例谈中考试题中的辅助圆
中考数学复习利用辅助圆求解动点最值问题
利用辅助圆求解动点最值问题许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:一、同一端点出发的等长线段例1 如图1，在直角梯形ABCD中，90,3,4,6DAB ABC AD AB BC，点E是线段AB上一动点，将EBC沿CE翻折到EB C，连结,B D B A.当点E在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A的最小值.解析如图1，当点E在点B时，B与B重合;当点E在点A时，设点B在点F处，由翻折可知BC B C FC.所以，点B在以C为圆心，BC为半径的圆上，运动轨迹为弧BF.来源学科网Z.X.X.K]如图2，点D在⊙C内，延长CD交⊙C于点1B.当点B在点1B时B D最小，最小值为11B C DC.点A在⊙C外，设AC交⊙C于点2B，当点B在点2B时B A最小，最小值为22136AC B C.设AD与⊙C交点为3B，当点B在点3B时B D B A最小，最小值为3AD.点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1 如图3，点A在⊙O外，A到⊙O上各点连线段中AB最短；如图4，点A在⊙O内，A到⊙O上各点连线段中AB最短.CA CO，如图 3.证明在⊙O上任取一点C，不与点B重合，连结,CA OA OC OB CA AB,得证.,,OC OA CA OC OB AB CA，得证.如图4, ,,二、动点对定线段所张的角为定值模型2 如图 5 , AB为定线段，点C为AB外一动点，ACB为定值，则点C形成的轨迹是弧ACB、弧AmB(不含点,A B).D E F分别在⊙O外、证明设⊙O为ABC的外接圆，在AB上方任取三点，点,,⊙O上、⊙O内.D AGB CE C AFB H C,,,当ACB为定值时，点C形成的轨迹是弧ACB、弧ADB(不含点,A B).1.动点时定线段所张的角为直角AEB，例2 如图6，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90连结DE，求DE的最小值.来源学科网ZXXK]AEB AB为定线段，由模型2可知，点E在以AB为直径的圆上.解析90,连OD交⊙O于点F，由模型1，当E在点F处时DE最短，最小值是51.点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.2.动点时定线段所张的角为锐角XOY，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在例 3 如图7, 45AB，求点O到AB距离的最大值.OX OY上移动，10,解析如图8,⊙D为ABO的外接圆，由模型2知，点O的运动轨迹是弧AOB(,A B 两点除外).过点D作AB的垂线，垂足为点E,交弧AOB于点F，当点O在点F处时，O到AB的距离最大，即为FE长.ADB.45,90AB FD AD DB DE,10,52,5FE.525故O到AB距离的最大值为525.点评本题AB是定长，XOY为定值，利用模型2，找到点O的运动轨迹是一段弧，这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.模型3 如图9,AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点(不与,A B重合)，过点O作DE AB，垂足为D，交⊙O于点(,E E D在O两侧).当点C在点E处时，点C到AB的距离最大，即为DE长.证明如图9，作CF AB垂足为点F,CF CD OC OD ED，得证.3.动点对定线段所张的角为钝角例4 如图10，正三角形ABC边长为2，射线//AD BC，点E是射线AD上一动点(不与点A重合)，AEC外接圆交EB于点F，求AF的最小值.来源学科网][来源:Z§xx§k Com]解析如图10 ,60,120EAC BFC.BC为定长，点F的运动轨迹是弧BC(不与,B C重合).过点A作AG BC垂足为G，交弧BC于点H，当点F在点H时AF最小，最小值为323333AG HG.点评本题将动点E转化到动点F，且因为120BFC,BC为定长，由模型2可知，点F的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.三、动点对定线段所张的角的最值例5 如图11，四边形ABCD中，均有//,,60,8,AD BC CD BC ABC AD来源:Zxx k Com]。
2025年数学中考总复习第一部分整体知识梳理第六章圆微专题构造辅助圆
D，E，O三点
三点共线时，线段
DE
有最值,其
的一动点，
共线时，线段
最大值为d+r
=
2r，最小值为d求DE的最
DE有最值，
r=0(点D,E重合)
值（其中
其最大值为
OD=d，半 若点D 在☉O内(d<r)，当D,E,O
d+r，最小值
径为r）
三点共线时，线段 DE 有最值，
为|d-r|
其最大值为d+r,最小值为r一d
为8-4=4.
