2015新课标II高考压轴卷 文科数学 Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标2卷,含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A ∪B=A. )3,1(-B. )0,1(-C. )2,0(D. )3,2( 2.若a 为实数，且i iai+=++312，则=a A. 4- B. 3- C. 3 D. 43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b ）.a=A. 1-B. 0C. 1D.2 5. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S A. 5 B. 7 C. 9 D. 116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.81 B. 71 C. 61 D. 517.已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B. 321 C. 352 D. 34 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=aA. 0B. 2C. 4D. 149.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A. 2 B. 1 C.21 D. 8110.已知A 、B 是球O 的球面上两点，90=∠AOB ，C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A. π36B. π64C. π144D. π25611.如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为12. 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A. )1,31( B. ),1()31,(+∞-∞U C. )31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞U 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点)4,1(-，则=a .14.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若∠BAC=60°,求∠B.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；19、（本小题满分12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I ） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0）的离心率为2，点（2C 上.（I ） 求C 的方程.（II ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21、（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=ln x +a （1- x ） （I ） 讨论f （x ）的单调性；（II ） 当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2015 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分1．（5 分）已知会合 A={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，B={ x| 0＜x＜3} ，则 A∪ B=（）A．（﹣ 1，3）B．（﹣ 1，0）C．（0，2） D．（2，3）2．（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A．﹣ 4 B．﹣3 C．3D．43．（5 分）依据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的选项是（）A．逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关4．（5 分） =（1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2）则（ 2 +）=（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2．（分）已知S n 是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1+a3+a5，则 5 （）5 5=3S =A．5 B．7C．9D．116．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5 分）已知三点 A（1，0）， B（0，），C（2，）则△ ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（ 5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A．0B．2C．4D．14．（分）已知等比数列n}知足a1=， 3 5 （ 4﹣1），则a2（）9 5{ a a a =4 a=A．2B．1C．D．10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（ 5 分）如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记∠ BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为x 的函数 f（ x），则 y=f（x）的图象大概为（）A．B．C．D．12．（ 5 分）设函数 f（x）=ln（1+| x| ）﹣，则使得 f（x）＞ f （2x﹣1）成立的 x 的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（ 1，+∞）B．（，1）C．（） D．（﹣∞，﹣，）二、填空题．（分）已知函数3﹣2x 的图象过点（﹣ 1， 4）则 a=．13 3f（ x）=ax14．（ 3 分）若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（ 3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（ 3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（ 1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则 a=．三．解答题17．△ ABC中， D 是 BC上的点， AD 均分∠ BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠ BAC=60°，求∠ B．18．某企业为认识用户对其产品的满意度，从 A，B 两地域分别随机检查了 40 个用户，依据用户对产品的满意度评分，获得 A 地域用户满意度评分的频次散布直方图和 B 地域用户满意度评分的频数散布表B地域用户满意度评分的频数散布表满意度评分分[ 50，[ 60，70）[ 70，80）[ 80，90） [ 90，100）组60）频数2814106（1）做出 B 地域用户满意度评分的频次散布直方图，并经过直方图比较两地域满意度评分的均匀值及分别程度（不要求计算出详细值，给出结论即可）（Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70分70分到 89分不低于90分满意度等级不满意满意特别满意预计哪个地域用户的满意度等级为不满意的概率大？说明原因．19．（ 12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在 A1 B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过 E， F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．20．椭圆 C：=1，（ a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 可是原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M ．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．21．设函数 f （x）=lnx+a（ 1﹣ x）．（Ⅰ）议论： f（x）的单一性；（Ⅱ）当 f（ x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求 a 的取值范围．四、选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， O 为等腰三角形 ABC内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（ 1）证明： EF∥BC；（ 2）若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 10 分）在直角坐标系1：（t 为参数， t≠ 0），其xOy 中，曲线 C中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=2sin，θ C3：ρ=2 cosθ．（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2订交于点 A，C1与 C3订交于点 B，求 | AB| 的最大值．六、选修 4-5 不等式选讲24．（ 10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（ 1）若 ab＞cd，则+＞+；（ 2）+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．2015 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分1．（5 分）已知会合 A={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，B={ x| 0＜x＜3} ，则 A∪ B=（）A．（﹣ 1，3）B．（﹣ 1，0）C．（0，2） D．（2，3）【剖析】依据会合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵ A={ x| ﹣1＜x＜2} ， B={ x| 0＜ x＜ 3} ，∴ A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ，应选： A．【评论】此题主要考察会合的基本运算，比较基础．2．（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A．﹣ 4 B．﹣3 C．3D．4【剖析】依据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则 a=4，应选： D．