数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射
高三数学知识点：集合与映射专题复习指导-最新教学文档
高三数学知识点：集合与映射专题复习指导天津市第四十二中学张鼎言一、集合与简易逻辑复习导引：这部分高考(Q吧)题一般以选择题与填空题出现。
多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。
这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。
复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。
简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。
1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。
则k的最大值是( )A.10B. 11C. 12D. 13分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。
以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决?我们不妨把抽象问题具体化!如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si 是Sj符合题目要求的两个集合。
若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。
题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。
M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。
注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。
2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )(A)CIS1∩(S2∪S3)=(B)S1(CIS2∩CIS3)(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=(D)S1(C IS2∪CIS3)分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。
探索集合与映射的集合运算与关系运算法则。
关系的交集
定义：两个集合A和B的交集是由同时属于A和B的所有元素组成的集合。 表示方法：记作A∩B。 性质：A∩B的元素同时满足A和B的条件。 运算规则：对于任意两个集合A和B，有A∩B=B∩A。
关系的差集
定义：在两个集合 A和B中，A和B的 差集表示为A-B， 它包含了所有属于 A但不属于B的元素。
举例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}
集合的交集
集合的差集
定义：集合A的差集是所有属于A但不属于B的元素组成的集合，记作 A-B 性质：A-B=A∩¬B
运算规则：对于任意两个集合A和B，有A-B=A-(A∩B)
应用：差集运算在数学、集合论、计算机科学等领域有广泛应用
表示：集合通常用大括号{}或圆括号()表示
元素特性：集合中的元素是无序的，即元素的排列顺序不影响集合的 含义 元素与集合的关系：一个元素属于某个集合时，用属于符号"∈"表 示
03 集合的运算
集合的并集
定义：将两个集 合中的所有元素 合并到一个新的 集合中
符号序
关系的并集
定义：将两个关系的所有元素合并成一个新的关系
性质：并集不满足交换律和结合律
运算规则：对于任意两个关系R和S，其并集R∪S是一个新的关系，包含属于R或属于S的所有元 素
举例：设R={(a,b),(c,d),(e,f)}，S={(b,c),(c,e)}，则R∪S={(a,b),(c,d),(e,f),(b,c),(c,e)}
运算方法：使用符号⊖来表示对称 差集，例如A⊖B表示A和B的对称 差集。
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性质：对称差集具有对称性，即A 对称差集B等于B对称差集A。
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
映射及映射法及例题
映射及映射法及例题知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
1集合与映射2012
所以实数集R的性质为：封闭性，有序性， 稠密性和完备性。
确界Байду номын сангаас确界存在定理
实数的完备性是极限理论的基础，其本质意义是关于 极限运算封闭，而有理数无完备性，关于极限运算不 封闭。为此介绍刻画实数集完备性的确界存在定理。
定义1.1
设A R，且A ，若L R，使x A， 都有x L, 则称A有上界，称L为A的一个上界。 若l R，使x A， 都有x l , 则称A有下界，称l为A的一个下界。 若A既有上界又有下界，则 A有界。 称 否则称A无界。
常用的数集
N 自然数集 Z 整数集
Q 有理数集 R 实数集 C 全体复数组成的集合
0 集合记号右下角加“”表示将该集合内的元 素“ ”去掉 后所得的集合，比如
N 正整数集
R 非零实数集
区间
(a , b) { x | a x b} [a , b] { x | a x b} [a , b) { x | a x b} (a , b] { x | a x b}
1
复 数 z x iy 有 序 数 组( x , y ) 复数集 复平面
复数的表示法：
1. z x i y 2. 复 平 面 上 的 点 ( x , y )或 向 量OP P 3. z r (cos i sin ) ( 三 角 表 示 法 ）
4. z re （ 指 数 表 示 法 ）
有序性：即 a, b Q, a b, a b, a b必成立其一。 稠密性：任两有理数之间必存在一有理数。
实数集R
取定了原点、单位长度和方向的直线叫做坐标轴 （如图1.1）
则有理数在数轴上能找到对应点，称为有理点， 但数轴上的点并不能都能用有理数表示。在数轴 上的非有理点称为无理点，其对应数称为无理数。 有理数和无理数统称为实数，它与数轴上的点 一一对应，此称为完备性或连续性(几何解释）。
高等数学——集合与映射ppt课件
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2Hale Waihona Puke 集合的表示法表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用
(2)
花括号括上。
(2) 描述将 法集 ： A中 合元 x所 素具有的 p(x)列 特出 性 来表示如下 A{x| x具有特 p(x)}性 。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。（唯一，互异，无序）
高等数 学
第一讲 集合与映射
授课教师：陈艺华
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第一章 集合与映射
本章学习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
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第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
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D (f) A ; R (f) f(A ) . { y |y f(x )x , A } 。9
注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
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3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
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2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
高中三年数学如何解决集合与映射的问题
高中三年数学如何解决集合与映射的问题在高中数学学习过程中，集合与映射是一个重要的概念和内容。
学生们常常会面临各种与集合与映射相关的问题，如何解决这些问题是我们需要探讨和研究的。
本文将重点介绍高中三年数学中，解决集合与映射问题的方法和步骤。
一、理解集合与映射的概念在解决集合与映射的问题之前，我们首先需要对集合与映射有一个清晰的理解。
集合是由一定规则或特点联系在一起的元素组成的整体，而映射是一种元素与元素之间的对应关系。
当我们对集合与映射有了充分的了解后，才能更好地解决问题。
二、集合与映射的相关性分析在实际问题中，集合与映射往往会相互关联，我们需要通过分析问题来找出它们之间的相关性。
一些典型的问题类型包括：1. 集合的运算问题：如交集、并集、差集等。
2. 映射的性质问题：如一一映射、满射、单射等。
3. 集合与映射的综合问题：如给定映射，求定义域、值域、像等。
三、确定解题思路和方法根据问题的具体要求，我们需要确定解题思路和方法。
在解决集合与映射问题时，常用的方法包括：1. 特例法：通过取特定的元素或集合来探索问题的规律和性质。
2. 推理法：通过逻辑推理和运算法则来推导得出问题的答案。
3. 统计法：通过统计元素个数或集合属性的方法来解决问题。
4. 图像法：通过绘制集合图或映射图来帮助理解和解决问题。
四、具体问题的解决步骤在解决具体问题时，我们可以按照以下步骤进行：1. 理清问题：仔细阅读问题，弄清题意，明确要解决的具体问题。
2. 确定已知条件和求解目标：分析问题，找出已知条件和需要求解的目标。
3. 运用符号和定义：根据已知条件和问题要求，引入适当的符号和定义。
4. 分析问题：运用数学方法和思维工具，对问题进行分析和推导。
5. 求解问题：根据分析的结果，进行具体计算和推导，得出问题的解答。
6. 验证结果：将得出的解答代入原问题进行验证，确保结果的正确性。
五、练习与实践集合与映射的问题需要大量的练习与实践，通过反复练习，我们可以更好地掌握解题方法和技巧。
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(集合部分)解析
第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.第一节 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10 【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22yx y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是． 【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立. 【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈= M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n nk n -+--===+. 即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70． ７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++ 要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤, (1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ． 对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*)由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈（1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N )故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2. 取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S .设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21qpq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合.2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆.所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素.3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212a a +，2211aa +-）；由（Ⅱ）解得 （y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212a a +） （1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a 由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211a a +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,min P A P B d P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值), 则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++=2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min MP =∴1d = 解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈ 若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
第一节 集合 映射
1 = 1X( 1 ) = ( ) ( 1 ) = ( ( 1 ) )
= ( ( 2 ) ) = ( ) ( 2 ) = 1X( 2 )
= 2 ， 故 是单射，从而 是双射. 充分性 设 是双射，对任意的 Y , 存在 唯一的 X，使 ( ) = ，于是可定义集合 Y
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第一节 集合 映射
§6.1 集合 映射
一、集合
1. 集合的概念 集合是数学中最基本的概念之一. 集合是指由 一些确定的对象 (或事物) 汇集成的整体，其中每个 对象叫集合的元素. 通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用 小写字母 a, b, x, y 等表示集合的元素. 如果元素 a 在集合 A 中，就说“a 属于 A”，记作 a A ；
到 X 的映射 ，使得 ( ) = ，其中 是 X 中与
一一对应的元素，这样，对任意的 X , 都有
§6.1 集合 映射
( ) ( ) = ( ( ) ) = ( ) = ， 所以， = 1X . 同样，对任意的 Y ，都有
§6.1 集合 映射
如果元素 a 不在集合 A 中，就说“a 不属于 A”， 记作 a A . 2. 集合的表示法 集合的表示法有两种：列举法和描述法. 3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合, 记为 .