图1
-5-
微专题
构造辅助圆
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于点H，延长HC交☉C于
点D，此时△ABD的面积最大，易得AB=10，CH=4.8，
∴DH=8.8，∴S△ABD=1/2×10×8.8=44.（3）如图3，由
题意可得当BD为☉C的切线且D为切点时，∠CBD的度
数最大，此时sin ∠CBD=CD/BC=1/2，∴∠CBD的度数
2
即A'C最大，当点C在A'B的延长线上时，A'C最大，此时
A'C=A'B+BC=2 2+1，∴OM= 2 +
2+
1
，∴OM的最大值是
2
1
.
2
答案图1
-9-
微专题
构造辅助圆
解法2：连接AB，取AB的中点D，连接DM.由A（2，0），B（0，
1
1
2），得D（1，1），∵D，M分别为AB，AC的中点，∴DM= BC= ，
定值），则点A，B，C在以点O为圆心，d
为半径的圆上
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微专题
中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。
2024年中考数学总复习第一部分考点精练第六单元圆微专题辅助圆问题
微专题辅助圆问题1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若sin∠EOC＝25，CE＝4，则BC的长为________．第1题图2. (2023徐州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为________．第2题图3. (2023龙东地区)如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得到Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是________．第3题图4. (2023菏泽)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD<BC，点E在线段BC 上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为________．第4题图5. 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且满足∠CBP ＋∠CDP ＝45°.若AB ＝6，则四边形ABPD 面积的最大值为________．第5题图6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，tan B ＝23，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A ′B ′C ，点A 的对应点为A ′，若P 为A ′B ′的中点，连接AP ，则线段AP 的最大值为________．第6题图7. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝6，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且AF ＝BE ，连接CF 与AE 交于点G ，连接DG ，则DG 的最大值为________．第7题图8. (2023宜宾)如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90° 得到线段BQ ，连接MQ ，若AB ＝4，MP ＝1，则MQ 的最小值为________．第8题图1. 14 【解析】∵OE ⊥BD ，∴∠BOE ＝∠DOE ＝90°.∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD ＝90°，∴O ，E ，C ，D 四点共圆，如解图，连接DE ，∴∠EDC ＝∠EOC ，∴sin ∠EDC ＝sin ∠EOC ＝25，∵CE ＝4，∴DE ＝10.∵BO ＝DO ，∴EO 垂直平分BD ，∴BE ＝DE ＝10，∴BC ＝BE ＋CE ＝14.第1题解图2. 32－3 【解析】由折叠的性质可知，AC ′＝AC ，∴点C ′在以点A 为圆心，AC 为半径的圆弧上移动，∵BC ′≥AB －AC ′，∴当A ，C ′，B 三点共线时，BC ′取得最小值，且最小值为AB －AC ′＝AB －AC ，在Rt △ABC中，AB ＝CA 2＋CB 2＝32，∴BC ′的最小值为AB －AC ＝32－3.3. 4＋3 【解析】如解图，在Rt △ACB 中，∠BAC ＝30°，CB ＝2，点E 是斜边AB 的中点，∴AB ＝2CB＝4，CE ＝12AB ＝2＝AE ，AC ＝3BC ＝23，∴∠ECA ＝∠BAC ＝30°，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，则AG ＝12AC ＝3，∵在旋转的过程中，点F 在以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆上运动，AF ＝AB ＝4，∴点F 到直线CE 的距离的最大值为4＋3(如解图，G ，A ，F 三点共线时)，∴△CEF 面积的最大值＝12CE ×(4＋3)＝12×2×(4＋3)＝4＋ 3.第3题解图4. 29－2 【解析】如解图，设AD 的中点为O ，以AD 为直径作⊙O ，连接OB ，交⊙O 于点F ′，∵∠ABC＝∠BAD ＝90°，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB .∵∠ADF ＝∠BAE ，∴∠DF A ＝∠ABE ＝90°，∴点F 在以AD 为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到点F ′时，线段BF 有最小值，最小值为BF ′的长，∵AD ＝4，∴AO＝OF ′＝12AD ＝2，∴BO ＝52＋22＝29，∴BF ′＝OB －OF ′＝29－2，即BF 的最小值为29－2.第4题解图5. 182 【解析】如解图，连接BD ，AP ，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，过点A 作AO ⊥BD 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝6，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADC ＝∠C ＝90°，∴BD ＝62，∵∠CBP ＋∠CDP ＝45°，∴∠BPD ＝135°.∵S 四边形ABPD ＝S △ABD ＋S △BDP ＝18＋12BD ·PH ＝18＋32PH ，∴当PH 最大时，S 四边形ABPD 最大．∵BD ＝62，∠BPD ＝135°，作△BPD 的外接圆⊙A ，则AP ＝AB ＝6，易知△ABD 是等腰直角三角形，∴AO ＝12BD ＝32，∵PH ≤AP －AO ，∴当点O 与H 重合时，取等号，∴PH 最大＝6－32，∴S 四边形ABPD 最大＝18＋32×(6－32)＝18 2.第5题解图6. 4＋13 【解析】如解图，连接CP ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，tan B ＝AC CB ＝23，∴AC ＝4, ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝62＋42＝213.由旋转的性质得A ′B ′＝AB ＝213，∠A ′CB ′＝∠ACB ＝90°.∵P 为A ′B ′的中点，∴CP ＝12A ′B ′＝13，∴在旋转的过程中，点P 在以点C 为圆心，13为半径的圆上运动，∴当A ，C ，P 三点共线时，AP 有最大值，∴AP 的最大值为4＋13.第6题解图7. 43 【解析】如解图，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，∵BE ＝AF ，∴△ABE ≌△CAF (SAS)，∴∠AEB ＝∠CF A .∵∠BAE ＋∠AEB ＝120°，∴∠F AG ＋∠AFG ＝120°，∴∠AGC ＝120°，∵∠ADC ＝60°，∴∠AGC ＋∠ADC ＝180°，∴A ，G ，C ，D 四点共圆，点H 是圆心，点G 在AC ︵上，∵AB ＝AC ＝6，DH ＝AH ＝CH ，∴HG ＝HD ＝23，∴当D ，H ，G 三点共线时，DG 最大，DG的最大值为4 3.第7题解图8. 210－1【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.如解图，连接BM，将△BCM绕点B顺时针旋转90°得到△BAK，连接KP，KM，则△BMC≌△BKA，∴∠BCM＝∠BAK＝90°，∴∠BAD ＋∠BAK＝180°，∴D，A，K三点共线．∵∠KBP＋∠MBP＝90°，∠MBQ＋∠MBP＝90°，∴∠KBP＝∠MBQ.∵KB＝MB，BP＝BQ，∴△KBP≌△MBQ(SAS), ∴KP＝MQ，∵MP＝1，∴点P在以点M为圆心，1为半径的半圆上运动，当KP最小时，K，P，M三点共线，∴KM＝2BM＝2×42＋22＝210，∴MQ ＝KP＝210－1，∴MQ的最小值为210－1.第8题解图。
中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究(Word版)
对辅助圆的思考及探究锡滨-祝荣耀在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题--辅助圆.“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等. 那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.一线段最值线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.Ⅰ．折叠中的线段最值1．（2019 年成都中考）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A¢MN，连接A¢C，则A¢C 长度的最小值是．〖分析〗△AMN 沿MN 所在直线翻折过程中，始终都保持着MA=MA’，即A 点的运动轨迹满足于圆的基本概念，则A 点的运动轨迹是以M 为圆心，MA 为半径的一个圆，则A¢C 的最小值即转化到点C 到⊙M 的上的最小值问题，这时就可以得到A¢C 最小值是CM—半径，求出CM 的长即可，如下图．2．（2019 年无锡惠山区二模）如图，在Rt△ABC 中，∠B=60°，BC=3，D 为BC 边上的三等分点，BD=2CD，E 为AB 边上一动点，将△DBE 沿DE 折叠到△D B¢E 的位置，连接A B¢，则线段A B¢的最小值为．〖分析〗△DBE 沿DE 折叠过程中，与上题一样，始终满足于DB=D B¢，与1 相似，即作出辅助圆⊙D，以D 为圆心，DB 为半径的圆．A 为圆外一点，求AB’的最小值即用AD—半径即可，如下图．Ⅱ．圆轨迹中的线段最值3．（2019 年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以A（4，3）为圆心，1 为半径作圆．P 点为圆上一动点，连结OP．点B 为OP 的中点，点C 坐标为（2，0），求BC 的取值范围．〖分析〗点 P 的运动轨迹是圆，B 为 OP 中点，随着 P 的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，B 的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为 确定圆心，则连接 OA ，取 OA 中点 Q ．连接 BQ ，BQ= 1 AP = 1 ，则 B 的运动轨迹是以 Q 2 21 为圆心， 2为半径的圆．再求出 CB 的最大和最小值=CQ ±半径即可．（如下图）4．（2019 年无锡外国语中学一模）如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1，OB=3，以 O 为圆心， OA 长为半径作圆 O ．点 M 在圆 O 上运动，连接 MB ，以 MB 为腰作等腰 Rt △MBC ，使 ∠MBC=90°，M ．B ．C 三点为逆时针顺序，连接 AC ，则 AC 长的取值范围是 ．〖分析〗点M 的运动轨迹是圆，点C 是由BM 旋转90°得出，则根据“瓜豆原理”初步确定点C 的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为确定圆心，连接OM，将OM 也绕着点B 旋转90°，确定O¢，连接O¢C ．易证△BOM≌△ BO¢C ，得出OM =O¢C =1 ，则可得出点C 的运动轨迹是以O¢为圆心，1 为半径的圆．再求出AC 的最大和最小值= AO¢±半径即可．（如下图）Ⅲ．直角三角形中的辅助圆5.（2019 年江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC 的取值范围为．〖分析〗因为∠APB=90°，由90°所对的弦是直径得出，构造⊙O．以AB 中点O 为圆心，1 为半径作圆，则P 是在⊙O 上运动，确定CP 的最小值为OC—半径即可．（如下图）6.（2019 年无锡天一中学二模）如图，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．〖分析〗因为AE=DF，易得△ABE≌△ DCF、△AGD≌△ CGD，则∠ ABE= ∠ GAD= ∠ DCF．因为∠ GAD+∠ BAH=90 ° ，所以∠ BAH+ ∠ ABE=90° ，所以∠AHB=90° ．