【评论】此题主要考察复数相等的应用，比较基础．3．（5 分）依据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的选项是（）A．逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007 年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关【剖析】A 从图中显然看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故 A 正确；B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，与年份负有关，故 D 错误．【解答】解：A 从图中显然看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量显然减少，且减少的最多，故 A 正确；B2004﹣2006 年二氧化硫排放量愈来愈多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B正确；C 从图中看出， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，而不是与年份正有关，故D错误．应选： D．【评论】此题考察了学生识图的能力，能够从图中提拿出所需要的信息，属于基础题．4．（5 分） =（1，﹣ 1）， =（﹣1，2）则（ 2 + ）=（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2【剖析】利用向量的加法和数目积的坐标运算解答此题．【解答】解：因为 =（ 1，﹣ 1）， =（﹣ 1， 2）则（ 2+ ）=（1，0）?（1，﹣1） =1；应选： C．【评论】此题考察了向量的加法和数目积的坐标运算；属于基础题目．5．（5 分）已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【剖析】由等差数列 { a n } 的性质， a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列 { a n} 的性质， a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1．则 S5==5a3=5．应选： A．【评论】此题考察了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【剖析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把有关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴节余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与节余部分体积的比值为．应选： D．【评论】此题考察了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5 分）已知三点 A（1，0）， B（0，），C（2，）则△ ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【剖析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再依据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ ABC外接圆的圆心在直线 BC垂直均分线上，即直线 x=1 上，可设圆心 P（1，p），由 PA=PB得| p| =，得 p=圆心坐标为 P（1，），因此圆心到原点的距离 | OP| ===，应选： B．【评论】此题主要考察圆性质及△ ABC外接圆的性质，认识性质并灵运用是解决此题的重点．8．（ 5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A．0B．2C．4D．14【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的a，b 的值，当 a=b=2 时不知足条件 a≠b，输出 a 的值为 2．【解答】解：模拟履行程序框图，可得a=14，b=18知足条件 a≠b，不知足条件a＞ b， b=4知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=10知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=6知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=2知足条件 a≠b，不知足条件a＞ b， b=2不知足条件 a≠b，输出 a 的值为 2．应选： B．【评论】此题主要考察了循环结构程序框图，属于基础题．．（分）已知等比数列} 知足 a1=， 3 5 （ 4﹣1），则a2（）9 5{ a n a a =4 a= A．2B．1C．D．【剖析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q，∵，a3a5=4（a4﹣ 1），∴=4，化为 q3，解得=8q=2则 a2== ．应选： C．【评论】此题考察了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【剖析】当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如下图，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，2π，故 R=6，则球 O 的表面积为 4πR=144应选： C．【评论】此题考察球的半径与表面积，考察体积的计算，确立点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ ABC的体积最大是重点．11．（ 5 分）如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记∠ BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（ x），则 y=f（x）的图象大概为（）A．B．C．D．【剖析】依据函数图象关系，利用清除法进行求解即可．【解答】解：当 0≤ x≤时，BP=tanx，AP==，此时 f （x） =+tanx， 0≤ x≤，此时单一递加，当 P 在 CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如下图， tan∠POB=tan（π﹣∠ POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴ OQ=﹣，∴ PD=AO﹣ OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴ PA+PB=，当 x=时，PA+PB=2，当 P 在 AD 边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数 f （x）对于 x=对称，且 f（）＞f（），且轨迹为非线型，清除 A，C，D，应选： B．【评论】此题主要考察函数图象的辨别和判断，依据条件先求出0≤x≤时的分析式是解决此题的重点．12．（ 5 分）设函数 f（x）=ln（1+| x| ）﹣，则使得 f（x）＞ f （2x﹣1）成立的 x 的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（ 1，+∞）B．（， 1）C．（） D．（﹣∞，﹣，）【剖析】依据函数的奇偶性和单一性之间的关系，将不等式进行转变即可获得结论．【解答】解：∵函数 f （x）=ln（1+| x| ）﹣为偶函数，且在 x≥0 时， f（x）=ln（1+x）﹣，导数为 f ′（ x）=+＞0，即有函数 f（ x）在 [ 0，+∞）单一递加，∴f（x）＞ f（2x﹣ 1）等价为 f（ | x| ）＞ f （| 2x﹣1| ），即 | x| ＞ | 2x﹣1| ，平方得 3x2﹣ 4x+1＜0，解得：＜ x＜1，所求 x 的取值范围是（，1）．应选： B．【评论】此题主要考察函数奇偶性和单一性的应用，综合考察函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的重点．二、填空题．（分）已知函数3﹣2x 的图象过点（﹣ 1， 4）则 a= ﹣2 ．13 3f（ x）=ax【剖析】 f（x）是图象过点（﹣ 1，4），从而该点坐标知足函数 f（x）分析式，从而将点（﹣ 1，4）带入函数 f（x）分析式即可求出 a．【解答】解：依据条件得： 4=﹣ a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣ 2．【评论】考察函数图象上的点的坐标和函数分析式的关系，考察学生的计算能力，比较基础．14．（ 3 分）若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为8．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形联合确立 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分ABC）．由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣ 2x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即A（3，2）将 A（3，2）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=2×3+2=8．即 z=2x+y 的最大值为 8．故答案为： 8．【评论】此题主要考察线性规划的应用，联合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（ 3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【剖析】设双曲线方程为 y2﹣ x2λ，代入点，求出λ，即可求出双曲=线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得 3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣ y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是重点．16．（ 3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（ 1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则 a= 8．【剖析】求出 y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再因为切线与曲线 y=ax2+（a+2） x+1 相切，有且只有全部点，从而可联立切线与曲线方程，依据△ =0 获得 a 的值．【解答】解： y=x+lnx 的导数为 y′=1+，曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为k=2，则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2，即 y=2x﹣1．因为切线与曲线y=ax2+（ a+2）x+1 相切，故 y=ax2+（ a+2）x+1 可联立 y=2x﹣1，得 ax2+ax+2=0，又 a≠0，两线相切有全部点，因此有△ =a2﹣ 8a=0，解得 a=8．故答案为： 8．【评论】此题考察导数的运用：求切线方程，主要考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的重点．三．解答题17．△ ABC中， D 是 BC上的点， AD 均分∠ BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠ BAC=60°，求∠ B．【剖析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理联合内角均分线定理得答案；（Ⅱ）由∠ C=180°﹣（∠ BAC+∠B），两边取正弦后睁开两角和的正弦，再联合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD 均分∠ BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠ C=180°﹣（∠ BAC+∠ B），∠ BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知 2sin∠ B=sin∠C，∴tan∠ B= ，即∠ B=30°．【评论】此题考察了内角均分线的性质，考察了正弦定理的应用，是中档题．18．某企业为认识用户对其产品的满意度，从 A，B 两地域分别随机检查了 40 个用户，依据用户对产品的满意度评分，获得 A 地域用户满意度评分的频次散布直方图和 B 地域用户满意度评分的频数散布表B地域用户满意度评分的频数散布表满意度评分分[ 50，[ 60，70）[ 70，80）[ 80，90） [ 90，100）组60）频数2814106（1）做出 B 地域用户满意度评分的频次散布直方图，并经过直方图比较两地域满意度评分的均匀值及分别程度（不要求计算出详细值，给出结论即可）（Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70分70分到 89分不低于90分满意度等级不满意满意特别满意预计哪个地域用户的满意度等级为不满意的概率大？说明原因．【剖析】（I）依据散布表的数据，画出频次直方图，求解即可．（II）计算得出 C A表示事件：“A地域用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地域用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的状况．【解答】解：（Ⅰ）经过两个地域用户满意度评分的频次散布直方图能够看出， B 地域用户满意度评分的均匀值高于 A 地域用户满意度评分的均匀值，B 地域的用户满意度评分的比较集中，而 A 地域的用户满意度评分的比较分别．（Ⅱ） A 地域用户的满意度等级为不满意的概率大．记 C A表示事件：“A地域用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地域用户的满意度等级为不满意”，由直方图得 P（C A） =（ 0.01+0.02+0.03）× 10=0.6得 P（C B）=（0.005+0.02）× 10=0.25∴A 地域用户的满意度等级为不满意的概率大．【评论】此题考察了频次直方图，频次表达运用，考察了阅读能力，属于中档题．19．（ 12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F分别在 A1 B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过 E， F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．【剖析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出 MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面 a 把该长方体分红的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如下图；（Ⅱ）作 EM⊥AB，垂足为 M ，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为 EFGH为正方形，因此EH=EF=BC=10，于是 MH==6， AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分红两个高为10的直棱柱，因此其体积的比值为．【评论】此题考察平面与平面平行的性质，考察学生的计算能力，比较基础．20．椭圆 C：=1，（ a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 可是原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M ．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．【剖析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，而后获得椭圆的方程．（ 2）设直线 l：y=kx+b，（k≠ 0，b≠ 0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（ x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，经过韦达定理求解K OM，而后推出直线 OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆 C：=1，（ a＞ b＞ 0）的离心率，点（2，）在 C 上，可得，，解得 a2，2，所求椭圆C 方程为：=8 b =4．（ 2）设直线 l：y=kx+b，（k≠ 0，b≠ 0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（ x M，y M），把直线 y=kx+b 代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故 x M==，y M=kx M+b=，于是在 OM 的斜率为： K OM= =，即K OM?k=．∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．【评论】此题考察椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考察剖析问题解决问题的能力．21．设函数 f （x）=lnx+a（ 1﹣ x）．（Ⅰ）议论： f（x）的单一性；（Ⅱ）当 f（ x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求 a 的取值范围．【剖析】（Ⅰ）先求导，再分类议论，依据导数即可判断函数的单一性；（2）先求出函数的最大值，再结构函数（ a）=lna+a﹣ 1，依据函数的单一性即可求出 a 的范围．【解答】解：（Ⅰ） f（x）=lnx+a（1﹣ x）的定义域为（ 0， +∞），∴ f ′（ x）=﹣a=，若 a≤0，则 f ′（ x）＞ 0，∴函数 f（ x）在（ 0，+∞）上单一递加，若 a＞0，则当 x∈（ 0，）时， f （′ x）＞ 0，当 x∈（，+∞）时， f （′x）＜ 0，因此 f （x）在（ 0，）上单一递加，在（，+∞）上单一递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当 a≤0 时， f（x）在（ 0，+∞）上无最大值；当 a＞0 时，f（x）在 x= 获得最大值，最大值为 f （）=﹣lna+a﹣1，∵ f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣ 1＜0，令 g（a） =lna+a﹣ 1，∵g（ a）在（ 0，+∞）单一递加， g（ 1） =0，∴当 0＜a＜1 时， g（ a）＜ 0，当 a＞1 时， g（a）＞ 0，∴a 的取值范围为（ 0， 1）．【评论】此题考察了导数与函数的单一性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， O 为等腰三角形 ABC内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（ 1）证明： EF∥BC；（ 2）若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【剖析】（1）经过 AD 是∠ CAB的角均分线及圆 O 分别与 AB、AC相切于点 E、F，利用相像的性质即得结论；（ 2）经过（ 1）知 AD 是 EF的垂直均分线，连接OE、OM，则 OE⊥ AE，利用 S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ ABC为等腰三角形， AD⊥BC，∴ AD 是∠ CAB的角均分线，又∵圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、F，∴AE=AF，∴ AD⊥ EF，∴EF∥BC；（ 2）解：由（ 1）知 AE=AF，AD⊥EF，∴ AD 是 EF的垂直均分线，又∵ EF为圆 O 的弦，∴ O 在 AD 上，连接 OE、OM，则 OE⊥ AE，由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE，∴∠ OAE=30°，∴△ ABC与△ AEF都是等边三角形，∵AE=2 ，∴ AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM= MN= ，∴ OD=1，∴AD=5， AB=，∴四边形 EBCF的面积为×﹣××=．【评论】此题考察空间中线与线之间的地点关系，考察四边形面积的计算，注意解题方法的累积，属于中档题．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 10 分）在直角坐标系1：（t 为参数， t≠ 0），其xOy 中，曲线 C中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=2sin，θ C3：ρ=2 cosθ．（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2订交于点 A，C1与 C3订交于点 B，求 | AB| 的最大值．2【剖析】（I）由曲线 C2：ρ=2sin，θ化为ρ=2ρ sin，θ把代入可得直角坐标方程．同原因C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（ 2）由曲线 C1的参数方程，消去参数t ，化为一般方程： y=xtan α，此中 0≤α≤π，α≠；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用 | AB| =即可得出．2【解答】解：（I）由曲线 C2：ρ=2sin，θ化为ρ=2ρ sin，θ∴x2+y2=2y．同原因 C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴ C2与 C3交点的直角坐标为（ 0， 0），．（ 2）曲线 C1：（t为参数，t≠0），化为一般方程：y=xtanα，此中0≤α≤π，α≠；α= 时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈ R，ρ≠0），∵A，B 都在 C1上，∴ A（ 2sin α，α）， B．∴|AB|==4，当时， | AB| 获得最大值 4．【评论】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为一般方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单一性，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修 4-5 不等式选讲24．（ 10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（ 1）若 ab＞cd，则+＞+；（ 2）+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．【剖析】（1）运用不等式的性质，联合条件a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（ 2）从双方面证，①若+＞+，证得| a﹣b|＜| c﹣d|，②若| a﹣b|＜| c﹣ d| ，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）因为（+）2=a+b+2，（+ ）2=c+d+2，由 a，b，c， d 均为正数，且 a+b=c+d， ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（ 2）①若+ ＞ +，则（+ ）2＞（+ ）2，即为 a+b+2＞c+d+2，由 a+b=c+d，则 ab＞cd，于是（ a﹣b）2=（ a+b）2﹣ 4ab，（ c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（ a﹣b）2＜（ c﹣d）2，即为 | a﹣b| ＜ | c﹣d| ；②若 | a﹣b| ＜| c﹣ d| ，则（ a﹣b）2＜（ c﹣d）2，即有（ a+b）2﹣4ab＜（ c+d）2﹣4cd，由 a+b=c+d，则 ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．【评论】此题考察不等式的证明，主要考察不等式的性质的运用，同时考察充要条件的判断，属于基础题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标Ⅱ,含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A ∪B=A. )3,1(-B. )0,1(-C. )2,0(D. )3,2( 2.若a 为实数，且i iai+=++312，则=a A. 4- B. 3- C. 3 D. 43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b ）.a=A. 1-B. 0C. 1D.25. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S A. 5 B. 7 C. 9 D. 116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.81 B. 71 C. 61 D. 517.已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B. 321 C. 352 D. 348.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=aA. 0B. 2C. 4D. 149.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A. 2 B. 1 C.21 D. 8110.已知A 、B 是球O 的球面上两点，90=∠AOB ，C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A. π36B. π64C. π144D. π25611.如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为12. 设函数211|)|1ln()(x x x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A. )1,31( B. ),1()31,(+∞-∞U C. )31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞U 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点)4,1(-，则=a .14.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若∠BAC=60°,求∠B.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；19、（本小题满分12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I ） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的离心率为2，点（2）在C 上.（I ） 求C 的方程.（II ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21、（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=ln x +a （1- x ） （I ） 讨论f （x ）的单调性；（II ） 当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅱ)数学(文科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）数学（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A.（-1，3）B.（-1，0）C.（0，2）D.（2，3）【答案】A【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|-1＜x＜3}，故选：A．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.若为a实数，且=3+i，则a=（）A.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．根据复数相等的条件进行求解即可．本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004-2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：DA从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4.=（1，-1），=（-1，2）则（2+）=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】解：因为=（1，-1），=（-1，2）则（2+）=（1，0）•（1，-1）=1；故选：C利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A. B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7.过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|==，故选：B利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9.已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4-1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O-ABC=V C-AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．11.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π-∠POQ）=tanx=-tan∠POQ=-=-，∴OQ=-，∴PD=AO-OQ=1+，PC=BO+OQ=1-，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=-tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12.设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的取值范围是（）A.（-∞，）∪（1，+∞）B.（，1）C.（，）D.（-∞，-，），∞【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）-为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）-，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，平方得3x2-4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)13.已知函数f（x）=ax3-2x的图象过点（-1，4）则a= ______ ．【答案】-2【解析】解：根据条件得：4=-a+2；∴a=-2．故答案为：-2．f（x）是图象过点（-1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（-1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______ ．【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知双曲线过点，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是______ ．【答案】x2-y2=1【解析】解：设双曲线方程为y2-x2=λ，代入点，，可得3-=λ，∴λ=-1，∴双曲线的标准方程是x2-y2=1．故答案为：x2-y2=1．设双曲线方程为y2-x2=λ，代入点，，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16.已知曲线y =x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切，则a = ______ ．【答案】 8【解析】解：y =x +lnx 的导数为y ′=1+，曲线y =x +lnx 在x =1处的切线斜率为k =2，则曲线y =x +lnx 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1． 