解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理

利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dy

f x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩

的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程

(,),dy

f x y dx

=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：

（1）、在R 上连续；

（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和()

,x y 有以下不等式：()

|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。

则初值问题00

(,)()dy

f x y dx y y x ==⎧⎨⎩

在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,

,max (,)x

y R b

h a M f x y M

∈⎛⎫

== ⎪⎝⎭

二、【证明】 逐步迫近法：

微分方程

(,)dy

f x y dx

=等价于积分方程0

0(,)x x y y f x y dx =+⎰。 取00()x y ϕ=，定义0

01()(,()),1,2,3, (x)

n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰

可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞

=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程

(,)dy

f x y dx

=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件

00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程0

0(,),

x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证： 因()y x ϕ=是微分方程

(,)dy f x y dx =的解，有'()

()(,())d x x f x x dx

ϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：0

00000()()(,()),

x

x x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰

代入初值条件00()x y ϕ=得：0

00000()(,()),

x

x x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰

即()y x ϕ=是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之，则有0

00000()(,()),

x

x x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰

微分得：

()

(,())d x f x x dx

ϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。即()y x ϕ=是微分方程(,)dy

f x y dx

=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初

值条件00()x y ϕ=的解。

现取00()x y ϕ=，代入积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰的右端，所得函数用1()x ϕ表示，则

100()(,)x x x y f x y dx ϕ=+⎰，再将1()x ϕ代入积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰的右端，所得函数用2()x ϕ表示，则

0201()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+⎰，以上1()x ϕ称为1次近似, 2()x ϕ称为2次近似。以此类推得到n 次近似

01()(,())x

n n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰。

从而构造逐步迫近函数序列为：000

0000

01()1,2,()(,()),x

n

n x x y x h x x h n x y f x x dx ϕϕϕ-=⎧⎪

-≤≤+=⎨=+⎪⎩

⎰

命 题 2：对所有n ,函数序列()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且满足不等式

证：当1n =时，

0100()(,)x

x x y f x y dx ϕ=+⎰。显然1()x ϕ在0

000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有

0100000()()(,)(,)||x

x

n x

x x y x y f x y dx f x y dx M x x Mh b ϕϕ-=-=

≤≤-≤≤⎰⎰

，即命题2当1n =时成立。

由数学归纳法，设命题2当n k =时成立，则对1n k =+有：

010()(,())x

k k x x y f x x dx ϕϕ+=+⎰

知1()k x ϕ+在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有0

1000()(,())||x

k k x x y f x x dx M x x Mh b ϕϕ+-≤≤-≤≤⎰

命题2当1n k =+时也成立。

由数学归纳法原理得命题2对所有n 均成立。

命 题 3：函数序列{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。 证：只须考虑级数[]0100001()()(),

k k k x x x x h x x h ϕϕϕ∞

-=+--≤≤+∑-----（*）

在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。

因其部分和为：[]011

()()()()n

k k n k x x x x ϕϕϕϕ-=+-=∑，因0

1000()()(,())||x

x x x f x x dx M x x ϕϕϕ-≤≤-⎰，

221101000()()||(,())(,())|||()()|||||||2!

x x x

x x x MN

x x f x x f x x dx N x x dx MN x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ-≤-≤-≤-=

-⎰⎰⎰ 设对n 成立1

100000()()||,

!

n n n n ML x x x x x h x x h n ϕϕ---≤--≤≤+。

则当0000x h x x h -≤≤+时有

00

111100()()|(,())(,())||()()|||||||!(1)!

n n x x

x n

n n n n n n n x x x MN MN x x f x x f x x dx N x x dx x x dx x x n n ϕϕϕϕϕϕ++---≤-≤-≤-=-+⎰

⎰⎰

即对所有k ，在0000x h x x h -≤≤

+成立 110()()!

k k

k k MN x x h k ϕϕ---≤。

其右端组成正项收敛级数 10

1

!

k

k k h MN

k ∞

-=∑

由魏氏判别法，级数（*）在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。即{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。命题3得证。 现设lim ()()n n x x ϕϕ→∞

=

则()x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且0()x y b ϕ-≤

命 题 4： ()x ϕ是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰在0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

证： 由利普希茨条件 (,())(,())()()n n f x x f x x N x x ϕϕϕϕ-≤-及()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛于()x ϕ，知函数序列{}(,())n f x x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ。