第一章 质运动学 问题与习题解答

第一章 质点运动学 问题与习题解答

1-3 已知质点的运动方程为()()()r t x t i y t j =+r r r

，有人说其速度和加速度分别为

dr

v dt

=，22d r a dt =

其中r =

答：错。因为

||||||dr dx dy v v i j dt dt dt ===+=r r r r

||dr d r dt dt ==

r

所以，dr

v dt

≠

同理，2222||||||dv d x d y a a i j dt dt dt ===+=r r r

r

，而2222

||d r d r dt dt ==r

故，22d r

a dt

≠。

1-6 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶。当击发枪机，子弹从枪口射出时，木偶正好由静止自由下落。试说明为什么子弹总可以射中木偶？

证明：选地面为参考系，以枪口处为坐标原点，如右图所示。

假设无重力加速度作用时，子弹直线飞行0t 时间后打中木偶A ，则其飞行时间为 00cos S

t v θ

=

，

因g r 的作用，0t 时刻子弹的位置矢量为 2

00012r v t gt =+

r r

r ， 又从图中可知，落地前木偶垂直下落的距离为 2

12

l gt =，

而其落到地面所需时间为1t =

故只要01t t <，则在0t 时木偶距原来位置A 的位移为 2

001()2

l t gt =r r

正好处于与子弹相遇的位置（如图所示）。

【条件01t t <即0cos S v θ<

0cos S v θ>， 所以，只要子弹在木偶落地前到达木偶原位置A 的正下方，子弹总能打到木偶。】

1-9 下列说法是否正确：

（1）质点做圆周运动时的加速度指向圆心； （2）匀速圆周运动的加速度为常量；

（3）只有法向加速度的运动一定是圆周运动；

x y

v 0t 0

gt 02/2

S

r

θ

P

A

（4）只有切向加速度的运动一定是直线运动。 答：

质点做圆周运动时的加速度为 2t n dv v a e e dt R

=+r r r

。 （1）错。因为如果不是匀速率，即

0dv

dt

≠，则加速度有切向分量，故加速度不指向圆心； （2）错。匀速圆周运动时，2n v a e R

=r r ，因为n e r

为动矢量，故加速度不是常矢量； （3）错。质点只有法向加速度时，2

0,dv v a dt R

==，其半径R 与a 的大小有关，如a 的大小不变则运动一定是圆周运动，否则就不是圆周运动；

（4）对。质点只有切向加速度时，20n n v a e R

==r

r ，如0v ≠则要求R →∞，所以其运动一定是直线运动。 1-13 如果有两个质点分别以初速10v r 和20v r 抛出，10v r 和20v r

在同一平面内且与水平面的夹角分别为1θ和2θ。有人说，在任意时刻，两质点的相对速度是一常量。你说对吗？

答：对。若任意时刻t 两质点的速度分别为1v r 和2v r ，则有110220 = ,=v v gt v v gt ++r r r r r r

，所以在t 时刻，两质点的相对速度为212010 =v v v v --r r r r

，是一常量。

（选择题）

1-7一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图1-2所示。设t=0时，x=0。试根据已知的v-t 图，画出a-t 图以及x-t 图。

解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，其相应的加速度和位置分别为： AB

段，匀加速直线运动 2

0,20,0A A t v m s x -==-⋅=；

21()()20B A B A a v v t t m s -=--=⋅，

22

11120102

A A x x v t a t t t =++=-+； （

1

10

A

v t

v dv a dt =⎰

⎰

1

10

()x t

A dx v a t dt =+⎰

⎰）

BC

段，匀速直线运动 2

2,0,20B B t s x v m s -===⋅；

2())0C B C B a v v t t =--=，

2()20(2)B B B x x v t t t =+-=-； （2

B

B

x t

B x t dx v dt =⎰⎰）

CD 段，匀减速直线运动 2

4,20,40C C t s v m s x m -==⋅=；

23()()10D C D C a v v t t m s -=--=-⋅

2331

()()2

C C C C x x v t t a t t =+-+- 即：23560120x t t =-+-；

【

3

3C

C

v t

v t dv a dt =⎰

⎰，33()6010C C v v a t t t =+-=-，

3

3[()]C

C

x t

C C x t dx v a t t dt =+-⎰

⎰ 】

描点作图如上图所示。

1-9 质点的运动方程为 2

1030x t t =-+ 2

1520y t t =- 式中x,y 的单位为m ，t 的单位为s 。

试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。

解：质点在Oxy 平面内的运动方程：2

1030x t t =-+ 2

1520y t t =-

（1）、在t 时刻质点的速度分量分别为：

1060x dx

v t dt

=

=-+ 1540y v t =- 在最初时刻t=0，所以1010(.)x v m s -=-，1

015(.)y v m s -=

故初速度的大小为：1018.0(.)v m s -=

=，

其与x 轴的夹角为：0

3

arc arc ()123412

y xo v tg

tg v α'==-=o ； （2）、在t 时刻质点的加速度分量分别为：

V/(m.s -1)

t/s

2

4

6020

-20a/(m.s -2)t/s

24620

-10

x/m

t/s 6

4

2

60

-10

00

A B

C

D