驻波
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
驻波的原理和危害
驻波的原理和危害
驻波的原理：
驻波是指在传导线或波导中，由于波的反射和干涉引起的波的干扰现象。
当一定频率的信号在传导线或波导中传输时，会发生部分的信号反射，反射信号和传输信号相干干涉，形成驻波。
驻波的形成是由传输线的负载阻抗与传输线本身特性阻抗不匹配引起的。
驻波的危害：
1. 信号衰减: 驻波会导致信号在传输线中部分反射回源端，这些反射信号会与传输信号相互干扰，使得在接收端收到的信号强度降低，导致信号衰减。
2. 信号失真: 驻波会引起信号幅度和相位的变化，导致传输信号失真。
频率较高的信号在传输中产生的驻波更加明显，因此对于高频信号传输的应用，驻波会导致信号失真。
3. 电路不稳定: 在电路中，驻波会导致电流和电压的反射，从而导致电路中的电压和电流分布不均匀。
这种不均匀的分布可能会破坏电路的正常工作，使电路不稳定。
4. 能量损失: 由于驻波的形成会导致信号的反射和干涉，一部分能量被反射回源端，无法被传输到目的地，从而造成能量的损失。
总的来说，驻波会导致信号衰减、失真、电路不稳定和能量损失等问题，降低了信号传输的质量和效率。
因此，在设计和安装传输线或波导时，需要避免或减小驻波的影响。
简述驻波的原理及应用
简述驻波的原理及应用驻波是指在空间中存在着振幅不变的波动形态。
驻波的形成原理是当一定频率的波在一条传播路径上来回传播时，由于波的传播速度和路径长度的关系，会导致传播的波和反射的波之间相互叠加，形成驻波。
驻波的形成需要满足两个条件：一是在传播路径的两端存在反射面；二是反射的波和传播的波之间具有相同的频率。
当满足这两个条件时，波在传播路径上来回传播，并且相互叠加形成稳定的波形。
驻波的形态与波长、路径长度以及传播速度等因素有关。
具体来说，如果传播路径长度为半个波长的整数倍，那么传播的波和反射的波在相遇时会互相叠加，形成干涉，波峰与波谷叠加，振幅增大，形成波形呈现出明显的节点和腹部。
这种现象称为驻波。
而当传播路径长度为波长的整数倍时，反射的波和传播的波处于相位同步，互相叠加形成稳定的波形。
驻波现象在物理学、电子学、声学等领域都有广泛的应用。
在物理学领域，驻波可以用于研究波动性质。
通过观察驻波的波形、节点和腹部的位置等特征，可以推断波的频率、波长和传播速度等参数。
此外，驻波还可以用于测量波速和频率。
例如，可以利用驻波现象来测量声波在空气中的传播速度。
在电子学领域，驻波可以用于研究电磁波的传播。
在传输线路或天线系统中，当传播的电磁波与反射的电磁波相遇时，会形成驻波。
通过观察驻波的波形，可以判断电磁波是否正常传输，以及传输线路是否匹配。
驻波比（VSWR）是衡量传输线路匹配程度的重要指标，通过测量驻波比可以评估传输线路的性能。
在声学领域，驻波可以用于控制声波的传播。
利用反射、折射和干涉等现象，可以设计出具有特定频率和波形的驻波系统。
这种系统被广泛应用于音乐演出、声学实验和工程设计等领域。
例如，乐器的共鸣腔体就是利用驻波原理来增强声音的产生和放大。
除了以上几个领域，驻波还在其他科学和工程领域有着重要的应用。
例如，在光学领域，驻波可以用于制造光纤和光波导器件，用于光通信和光器件的设计与制造；在微波领域，驻波可以用于微波谐振腔的设计与调谐，用于微波电路的设计与测试。
驻波
L= n
λ
2
, (n = 1, 2⋅ ⋅ ⋅ )
★ 波节 — 振幅为0，始终静止的点
振幅最大， ★ 波腹 — 振幅最大，振动最强的点
二. 驻波方程
y1 = Acos (ω t 2π
x
λ
+ ϕ1 )
λ ϕ1 + ϕ2 x ϕ2 −ϕ1 y = 2Acos(2π + )cos(ω t + ) λ 2 2
L=n
λn
A
弦 L
B
一端固定一端自由 一端固定一端自由 固定一端 的弦振动的简正模式
1 λn l = (n − ) n = 1,2,⋯ 2= 4 5λ 3 l= 4
2）笛中的驻波
L = (2n −1)
λn
4
n=1 n=2 n=3 n=4 第二谐频
2L λn = 2n −1 u u νn = = (2n −1) λn 4L
波节两边质点作反相 反相振动 ★ 波节两边质点作反相振动 。
3. 驻波的能量特征 (1) 当各质点达最大位移时全部为势能，波节点附近集中的 当各质点达最大位移时全部为势能， 势能最多(此处形变最大 此处形变最大) 势能最多 此处形变最大