§6.1 集合 映射
4. 两个集合之间的关系 1) 相等 2) 子集合 3) 交集 4) 并集 5) 差集
( ) ( ) = ( ( ) ) = ( ) = ， 所以， = 1Y . 因此 是可逆的. 证毕
▲
§6.1 集合 映射
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数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射 知识、方法、技能 这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识 Ⅰ.有限集元素的数目 1．有限集的阶 有限集A的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)]. 2．集族的阶 若M为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M为集族. 设A为有限集，由A的若干个子集构成的集合称为集合A的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题. 显然，若|A|=n，则由A的所有子集构成的子集族的阶为2n. Ⅱ.映射，映射法 定义1 设X和Y是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个Xx，都有惟一确定的Yy与之对应，则称这个对应关系为X到Y的映射.记为.YyXxYX或这时,Yxfy)(称为Xx的象,而x称为y的原象,特别当X和Y都是数集时，映射f称为函数. 定义2 设f为从X到Y的一个映射. (1)如果对于任何x1、.),()(,,21212为单射则称都有fxfxfxxXx （2）如果对于任何Yy，都有Xx，使得f(x)=y，则称f为满射; （3）如果映射f既为单射又为满射，则称f为双射； （4）如果f为满射且对任何Yy，恰有X中的m个元素x1、x2、… xm，使得 .)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称mfmiyxfi
定理1 设X和Y都是有限集，f为从X到Y的一个映射, （1）如果f为单射，则|X|≤|Y| （2）如果f为满射，则|X|≥|Y| （3）如果f为双射，则|X|=|Y| （4）如果f为倍数为m的倍数映射，则|X|=m|Y|. 这个定理的结果是显然的. 定理2 设有限集faaaAn},,,,{21是A到A上的映射，),()(1xfxf ),,)](([)(1NrAxxffxfrr
则f是一一映射（即双射）的充要条件是：
对任意).11,()(,)(1,,iiisiimiiimsNsaafaafnmNmAai而使得存在 证明：必要性.若f是双射，则iiaaf)(1（此时mi=1）,或者.)(11iiiaaaf
在后一种情形下，不可能有.)()(1112iiiaafaf否则，ai1在A中有两个原象ai和ai1，与f是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12iiiiiiiiiaafaaaafmaaf如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212iiiiiiimaafaaafaf
213,,)(3iiiiiaaaaaf.如此等等. 因为A是有限集，所以经过有限次（设经过m次）后，有isiimaaifaafi)(,)(而 ).11,(imsNs 这表明当f是双射时，对任一Aai都存在着映射圈: iimiiiaaaaai121 在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1iiiamnm只有一个元素 充分性.如果对任意iisiimiiiiaafaafnmNmAa)(,)(,1,,而使存在 )1,(1imsNs，这说明从A中任一元素ai出发，都可以得到一个包含mi个互异元素的映射圈，显然f是双射. 定理3 在命题1的条件下，若对iimiiiaafNmAa)(,,使存在，则对任意 .)(,iitmaafNti有 这是明显的事实，证明从略.
赛题精讲 例1：设集合,30001|{},,14,20001|{yyBZkkxxxA集合 ||},,13BAZkky求. 【解】形如4k+1的数的数可分三类： )(912,512,112Zllll，其中只有形如12l+5的数是形如3k-1的数.
.167||},1997,,17,5{,1660),(20005121BABAlZll所以所以得令
例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素. 【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a，而且每两个集合不含a以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？ 由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a出现在A以外的45个集合中，设为A1，A2，…，A45，其余的设为A46，A47，…，A1996. 设B为A46，…，A1996中的任一个集合，且Ba，由题设B和A，A1，A2，…，A45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a. 故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素. 例3：集合nBBBA,,,},9,2,1,0{21
为A的非空子集族，并且当
,2||jiBBji时 求n的最大值. 【解】首先考虑至多含三个元素的A的非空子集族，它们共有175310210110CCC个，这说明.175maxn 下证，.175maxn事实上，设D为满足题设的子集族，若,,4||,BbBDB设且 则B与B-{b}不能同时含于D，以B-{b}代B，则D中元素数目不变.仿此对D中所有元素数目多于4的集合B作相应替代后，集族D中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故.175maxn. 所以，.175maxn 在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而 取得化难为易的效果. 例4：设},,,2,1{nSA为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中且当将S的其他元素置于A中之后，均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数（只有两项的数列也视为等差数列） 【解】当kn2为偶数时，满足题中要求的每个数列A中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k+1,k+2,…,2k}中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看出，这个对应是双射.故
知A的个数为.422nk 当n=2k+1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{nkk 有k+1个元素.故A的个数为.4/)1()1(2nkk
例5：设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n，a2n都是完全平方数. 【证明】记各位数字之和为n且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为Sn，并记 ,3,2,1,||2121nnnnnfffnfffS时有且当则这意味着{fn}恰为菲波那契数列. 作对应'1MMSn如下：先将M的数字中自左至右的第一个2与它后邻的数字相加，其和作为一位数字；然后再把余下数字中第一个2与它后邻的数字相加，所得的和作为下一位数字；依此类推，直到无数再相加 为止.所得的新自然数M′除最后一位数可能为2之外，其余各位数字均为1、3或4.若记所有M′的集合为Tn，则容易看出，上述对应是由Sn到Tn
的双射，从而有nnnfST||||，且显然有
,4,3,2naafnnn ①
对于任一数字和为2n，各位数字均为1或2的自然数M，必存在正整数k，使得下列两条之一成立： （1）M的前k位数字之和为n; （2）M的前k位数字之和为n-1，第k+1位数字为2. 则立即可得,3,2,2122nfffnnn② 由①和②得到 ,2122222nnnnnfffaa ),(122222nnnnfafa③ 因为.0,2,4,2,12242432fafaaa所以于是由③递推即得 ,,3,2,1,22nfann
即na2为完全平方数.
应用映射还可以证明某些与计数相关的不等式和等式.这时可以通过分别计数来证明等或不等，也可以不计数而直接通过适当的映射来解决问题. 例6：将正整数n写成若干个1和若干个2之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法种数记为a(n).将n写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为)(n.求证对每个n，都有).2()(nn 【证法1】将每项都是1或2，各项之和为n的所有数列的集合记为An，每项都是大于1的正整数，各项之和为n的所有数列的集合记为Bn，则问题就是证明|,|||2nnBA 显然，只需在两集之间建立一个双射就行了.
ikikiinmamiiiaaaAaaaa其余的其中设,1,2,),,,(212121均为1且令.21naaam
1211iaaab，
,22112122121121miikikiikiii
aaabaaab
aaab
kkkk
),,,,,(121kkbbbbb ① 则定义.2nBb
2nnBbaA ② 则f为双射.事实上，若aaAaan且,,，则或者数列a和a′中的2的个数不同，或者2的个数相同但位置不全相同.无论哪种情形,由①和②知fafbafb即不同与,)()(为单射，另一方面，对任何2nBb利用①式又可确定,nAa使得,,)(为满射即fbaf从而f为由An到Bn+2的双射. 【证法2】使用证一中的记号.nnBA和对于任意的令,),,,,(2121nmmAaaaaa ,,2;,1,).,,,(11121AaaAaaaaaamnmm时当时当显然容易看出，映射
nnnAAaafA12 是双射，故有).()1()2(nnn注意到2)2(,1)1(，便知