由于切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切， 故y =ax 2+（a +2）x +1可联立y =2x -1， 得ax 2+ax +2=0，又a ≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a 2-8a =0， 解得a =8． 故答案为：8．求出y =x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值． 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC （Ⅰ） 求 ∠∠ ．（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B ．【答案】 解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：∠∠ ，∠∠ ， ∵AD 平分∠BAC ，BD=2DC ， ∴ ∠∠；（Ⅱ）∵∠C=180°-（∠BAC+∠B ），∠BAC=60°， ∴ ∠ ∠ ∠∠∠ ，由（Ⅰ）知2sin ∠B=sin ∠C ，∴tan ∠B=，即∠B=30°．【解析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°-（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【答案】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【解析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【答案】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【解析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20.椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【答案】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.设函数f（x）=lnx+a（1-x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1-x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=-lna+a-1，∵f（）＞2a-2，∴lna+a-1＜0，令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a-1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．22.如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【答案】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×-××=．【解析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC-S△AEF 计算即可．本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【答案】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．【解析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力．24.设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【答案】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab，（c-d）2=（c+d）2-4cd，即有（a-b）2＜（c-d）2，即为|a-b|＜|c-d|；②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）2＜（c-d）2，即有（a+b）2-4ab＜（c+d）2-4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【解析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年高考试题(新课标Ⅱ卷)——文科数学(解析版)
试卷总评： 一、高考新动向2015年的数学考试大纲与2014年相比,几乎没有什么变化,题型、题量以及分值也都与去年保持一致,2015年新课标全国卷Ⅱ遵循《考试大纲》中“能力立意”的命题原则,以学科主干知识为载体,着重考查中学数学的基础知识、基本技能与方法,同时兼顾考查考生对数学思想方法、数学本质的理解与继续学习的潜能.题型相对稳定,难度适中,覆盖面广,试题入口宽、层次分明、叙述简明,无偏题、怪题,适度求新.与2014年新课标全国卷II 相比,客观题难度有所下降,部分试题难度相当于课本习题难度,有些题直接来源于课本（如第8 题）,但主观题20题、21题依然保持较大的难度,使得整个试卷有较好的区分度,利于高校选拔人才. 二、考点新变化考点上最突出的变化是18题把概率与频率分布直方图结合在一起进行考查,体现了知识的交汇,19题第一问首次在解答题中考查作截面图,没有考查线面位置关系的证明,21题避开常考的绝对值不等式,转而考查不等式的证明及充分条件与必要条件,这些变化应引起学生的注意. 三、试题新亮点今年数学试题注重常规思想与通性通法,淡化计算与特殊技巧,突出考查考生的基础知识与基本能力.试题的考点分布保持稳定,但在具体试题的考查形式与命题角度上体现了一定的新意,比如第2题考查统计知识,但与时下的热点环保问题结合紧密;第6题考查立体几何中三视图的体积问题,但与立体几何的切割结合在一起,很有新意;另外第8题、第10题、第18题、第19题都体现出高考稳中求变、变中求新的思路,是不可多得的好题.一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B = （ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<< 故选A. 【考点定位】本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2. 若为a实数,且2i3i1ia+=++,则a=( )A．4-B．3-C．3D．43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.【考点定位】本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解【名师点睛】本题把统计知识与时下的热点环保问题巧妙地结合在一起,该题背景比较新颖,设问比较灵活,是一道考查考生能力的好题.解答此题的关键是学生能从图中读出有用的信息,再根据得到的信息正确作出判断.4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5 A. 321B.325C.34D.3【答案】B 【解析】【名师点睛】解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质：圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.8. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 【考点定位】本题主要考查程序框图及更相减损术.【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,更相减损术是人教版课本算法案例中的一个内容,本题以更相减损术为载体命制试题,故本题可看作课本例题的改编,这说明课本是高考试题的“生长点”,故在此提醒考生考试复习时不要忘“本”. 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C. 【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质211n n n a a a -+= 得到一个关于4a 的一元二次方程,再通过解方程求4a 的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.36πB. 64πC.144πD. 256π 【答案】C 【解析】11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【名师点睛】本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本题解法中用到了偶函数的一个性质,即：()()f x fx =,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们认真体会；另外关于绝对值不等式21x x >-的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .【考点定位】本题主要考查利用函数解析式求值.【名师点睛】本题考查内容单一，由()14f -=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8 【解析】【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】2214x y -=【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0by x a b a =±>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y m m a b-=≠.16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-，就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组 [50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数2814106（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记A C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；B C 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=,()B P C 的估计值为()0.0050.02100.25.+⨯=,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.【考点定位】本题主要考查频率分布直方图及概率估计.【名师点睛】本题考查主要内容是频率分布直方图及应用,注意在制作频率分布直方图或利用频率分布直方图估计概率时容易出现的一个错误是误将频率当作纵坐标画图错误或估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A BC D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79 【解析】试题分析：（I ）分别在,AB CD 上取H ,G ,使10AH DG ==；长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97 或79试题解析：解：（I ）交线围成的正方形EHGF 如图：20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.