(2) 当各质点达平衡位置时全部为动能，波腹点附近集中的 当各质点达平衡位置时全部为动能， 动能最多(此处速度最大 此处速度最大) 动能最多 此处速度最大 (3) 驻波的动、势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 既无波形传播又无振动状态和能量传播。 既无波形传播又无振动状态和能量传播。
相位跃变） 相位跃变 四、半波损失 (相位跃变）
波阻： 1. 波阻：ρ u 2. 半波损失
其中， 波速。 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。 两介质相比较， 大者称波密介质，小者称波疏介质。 波密介质 波疏介质
驻波的原理及应用
驻波的原理及应用1. 驻波的概念驻波是指两个同频率、同振幅、反相的波沿相同的传播介质正向与反向传播相遇形成的波动现象。
在驻波中，能量来回反复传递，节点和腹部交替出现。
2. 驻波的原理驻波的形成是由于在传播介质中存在波的反射和干涉现象。
当波沿介质传播时，遇到介质的边界或接口时会发生反射，反射波与入射波相遇形成驻波。
驻波的形成需要满足以下两个条件：•波的频率和振幅相同；•波沿传播介质的正向和反向传播的路径长度相等。
当波传播到反射端时，会发生反射并沿着反向路径传播回来。
如果反射波和入射波相遇形成叠加，它们就会产生干涉效应，形成驻波。
3. 驻波的节点与腹部驻波中存在节点和腹部两种特殊的位置。
•节点是指驻波中振动幅度为零的位置，即波的振幅达到最小值；•腹部是指驻波中振动幅度为最大值的位置。
在一维驻波中，驻波的节点和腹部交替出现，每个节点和腹部之间的距离为半个波长。
4. 驻波的应用驻波在科学和工程中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：4.1 驻波测量驻波现象可以被用来测量介质的性质，例如介质的速度、密度、阻抗等。
通过测量驻波节点和腹部的位置，可以计算出这些参数的数值。
4.2 驻波天线驻波天线是一种特殊的天线结构，利用驻波现象来增强天线的性能。
通过与传输线的匹配，驻波天线可以提高天线的辐射效率和增益。
4.3 驻波管驻波管是一种用于高频信号放大的装置。
驻波管内部的电子束会在驻波管的腹部进行集中，从而增强信号的能量。
4.4 驻波过滤器驻波过滤器是一种用于滤波的装置，通过调节驻波过滤器的长度和形状，可以选择性地通过或阻止特定频率的信号。
4.5 驻波降噪器驻波降噪器是一种用于减少信号噪声的装置，通过引入反相的驻波来与信号进行干涉，从而减少噪声的影响。
5. 总结驻波是由于波的反射和干涉现象所形成的波动现象。
驻波的节点和腹部交替出现，可以被用于测量介质性质、优化天线性能、实现信号放大和滤波等应用。
驻波的原理和应用在科学研究和工程技术中具有重要的意义。
简述驻波的原理及应用
简述驻波的原理及应用驻波是一种特殊的波动现象，由于波的反射和干涉引起波在介质中形成固定位置上波峰和波谷的分布。
驻波的形成需要两个相同频率、相同振幅的波沿相反方向沿同一介质传播。
驻波的形成取决于两个波的干涉，其中一个波称为来波（incident wave），另一个波称为反射波（reflected wave）。
驻波的形成可以通过以下过程来详细解释：1. 来波入射：来波以一定的频率和振幅入射到介质中。
来波可以是声波、电磁波或机械波等。
2. 反射波反射：来波遇到介质中的障碍物或边界后，部分能量会被反射回来并沿相反方向传播。
3. 干涉：来波和反射波在介质中相遇并交叠形成加强和减弱的干涉图案。
4. 驻波形成：当来波和反射波的振幅、频率和相位差满足一定条件时，驻波就会形成。
在驻波中，特定位置上的波峰和波谷不随时间变化，这些位置称为驻波节点和驻波腹部。
驻波的应用非常广泛，以下是一些驻波应用的例子：1. 音乐乐器：驻波是声学乐器（如弦乐器和管乐器）的基本原理之一。
乐器通过弦的振动或空气柱的共鸣来产生驻波并输出声音。
2. 无损检测：通过驻波的原理，可以对材料进行无损检测。
例如，通过对金属材料中的超声波进行传播和反射，可以检测材料的内部缺陷和结构状况。
3. 激光：激光（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）也是通过驻波的原理工作的。
激光器中的光通过多次的反射和干涉，形成驻波并得到高度聚焦的光束。
4. 驻波管：驻波管是一种利用驻波的原理来调整和增强微波信号的装置。
它被广泛应用在微波通信和雷达系统中，用于放大和调整信号的频率。
5. 理论物理研究：驻波是学习波动理论和量子力学的重要基础。
研究驻波可以帮助我们理解波的性质、干涉和共振现象。
总结来说，驻波是由于波的反射和干涉而在介质中形成固定位置上波峰和波谷的分布。
驻波的应用涉及声学、光学、电磁和机械等领域。
驻波知识点
驻波知识点驻波是波动现象中的一个重要概念，广泛应用于电磁波、声波等领域。
了解驻波的基本概念和特性对于理解波动现象以及在实际应用中的运用具有重要意义。
本文将从基础概念、形成机制、特性以及实际应用等方面，分步骤地介绍驻波的知识点。
第一步：基础概念驻波是由两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成的一种特殊波动现象。
在驻波中，波动的节点（波幅为零）和波动的腹部（波幅最大）交替出现。
节点和腹部之间的距离被称为波长，而节点之间的距离则是半波长。
第二步：形成机制驻波的形成机制涉及波动的传播和干涉。
当两个波在同一介质中传播时，它们会相互干涉，形成驻波。
在这个过程中，来自两个方向的波经过反射、折射、散射等现象后，在特定位置上出现波动的叠加，形成了节点和腹部。
第三步：特性驻波具有一些独特的特性，其中最重要的特性是节点和腹部的分布。
节点是波动的位置，波幅为零。
相邻两个节点之间的距离是半波长。
相反，腹部是波动的位置，波幅达到最大。
腹部和节点之间的距离也是半波长。
此外，驻波还具有波动的稳定性和固定的频率。
第四步：实际应用驻波在实际应用中有广泛的用途。
其中一个重要应用是在电磁波领域中，如微波炉和天线。
微波炉利用驻波的节点和腹部形成热点，使食物迅速加热。
天线利用驻波的特性来增强信号的传输效果。
此外，在声学领域，如乐器制作和音响系统设计中，驻波也扮演着重要的角色。
总结驻波是一种特殊的波动现象，通过两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成。
了解驻波的基本概念、形成机制、特性以及实际应用对于理解波动现象和在实际应用中的运用具有重要意义。
驻波的知识点在电磁波、声波等领域中有广泛的应用，如微波炉和天线等。
通过深入学习和研究驻波，我们可以更好地理解波动现象，并在各个实际领域中应用这一知识点。
驻波的名词解释
驻波的名词解释驻波：从天线出发的电波在传播过程中，遇到阻挡物后发生反射或折射时所形成的电压振荡。
驻波有幅度随时间增加，并且按与传播方向垂直的正弦规律衰减的特点，可以看作是接收天线和发射天线之间产生的干涉效应。
驻波信号在时域上具有稳定周期性的脉动成分，频域上表现为一系列复杂的谐波分量，其相互关系为两个波腹频率相差πf和πf的正弦波，相差为f的正弦波称为上、下半拍。
两个上、下半拍的频率之比称为振幅比(F： B)。
驻波的解调实际上就是寻找能使谐波分量衰减的谐波分量。
另外，我们将频率不同但幅值相等，而且相位彼此相差180°的信号合称为干涉信号。
驻波的频率、波长及其电场强度均随传播距离的增加而迅速减小，因此驻波属于一种阻抗失配的现象，它是造成无线电信号反射、衰落的主要原因。
驻波信号处理原则：(1)首先要区分基带、载频和各子载波，在这三者中又根据它们所含的高频信号的多少又可将载波分为低频、高频和超高频载波，只含有基带信号的称为基带信号；(2)尽量利用天线端口和接收机对高频成分进行滤波；(3)根据干扰产生的条件选择最佳干扰抑制方法；(4)要求驻波中的干涉部分尽可能短。
驻波的频率、波长及其电场强度均随传播距离的增加而迅速减小，因此驻波属于一种阻抗失配的现象，它是造成无线电信号反射、衰落的主要原因。
驻波的存在和出现使无线电波在传输过程中出现了反射、绕射和折射，导致能量损耗，从而影响了通信的质量。
有源干涉衰落和负载干涉衰落是产生驻波的两种典型的自然现象。
但也有人指出，为了提高通信质量而设计的驻波避雷器、双工器和分集接收器等都是能有效地消除驻波的措施。
为了提高系统对驻波的抑制能力，改善通信质量，在通信系统中常采用加大高频头的尺寸，减小天线口径，选用阻抗匹配良好的天线馈线等方法来减小驻波。
对接收信号有调幅作用的装置，如空间滤波器、频率合成器、旁瓣抑制器等，都可以抑制或减弱驻波。
驻波的去除方法：(1)放大检波，即放大高频振荡回路；(2)加入负反馈，可用于任何调制系统中；(3)前置滤波器(前置放大器)；(4)驻波产生器。
6.4 驻波
y = A( x )cosωt
二、驻波的特点
A( x) = 2Acos 2π
x
λ
1、波腹与波节 驻波振幅分布特点
cos 2π x
λ
=1
A( x) = 2A 振幅最大，波腹 振幅最大，
2π
x
λ
= ±kπ
x
x = ±k
λ
2
k = 0,1,2,⋯
cos 2π
λ
=0
A( x) = 0 振幅最小，波节 振幅最小，
系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。 系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。 一般是各种简正模式的叠加。 一般是各种简正模式的叠加。 两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时， 两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该 点为波节的那些模式（对应于 k 次，2 k 次…...谐 点为波节的那些模式（ ...谐 ... 就不出现，使演奏的音色更优美。 频)就不出现，使演奏的音色更优美。 当周期性强迫力的频率与系统（例如， 当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有 频率之一相同时，就会与该频率发生共振， 频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频 率振动的振幅最大。可用共振法测量空气中声速。 共振法测量空气中声速 率振动的振幅最大。可用共振法测量空气中声速。
1 2π = ±( k + )π λ 2
x
1 λ x = ±( k + ) 2 2
k = 0,1,2,⋯
1 λ 波腹 x = ±k k = 0,1,2,⋯ 波节x = ±( k + ) k = 0,1,2,⋯ 2 2 2
相邻波腹间的距离为： 相邻波腹间的距离为： ∆x = ∆k λ 2 |∆k=1 = λ 2 相邻波节间的距离为： ∆x = λ 2 相邻波节间的距离为： 相邻波腹与波节间的距离为： 相邻波腹与波节间的距离为： λ
10-5 驻波
20
五 振动的简正模式
1010-5
驻
波
两端固定的弦线形成驻波时, 两端固定的弦线形成驻波时,波长 固定的弦线形成
l = n
λn
2
, νn
u = n 2l
λn和弦线长 l 应满足
n = 1, 2 ,
只有波长(或频率 满足上述条件的那些波才能在弦上形成驻波 只有波长 或频率)满足上述条件的那些波才能在弦上形成驻波. 或频率 满足上述条件的那些波才能在弦上形成驻波. 其中与n=1对应的频率称为基频,其它频率依次称为二次,三 对应的频率称为基频 其它频率依次称为二次, 其中与 对应的频率称为基频, 谐频(对声驻波则称为基音和泛音 次……谐频 对声驻波则称为基音和泛音 . 谐频 对声驻波则称为基音和泛音) 各种允许频率所对应的驻波模式(即简谐振动方式 即为简正 各种允许频率所对应的驻波模式 即简谐振动方式)即为简正 即简谐振动方式 即为 模式,相应的频率为简正频率. 模式,相应的频率为简正频率. 简正频率
y
λ
4
波腹 波节
λ
4
3λ 4
λ
5λ 4
2
x
振幅包络图
11
(2) 相位分布 )
y = (2 A cos
x ∈ (
2π
λ λ
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2 A cos
2π
λ
x) cos ωt
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
12
y
λ
x π y2 = 10 cos[200 π(t + ) + ] (m) 200 2
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18
讨论
如图二胡弦长 l 0.3 m ，张力 T 9.4 N . 密度 4 3.8 10 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频.