则点H 是在以AB 为直径的圆上运动．确定DH 的最小值为OD—半径即可．（如下图）Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆7．（2019 年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形ABCD，AB= 2 ，若点P 满足PD=2，且∠BPD=90°，请求出AP 的长．〖分析〗因为∠BAD=∠BPD=90°，则可认为B、A、P、D 四点是在以BD 为直径的圆上，设BD 的中点为O，则如图，共圆．得到∠BDA=∠APB=45°，得出∠DPE=45°，则在Rt △PED 中，得出DE=PE= ，在Rt△AED 中，AD= 2 ，得出AE= ，则可得AP= 6- ．如下图即可．8．（2019 年威海中考）如图，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB 长度的最小值．〖分析〗因为△ABC 为等边三角形，满足∠PAB=∠ACP，则可确定∠APC=120°，而∠APC 所对的边恒定为AC，且长度为定值，则由圆周角的性质可以得出P 点的运动轨迹是一个弧，点P 是在△APC 的外接圆上运动，确定BP 的最小值为OB—半径即可．（如下图）这也是我们定弦定角定理的一般模型．9．（2019 年无锡惠山区二模）如图，已知A、B 是半径为2 的⊙O 上的两动点，以AB 为直角边在⊙O 内作等腰Rt△ABC，∠B＝90°，连接OC，则OC 的最小值为．〖分析〗因为△ABC 为等腰Rt△，则∠BCA=45°为定值，延长BC 交⊙O 于点D，则∠ACD=135°，连接AD．因为∠ B=90°，则AD 为⊙O 的直径，即AD=4 为定值，则满足于上述例7 的定弦定角定理模型，可分析得出点C 是在一个圆上运动，则需要找圆心．设圆心为O¢，因为∠ACD=135°，则其所对的圆心角∠AO¢D =90°，则O¢是在⊙O 上，半径O¢D=2 ．连接O¢C ，则当O¢、O、C 三点共线的时候，OC 的值最小，为2 2-2 ．（如下图）二证明角度关系或求值Ⅰ．角度的倍数关系1．（2019 年江苏学大教师月考）如图，AB=AC=AD，如果∠DAC 是∠CAB 的k 倍，那么∠DBC 是∠BDC 的（）倍A．k B．2k C．3k D．不能确定〖分析〗因为AB=AC=AD，则B、C、D 三点可以看成是在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．则∠DBC 与∠CAD 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠BDC 与∠CAB 是同弧所对的圆周角和圆心角．∠DAC 是∠CAB 的k 倍，则∠DBC 也是∠BDC 的k 倍．Ⅱ．角度求值问题2．（2019 年无锡惠山区校级月考）已知在正方形ABCD 中，两顶点A、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 点D 在第一象限，点 E 为正方形ABCD 的对称中心，连结OE，证明OE 平分角∠ AOB．〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°，则可以说明A、O、B、E 四点共圆，以AB 的中点O¢为圆心，O¢A 为半径的圆．这种有一组对角为90°的四边形称为损矩形，即可采用四点共圆的技巧去解决．很明显，∠EBA 与∠AOE 是同弧所对的圆周角，则∠EBA=∠AOE=45°，即可说明OE 平分角∠ AOB．（如下图）Ⅲ．角度最值问题3．（2019 年南京市校级月考）如图，O 是半径为2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM⊥AB 于M，PN⊥CD 于N，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从D 运动到点C 时，tan∠QCN 的最大值为．〖分析〗因为PM⊥AB，PN⊥CD，则四边形MONP 为矩形，得到对角线MN=OP=2．说明OQ 的长度恒定为1，确定点Q 是在以O 为圆心，1 为半径的圆上，则当CQ 与圆相切时，即是∠ QCO 最大，tan∠QCN 的值最大．（如下图）三最值存在问题Ⅰ．线段范围1．（2019 年河池中考）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3 ，BC=4 ，P 是BC 边上的动点．设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90 °，则x 的取值范围是．〖分析〗因为∠ABC=90 °，则由直径所对的圆周角等于90 ° ，得出以BP 为直径的圆与线段AC 有交点，得出题目的解题技巧．则当⊙O 与AC 相切时，x 的值最小，当点P 到达C 点时，x 的值最大．（如下图）2．（2019 年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（4，0），点B 在第一象限，若N 为直线y=-x-2 上一点，过B 作直线l⊥x 轴，在l 上是否存在一点M，使得∠OMA=2∠ONA，且这样的点N 有且只有一个．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．〖分析〗因为题目中满足∠OMA=2∠ONA，在图中我们可以看出以M 为圆心，OM 为半径的圆正好满足于此条件，则可以理解为辅助圆．若这样的点N 有且只有一个，则说明⊙M与直线y=-x-2 相切即可，同时也要注意图形的对称性，M 存在另外一个点，与图中的M 点关于x 轴对称即可．（如左图）Ⅱ．路程长或面积问题3．（2019 年无锡惠山区校级月考）如图，矩形OABC 的边OA、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE＝1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H，在点P 从点F（0，程中，点H 的运动路径长为．25）运动到原点O 的过4〖分析〗因为∠APB=90°，且OE 为定长，则点H 在以OE 为直径的圆上运动．点P 由点F 为起点，O 为终点运动，则点H 的运动轨迹是一段弧，圆心角为∠ OO¢H ，则求出∠ OO¢H 的度数即可，而∠ OO¢H =2 ∠ OEF，求出∠ OEF 的度数即可．（如下图）4．（2019 年无锡外国语月考）如图，圆O 的半径为2，弦AB=2，点P 为优弧AB 上一动点，BC⊥BP 交直线PA 于点C，则△ABC 的最大面积为．〖分析〗因为BC 半径为2，弦AB=2，则∠P=30°，BC⊥BP，则∠C=60°．因为∠C=60°，且AB=2，则可以得出点C 是在△ABC 的外接圆上运动，也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理．要使得△ABC 的面积最大，则C 到AB 的距离最大，如下图即可．在辅助圆方面还需要学生多多的做练习，理解我们出现辅助圆的情况的一般要求，同时具体情况具体分析，需要学生具有很强的临场发挥能力，这部分的知识点活跃在模拟考试及中考中，还是需要学生能理解掌握，方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题．。