试题解析：【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II ）1633【考点定位】本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()330,0,,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（II ）4.【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y x +-=,联立解方程组可得交点坐标；（II ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为()23cos ,αα,,由此可得2sin 23cos 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭.【考点定位】本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,则a b c d +>+；（II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明()()22a b c d +>+,开方即得a b c d +>+.（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：【考点定位】：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.【名师点睛】不等式证明选讲往年多以绝对值不等式为载体命制试题,今年试题有所创新,改为证明不等式.这类代数证明问题,对逻辑推理的要求更高,难度有所增加,注意第二问是充要条件的证明,要分别证明充分性与必要性.。
2015年高考新课标全国卷Ⅱ文科数学试题
2015年全国高考试题独家解析(新课标全国卷Ⅱ)文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则AB =A ．)3,1(-B ．)0,1(-C ．)2,0(D ．)3,2( 2．若a 为实数，且i iai+=++312，则=a A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．16．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81 B ．71C ．61D ．51 7．已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35 B ．321 C ．352 D ．34 8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．8110．已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．π36B ．π64C ．π144D ．π25611．如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD与DA 运动，记x BOP =∠．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为A B C D12．设函数211|)|1ln()(x xx f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞UC ．)31,31(-D ．),31()31,(+∞--∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文数答案解析(正式版)(原卷版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2015普通高等学校招生全国统一考试II文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32.若为a 实数,且2i 3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．116. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 21B.3 25C.3 4D.38. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.810. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π25611. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin B C∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,则a b c d +>+； （II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.。
2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标II卷)
2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标II 卷)第二教育网2015年高考绝密押题，仅限VIP 会员学校使用，第二教育网版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究；说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． （1）已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ||2x －1|＞3}，则集合A ∩B ＝（A ）{x |2≤x ≤3}（B ）{x |2≤x ＜3} （C ）{x |2＜x ≤3}（D ）{x |－1＜x ＜3}（2）1－i (1＋i)2＋1＋i (1－i)2＝ （A ）－1（B ）1（C ）－i（D ）i（3）a 、b 是两个单位向量，且(2a ＋b )⊥b ，则a 与b 的夹角为（A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（4）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为 （A ）15 （B ）8 （C ）7 （D ）16 （5）已知命题p ：“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则（A ）⌝p ∨q 为真命题 （B ）p ∨q 为真命题（C ）p ∧q 为真命题（D ）p ∧⌝q 为假命题 （6）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为正视图侧视图（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3 （D ）6＋2 3（7）执行右边的程序框图，则输出的S 是（A ）5040 （B ）4850 （C ）2450 （D ）2550（8）偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (9)＋f (10)＝( )（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1（9）将函数f (x )＝sin ωx （其中ω＞0）的图象向左平移 π2个单位长度，所得图象关于x ＝ π6对称，则ω的最小值是（A ）6 （B ） 3 4 （C ） 9 4 （D ） 23（10）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A ） 2 （B ）2 （C ） 5 （D ） 3（11）直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于A ，B ，则|AB |的最小值为 （A ）3（B ）2 （C ）324（D ） 32（12）给出下列命题:○110.230.51log 32()3<<; ○2函数()lg sin f x x x =-有3个零点; ○3函数1()112++-=ln x xf x x 的图像以原点为对称中心; ○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m> n ，x< y ．其中正确命题的个数是（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）某城区有大学生3500人、中学生4000人，小学生4500人，为掌握各类学生的消费情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为300的样本，应抽取中学生 人.（14） 若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x ， 则z =x ＋2y 的最小值等于__________.（15）数列{a n }的通项公式a n ＝nsin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（16）已知圆O : x 2＋y 2=8，点A (2，0) ，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知f (x )=21cos sin 222x x -- （Ⅰ）写出f (x )图像的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若f （A ）=0，b ＋c =2．求a 的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）4名成员随机分两组每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（19）（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为PD 的中点，点F 在棱PD 上，且FD ＝13PD ．（Ⅰ）求证：PB ∥平面EAC ； （Ⅱ）求三棱锥F -ADC 与四棱锥P -ABCD 的体积比．（20）（本小题满分12分）设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 12的椭圆与抛物线的一个交点为2(,33E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F P F Q λ=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）求证：22F M F Q λ=-．（21）（本小题满分12分）已知f (x )＝ 12x 2－a 2ln x ，a ＞0．（Ⅰ）求函数f (x )的最小值；（Ⅱ）当x ＞2a ，证明：f (x )－f (2a )x －2a＞ 32a ．