解 ：弦两端为固定点，是波节.
ln
千斤
nu 频率 2l
u
2
n 1,2,
波速 u
T
l
1 基频 n 1 1 2l
1） 解
u 330 m/s, vsA 0, vsB 60 m/s
330 -30 ' 500 Hz 454 .5 Hz 330
26
u vo ' u vs
例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静 止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一 观察者O，以30m/s 的速度也向右运动. 已知空气中的 声速为330m/s，求： v sB vO 2）观察者听到来自B 的频率 3）观察者听到的拍频 A O B
x 2 x0 可得： y A cos[ ( t )] 反 u u
12
例：已知入射波的波函数为： y A cos ( t x u) 试求：反射波的波函数。 另解：x0处反射时相位产生π突变，所以反射波在 x0处的振动方程为：
入射 反射
y p反 A cos[ ( t x0 u) ]
波节，振幅为零。 对应于 cos
2
x 1,
x 0,
2
x k
即：
2
波腹的
2 位置为： k 0, 1, 2, 3,...
2
x k
x ( 2k 1)
2
,
波节的 x ( 2k 1) , 4 位置为：k 0, 1, 2, 3,...
相邻波腹和波节间距
y p入 A cos ( t x0 u)
设反射波方程为：
入射 反射
波 密
y反 A cos[( t x u) ]
因 x0 处入、反射波的相位差为：
x0
[ ( t x0 u) ] [ ( t x0 u)] 2x0 u
2 x0 u
v o 运动
观察 者接 收的 频率
u vo ' 观察者向波源运动 u u vo ' 观察者远离波源 u
21
二 观察者不动，波源相对介质以速度
v s 运动
22
s
v sT
u
s'
vsT
T u A
b
T '
b
u
u 1 u ' T ' vsT u vs
2）驻波方程
y y入 y反
x x ) )] 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200（t 200 200 x x 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200 t （ )] 200 200 0.4 sin( x )sin(200 t )
7
3、驻波的能量
各质点同时到达最大位移时，动能为零，势能不为 零，波节处形变最大，基本上势能集中在波节附近。 当各质点同时回到平衡位置时，全部势能为零， 动能最大，波腹处质点速度最大，基本上动能集中 在波腹附近。 其它时刻，则是动能和势能并存。 驻波与行波不同，没有能量的定向传播。它只是 介质的一种特殊的振动状态。
T
码子
n 谐频 n 1 n 2l
T
262 Hz
19
9-6多普勒效应 讨论 人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？
接收频率——单位时间内观测者接收到的振动次 数或完整波数.
发射频率 s
s ?
接收频率
20
只有波源与观察者相对静止时才相等.
一 波源不动，观察者相对介质以速度
200 200
例：如图所示，有一沿X轴正向传 y1 播的平面简谐波，其波函数为： x O y1 0.2 cos[200 ( t )]( SI ) y 2 P x(m) 200 此波在d=6.0m的Ｐ处受到波密介质平面的反射（设反 射时波的强度不变）。求：1）反射波的波动方程； 2）驻波方程；3）ＯＰ之间波腹和波节的位置。 6 解: 1) y入P 0.2 cos[200 ( t )] 200 0.2 cos 200t 6 ) 0.2 cos 200t ) （ （
波源向观察者运动
观察 者接 收的 频率
u ' u vs u ' u vs
波源远离观察者
23
三 波源与观察者同时相对介质运动
( vs , vo )
u vo v o 观察者向波源运动 + ，远离 . ' u vs v s 波源向观察者运动 ，远离 + .