中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)
3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若 ∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
4.如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别 是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的 点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且 在底边的同侧，则四个顶点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补 或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、 B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、 BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、 D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、 F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
本题考察知识点比较隐蔽，没有添 加辅助线对于学生来讲是一个难点 ，变式性比较强，图形可变，条件 也可以变，施展的平台可以借助于 四点共圆来实现更多的变式。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
F分别是AC、BD的中点. 求证：∠ABD=∠ACD
练习反馈
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H， 在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组 成四点共圆的组数是（ ）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、40°，则∠P的度数为（ ）
解析：证明：连接BE、DE ∠ ∠ ABC=∠ ADC=90°，
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
2023年中考数学二轮专题培优复习：辅助圆问题(定角定高)
2023年中考数学二轮专题培优复习：辅助圆问题定角定高1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为．3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为．4．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC 面积的最小值为．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC上一点，连接AD，将AD绕点A 逆时针旋转β得到线段AE，且α+β＝180°，连接BE，DE，CE．（1）如图①，设BE与AC交于点F，当α＝90°时．①求证：BD2+DC2＝DE2；②若BE平分∠ABC，此时BD＝，求AF的长；（2）如图②，当α＝120°时，若BC＝4，BD＜DC，延长AE交BC于点M，求△ADM 面积的最小值．6．【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F 分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB ＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．7．问题提出：（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝4，∠BAC ＝60°，求△ABC面积的最小值；问题解决：（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．问题提出：（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝．问题探究：（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD ＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．问题解决：（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．9．[问题提出]（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，则点D到直线AB的距离是．（2）如图2，已知点A是直线外一点，点B、C均在直线上，AD⊥l且AD＝2，∠BAC ＝45°，求△ABC面积的最小值；（3）如图3，某农场主想在空地上规划出一块形如四边形ABCD的田地，AB＝BC，AD ＝CD，∠BAD＝120°，他计划在面积为16平方米的四边形AEOF内种植蔬菜，其余区域种植玉米．根据设计要求：点O、点E、点F分别在对角线BD、边AB和边AD上，且OE＝OF，∠EOF＝60°，为了节约种植成本，要求四边形田地的面积尽可能的小，则四边形ABCD的面积是否存在最小值，若存在，请说明理由．10．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥BC，交AD的延长线于点E，若△ABC的面积为4，则△DCE的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A到BC的距离为6，求△ABC面积的最小值；问题解决（3）如图③，有一块矩形空地ABCD，AB＝120m，BC＝70m，现要对这块空地进行改造，根据设计要求，在AB的中点M处修建一个观景台，AD、BC边上分别修建亭子E、F，且∠EMF＝120°，并在△MAE和△MBF区域种植景观树，在矩形其它区域均种植花卉，已知种植这种景观树每平方米需200元，种植这种花卉每平方米需100元，试求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留根号）。