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝8，AB ＝10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连结DE ．（Ⅰ）若BD ＝6，求线段DE 的长；（Ⅱ）过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ，DACBPE F证明：AF ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t y ＝23＋t （t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|． （Ⅰ）解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；（Ⅱ）若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f (ba )．文科数学参考答案第二教育网2015年高考绝密押题，仅限VIP 会员学校使用，第二教育网版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究；一、选择题：CACAB ACDBA DB二、填空题：（13）100； （14）3；（15）1007；（16）4π． 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3） ……………3分 对称中心为：ππ∈+()(,0)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()cos(2)10cos(2)133f A A A ππ=++=+=-70,2.333A A ππππ<<∴<+<23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc +-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分（18）解：（Ⅰ因为k ＝800(60×500－140×100)160×640×200×600＝16.667＞10.828． …………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关． （Ⅱ分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P ＝26＝13． …………12分（19）解：连结BD ，设BD ∩AC ＝O ，易知O 为DB 的中点． 又E 为PD 的中点，所以在△PDB 中，OE 为其一条中位线， 所以PB ∥OE ．又OE ⊂平面EAC ，PB ⊂/平面EAC ， 故PB ∥平面EAC ． ……………………6分（Ⅱ）因为FD ＝13PD ，所以点F 到平面ACD （也是平面ABCD ）的距离 与点P 到平面ABCD 的距离比为1∶3，又易知△ACD 的面积等于四边形ABCD 面积的一半， 所以三棱锥F -ADC 与四棱锥P -ABCD 的体积比为1∶6． ………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得：22424199a b += ① a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3， 椭圆的方程为22143x y += …………………………4分易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………6分 （Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ， 由11F P F Q λ=得：x 1＋1=λ(x 2＋1)， 于是有1211x x λ+=+ ○3 欲证：22F M F Q λ=-，只需证：1211x x λ-=- ○4 由○3○4知：只需证明：1211x x -=-1211x x ++ 化简为：x 1x 2=1 …………………………9分设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得：2222(24)0k x k x k +-+= …………………………10分根据韦达定理：x 1＋x 2=2224k k- x 1x 2=1 DA CBPE FO根据以上步骤可知：22F M F Q λ=-成立． …………………………12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x．…………………1分当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 12a 2－a 2ln a ． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），f (x )在(2a ，＋∞)单调递增，则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )＞0． …………………7分设g (x )＝f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )，则当x ＞2a 时，g '(x )＝f '(x )－ 3 2a ＝x －a 2x － 32a ＝(2x ＋a )(x －2a )2x＞0， …………………9分所以g (x )在[2a ，＋∞)上单调递增，当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0，即f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )＞0，故f (x )－f (2a )x －2a＞ 3 2a ． …………………12分 （22）解：（Ⅰ） ∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º，∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5， 在Rt △BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 185．…………………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º， 又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ， ∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ． …………10分 （23）解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0．……………4分CABED O F（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35，cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．……………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3． …………4分 所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( ba)即|ab －1|＞|a －b |． …………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |． 故所证不等式成立． …………10分。
2015全国II高考数学文科word版
普通高等学校招生全国统一考试文科数学一．选择题. 12题. 每题5分.1.已知集合{|12}A x x =-<<，{}03B x x =<<，则=B A （ ）.A.()13,-B.()10,-C.()02,D.()23,2.若a 为实数，且2i 3i 1ia +=++，则=a （ ）. A.4- B.3- C.3 D.43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）.A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4.向量()11,=-a ,()12,=-b ，则()2+=a b a （ ）.A.1-B.0C.1D.25. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）.A.5B.7C.9D.116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）.A.81 B.71 C.61 D.517.已知三点()10A ,，(0B ，(2C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ）. A.35 B.321 C.352 D.34 8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=a （ ）.A.0B.2C.4D.149.已知等比数列{}n a 满足411=a ，()35441a a a =-，则=2a （ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 81 10.已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC ﹣体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）.A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π11.如图所示，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）.12. 设函数()()2111f x ln |x |x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）. A. 113,⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()113,,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C. 1133,⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1133,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14,-，则=a .14.若x 、y 满足约束条件50210210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点(4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线ln y x x =+在点处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则=a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、△AD 平分BAC ∠， 2BD DC =.（I ）（II 60，求.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.19、（本小题满分12分）如图所示，长方体1111ABCDA B C D ﹣中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ， 11D C 上，114AE D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.上. ，线段AB 的21、（本小题满分12分）已知函数()()=ln +1f x x a x -.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.α.0π24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