若波源与观察 者不沿二者连线运 动
驻波方程仅仅表示介质中各个质元都在作振 幅不等的简谐振动。 x 振幅项 2 A cos 2 只与位置 有关，而与时间无关。
振幅最大的点称为波腹， 振幅为零的点称为波节，
波 腹
波 节
4 由驻波方程中的振幅项可以求出波腹和波节的位置。
波 腹
波 节
波腹，振幅值最大为2A。 对应于 即：
cos 2
9.5 驻波 驻波是特定条件下的波的干涉。 一、驻波的形成
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时，叠加而形成的一种特 殊的干涉现象。
当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。
1
弦线驻波实验示意图
驻波的形成
驻波的特点： 介质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。
反射波传播 l 距离至 x 处， 滞后 l/u 时间
波 密
x0
x0 l y反 A cos[( t ) ] u u x0 x0 x A cos[ ( t )] u u x 2 x0 A cos[ ( t )] u u
13
y反P 0.2 cos 200t ) （ 6 x y反 0.2 cos[200（t ) )] 200 x x 0.2 cos[200（t ) 5 )] 0.2 cos[200（t ) )] 14
y
相邻两波节之间质 点振动同相位，任一波 节两侧振动相位相反， 驻波好像是分段振动着 的。（与行波不同，无 相位的传播）。
2
o
2
x
6
3、驻波的能量 位移最大时
波 节
波 腹 A B C
x x
平衡位置时
y 2 dEp ( ) x
y 2 dEk ( ) t
波节处的质点动能为零，相对形变最大，只有势能； 波腹处的质点相对形变最小，势能最小（为零）， 只有动能。
2
二、驻波方程
设有两列相干波，分别沿X轴正、负方 向传播，选初相位均为零的表达式为：
正向： y1 A cos 2π(t
x
其合成波称为驻波，其表达式： x x y y1 y2 A cos 2π( t ) A cos 2π( t )
x 负向： y2 A cos 2π(t )
x ( 2k 1)
,
四、 两端固定的弦线（如琴弦）上的驻波
由于弦线两端为波节，所以，应满足下列关系
Ln
则
2
( n 1, 2, 3,)
2L n n
两端固定的弦中激起 的驻波，其波长不是任意 的。必须满足上述条件。 由于 n 是自然数，能在弦上形成驻波的波长是 不连续的，为一系列分立值。 ——波长量子化
330 30 500 Hz 461 .5 Hz 解 2） 330 60
3） 观察者听到的拍频
7 Hz
27
)
2 y ( 2 A cos x ) cos 2π t
（驻波方程）
驻波的振幅与位置有关
各质点都在作同 频率的简谐运动
表明：表示各点都在作同频率简谐振动，与原来波的 3 频率相同。但各点振幅随位置的不同而不同。
1、波节和波腹 2 x cos 2 π t 驻波方程： y 2 A cos
25
例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静 止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一 观察者O，以30m/s 的速度也向右运动. 已知空气中的 声速为330m/s，求： 1）观察者听到来自A 的频率 v sB vO 2）观察者听到来自B 的频率 A O B 3）观察者听到的拍频
3）ＯＰ之间波幅和波节的位置 波腹处： sin( x ) 1 波节处： sin( x ) 0
x 2k
2 k 0,1,2,3, 6.
,
x波节 0,1,2,3,6m
2 k 0,1,2,3, 5. 1 3 5 7 9 11 x波腹 ， ， ， ， ，15 m 2 2 2 2 2 2
16
两端固定的弦线形成驻波时，波长
u 应满足 L n ， n n n 1,2, 由此频率 2L 2 决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式。
这些频率叫弦的本征频率，n=1对应的频率叫 17 基频，其它的叫谐频。 ☆
和弦线长 L
例如弦乐器（如胡琴、提琴）是使有一定张力 的琴弦作振动并通过琴箱而发声。用手指按琴弦的 不同的地方就等于限定了弦的长度，限定了弦振动 的固有频率。此外，管乐器（如笛、萧）是利用气 柱中形成的驻波而发声，而锣、鼓等乐器也都是波 在板或膜上传播形成了驻波而发声的。 驻波在涉及波动现象的各个科学技术领域中都 有表现与应用。例如在设计激光谐振腔和用微观粒 子的波粒二象性解释玻尔量子化条件时都要用到驻 波的概念。