中考必会几何模型：辅助圆
第十二章 辅助圆模型1 共端点，等线段模型图①O AC B图②BOC A图③OABC如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC. 模型分析∵OA ＝OB ＝OC.∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角，∴∠ACB ＝12∠AOB.同理可证∠BAC ＝12∠BOC.（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°.21BDA证明证法一：如图①，∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ． ∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE.∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.图①21CDAB小猿热搜1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．12PBACE DA D21PE CB证明∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC.∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD. ∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．A CBDBCEDA解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA. ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA. ∴∠DAE ＝∠CAB.在△CAB 和△DAE 中．ADAC DAE CAB AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB ≌△DAE. ∴ED ＝BC ＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°. 在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ， ∴BD ＝22BE ED -＝()222a b -＝224a b -．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt △ABC 和Rt △ABD 共斜边，取AB 中点O ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB ， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； （２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一． 模型实例例1 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，H 为垂线，问： （１）图中有多少组四点共圆？ （２）求证：∠ADF ＝∠ADE ．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例2如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB 、DF.∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF=45°，∠DBC=45°， ∴∠DBF=90°． 又∵∠DEF=90°，∴D 、E 、B 、F 四点共圆．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE=DE ．1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：FG BCFGEDB证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG ，同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG ， 因此，∠DBC=∠DFG ． 于是FG ∥BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.HEFB3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.B CRQA D4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.AEHDBC补充：。
专题3、中考辅助圆问题之定弦定角最值问题
隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1、如图，∠O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y 83 x2 3x 6 3 的顶点为A，并与x 轴正半轴交于点B，在y 轴上存在点C，使∠ACB＝30°. 则点C 的坐标是______例题3、如图，∠ABC，∠EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当∠EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．训练3、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为∠G 上一动点，CF ∠AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为 ．【及时训练】1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB ＝4，BC ＝3．（1）当∠OAB ＝45°时，OA 的长为 ；（2）连接AC ，当AC ∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E ，分别求出OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在运动过程中的长度变化范围．A C3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为．2，以DE为边4,如图，点D和点E是等腰直角三角形ABC的边AC和AB上的点，且DE=2向外作正方形DEFG，则AF的最大值是。