 出 现 的 问 题 ， 给 出 该 问 题 的 并
解 决 方 案 的核 心 ． 过 这 种 方 式 ， 可 以无 数 次 地 使 用 那 些 通 你
分 析 寻 找 “ 经 熟 悉 的 模 式 …‘ 易 接 近 的模 式 ” 已 容 进 行 “ 观想象” 直 ． 模 式 直 观 ： ． ） ｎ次 多项 式 ， 设厂 是 （ 如果 方程 ， ） ０有 ｎ （ ＝ 个 根 （ ＝１ ２ … ， ） 那 么 厂 ） 分 解 ， ）＝（ — ）・ ｉ ，， ｎ ， （ 有 （ 。
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高 教 视 野
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线性代数教学中的模式直观
◎ 陈 建 华 （ 州大 学数 学科 学学 院 扬 ２ ５０ ） ２ ０ ２
【 摘要】 本文给 出模式直观在线性代数课程 中的具体 例
子 ， 析 了其教 育价 值 ， 出 了应 用 模 式 直 观 教 学 的 几 个 注 分 指