2015年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文）试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题， 共计 60 分）1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x 则,30,21（ ） A.( −1,3) B 。
( −1,0 ) C.(0，2) D.(2,3） 2。
若a 实数,且=+=++a i iai则,312( ） A 。
—4 B. -3 C 。
3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）2700260025002400210020001900)A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B 。
2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D 。
2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
4。
已知向量=•+-=-=a b a b a ）则（2),2,1(),1,0(（ ） A. -1 B 。
0 C 。
1 D. 25。
设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则（ ）A 。
5B 。
7 C. 9 D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ）A 。
81 B 。
71 C. 61 D. 51 7。
已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ）A 。
35B 。
321C 。
352D 。
348。
右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a为（)否否A。
0 B. 2 C。
4 D。
149。
已知等比数列{}=-==24531),1(4,41aaaaaan则满足（)A. 2B. 1C.21D.8110.已知A,B是球O的球面上两点,为该球面上动点，CAOB,90︒=∠若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A. 36πB. 64πC。
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（第5题图） 2015年高考考前押题试卷 （全国新课标II卷） 文 科 数 学
第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．若复数3()1xizxRi是实数，则x的值为
A．-3 B．3 C．0 D．3
2．设集合2{|3100}MxRxx，{|||2}NxZx，则MN A．(2,2) B．(1,2) C．{1,0,1} D．{2,1,0,1,2} 3．24sin225，02，则2cos()4的值为
A．15 B．15 C．75 D．15 4．下列判断错误．．的是 A．“22ambm”是“a < b”的充分不必要条件 B．命题“xR，3210xx”的否定是“0xR，3210xx”
C．若p,q均为假命题，则pq为假命题 D．若~(4,0.25)B，则1D 5．在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是 A．2 B．4 C．128 D．0
6．若椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，则双曲
线22221xyab的渐近线方程为 A． B． C． D． A．xy2B．xy21C．xy4D．xy41
7．已知等差数列{}na中，111a，前7项的和735S，则前n项和Sn中 A．前6项和最大 B．前7项和最大 C．前6项和最小 D．前7项和最小
8．已知二项式21()2nxx（nN）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中
的常数项为 A．45256 B．47256 C．49256 D．51256 9．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是
A．8 + π B．283
C．12 + π D．2123 10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是
A．15 B．24125 C．96125 D．48125 11．如图，设平面EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D，若增加个一条件，就能推出BD⊥EF。现有①AC⊥β； ②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF。那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知()fx是定义在(3,3)上的奇函数，当0 < x < 3时，
2()43fxxx那么不等式()cos0fxx的解集是
A．(3,)(0,1)(,3)22 B．(,1)(0,1)(,3)22 C．(3,1)(0,1)(1,3) D．(3,)(0,1)(1,3)2
第II卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．已知向量(1,0)a，(0,1)b，ckab，2dab，如果c∥d，则k = __________。
14．在等比数列{}na中，若公比1q，且286aa，465aa，则57aa__________。 15．已知P是抛物线22yx上的一个动点，过点P作圆22(3)1xy的切线，切点分别为M、N，则||MN的最小值是
__________。 16．已知函数()cos()(0,0,0)fxAxA为奇函数，
A E
F
B D
C
第9题
GFEyxO组距频率该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则(1)f的值为__________。 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知数列{}na的前n项和为Sn。已知12a，142nnSa。
（1）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列； （2）求数列{}na的通项公式。 18．（本小题满分12分） 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7。 （1）求这次铅球测试成绩合格的人数； （2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今 年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成 绩不合格．．．的人数，求X的分布列及数学期望； （3）经过多次测试后，甲成绩在8~10米之间，乙 成绩在9.5~10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比 乙投掷远的概率. 19．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥PABC中，
2,90,,ACBCACBAPBPAB
,PCAC点D为BC中点；
（1）求二面角APDB的余弦值； （2）在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面
PAD所成角的正弦值为16，若存在，求出点M的位置；
若不存在，说明理由。 20．（本小题满分12分）
如图，(1,1)S是抛物线为22(0)ypxp上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA = SB。 （1）求证：直线CD的斜率为定值；
（2）延长DC交x轴于点E，若||1||3ECED，求cos2CSD的值。 21．（本小题满分12分） 已知函数ln(),()xfxkxgxx
（1）若不等式 ()()fxgx在区间1(,)ee内的解的个数；
PAB
CD（2）求证：555ln2ln3ln1...232nne。 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若25ACAB，求AFDF的值。
23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为210cos10sinxy（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为2cos6sin （1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式2271xx在(,)xa上恒成立，求实数a的最小值；
2015年高考资源网考前押题试卷
A B O
C D F
E （全国新课标II卷） 文科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A B A A A D B B 二、填空题
13．12 14．23 15．455 16．3
三、解答题 17．（本小题满分12分）
（1）证明：由已知得12142aaa，解得28a，12124baa。
又有2211142(42)44nnnnnnnaSSaaaa 所以21122(2)nnnnaaaa，即12nnbb 因此数列{}nb是首项为4，公比为2的等比数列。……6分 （2）解：由（1）得等比数列{}nb中14b，2q 所以1112422nnnnnbaa，11122nnnnaa， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，2nnan，2nnan ……12分
18．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为7500.14(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分) (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为1475025,∴X～7(2,)25B.
218324(0)()25625PX，12718252(1)()()2525625PXC，
2749(2)()25625PX. (7分)
所求分布列为 X 0 1 2
P 324625 252625 49625
714()22525EX (9分)
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为