中科大史济怀数学分析课件 13.1-13.6
数学分析讲稿与作业中科大数学系
§7.3 微积分的基本定理定理7.6若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,则定义在[,]a b 上的函数()()xa F x f t dt =⎰(通常称为f 的变上限的积分)必满足Lipschitz 条件,因而是连续函数.证: 记sup ()a x bM f x ≤≤=<+∞.,[,],x y a b x y ∀∈<,有()()()()()x y ya x x F y f t dt f t dt F x f t dt =+=+⎰⎰⎰, 故 ()()()yx F y F x f t dt M y x -=≤-⎰.□定理7.7 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,在0[,]x a b ∈处连续,则定义在[,]a b 上的函数()()xa F x f t dt =⎰在0x 处可导,并且00()()F x f x '=. 证明: 0,0εδ∀>∃>,使得当0[,],t ab t x δ∈-<时成立0()()f t f x -ε<,故当0[,],0x a b x x δ∈<-<时成立00x x x x εε≤-=-,即 0000()()lim ()x x F x F x f x x x →-=-.□ 定理7.8(微积分的基本定理) 若函数f 在区间I 上连续,0x I ∈固定,则定义在I 上的函数0()()xx F x f t dt =⎰是f 的原函数. 证: 由定理7.7.□定理7.9(微积分基本定理的另一形式) 若F 是区间I 上的可导函数,并且F '的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈都成立00()()()xx F x F t dt F x '=+⎰. 证: 由定理7.1的推广.□注记 通常也将Newton-Leibniz 公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明:一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).命题 若f 是区间I 上的连续函数,,g h 是区间J 上的可导函数,满足(),()g J h J I ⊂,则定义在J 上的函数()()()()h x g x F x f t dt =⎰是可导函数,并且()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-.证: 固定0y I ∈,记0()(),yy H y f t dt y I =∈⎰,则 (())(())H h x H g x =-,故 ()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-.□例 设函数f 在[0,1]上连续可导(意思是1([0,1])f C ∈),(0)0f =,并且0f '≤1≤.求证:()211300()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.证: 令()2300()()()t t F t f x dx f x dx =-⎰⎰,则()30()2()()()t F t f x dx f t f t '=-⎰()20()2()()t f t f x dx f t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰.再令()2()2()()t G t f x d x f t =-⎰,则()G t ' 2()2()()2()[1()]0f t f t f t f t f t ''=-=-≥.注意到(0)0G =,便知0G ≥.再注意到0f ≥,便知0F '≥,因而F 在[0,1]上递增(1)(0)0F F ⇒≥=.□练习题7.3(268P ) 1(2,3),3,4,5,6,7.问题7.3(269P ) 1,3,4,7.§7.4 分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法) 若函数,u v 都在有限闭区间[,]a b 上可导,并且,uv vu ''都在[,]a b 上可积,则 ()()()()()()bb a a b u x dv x u x v x v x du x a =-⎰⎰. 证: 由Newton-Leibniz 公式,对()uv uv vu '''=+两边积分便得()()()()()()b b aa b u x v x u x dv x v x du x a =+⎰⎰.□ 例1 求 20cos m xdx π⎰,20sin m xdx π⎰,m *∈¥.解: 记 20cos m m I xdx π=⎰,显然 20sin m m xdx I π=⎰.当2m ≥时有2(1)(1)m m m I m I -=---.故 21m m m I I m--=. 从而 211(22)(24)2(22)!!,(21)(23)3(21)!!n n n n I I n n n n *----==∈---L ¥L ； 20(21)(23)1(21)!!,2(22)2(2)!!2n n n n I I n n n n π*---==∈-L ¥L .□ 定理7.10(带积分余项的Taylor 定理) 若函数f 在区间I 上1n +阶可导,并且(1)n f +的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈,成立等式 0(1)01()(,)()()!x n n n x f x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；. 称0(1)01()()(,)()()!x n n n n x R x f x T f x x x t f t dt n +=-=-⎰；为积分余项. 证: 0000()()()()()()x xx x f x f x f t dt f x f t d x t ''=+=--⎰⎰ 0(1)01(,)()()!x n n n x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；.□ 注记7.1' 带积分余项的Taylor 定理也可看作是一种变形的带Cauchy 余项的Taylor 定理.(对满足介值定理的函数1(1)()()()n n t x t f t μα+-+=-和不变符号的函数1()()t x t μβ-=-应用第一积分中值定理,1,2,,1n μ=+L ).定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法) 若函数f 在区间I 上连续,1C 函数ϕ在[,]αβ上严格递增,并且([,])I ϕαβ⊂,则()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 由[,]αβ的分割1{[,]:1,2,,}k k t t k n σ-==L ,012n t t t t αβ=<<<<=L ,自动地确定了[(),()]ϕαϕβ的分割1{[,]:1,2,,}k k x x k n π-==L ,0()x ϕα=12()n x x x ϕβ<<<<=L ,其中()(0,1,,)k k x t k n ϕ==L .显然当0σ→时必有0π→.由Lagrange 中值定理,可取1(,)k k k t t ξ-∈使得111()()()()k k k k k k k x x t t t t ϕϕϕξ---'-=-=-,1,2,,k n ∀=L . 由ϕ严格递增可知1()(,)k k k k x x ηϕξ-=∈,1,2,,k n ∀=L .于是,在等式 的两边同时令0σ→便得到110011lim ()()lim [()]()()n n k k k k k k k k k f x x f t t πσηϕξϕξ--→→=='-=-∑∑, 即 ()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰.□ 定理7.11'(仅对1元函数有效的换元积分法) 若f 是区间I 上的连续函数,ϕ是[,]αβ上的1C 函数,并且([,])I ϕαβ⊂,则()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 任取f 在I 上的原函数F ,则有()()()[()][()]f x dx F F ϕβϕαϕβϕα=-⎰[()][()]()F t f t t dt βαβϕϕϕα'==⎰.□ 命题2 若函数f 在[0,1]上连续,则 (1) 2200(cos )(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；(2) 00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.证: (1) 作变换()2x t t πϕ==-,则有022002(cos )[cos()](1)(sin )2f x dx f t dt f t dt ππππ=--=⎰⎰⎰. (2) 作变换()x t t ψπ==-,则有00(sin )(sin )f t dt t f t dt πππ=-⎰⎰. 故 002(sin )(sin )xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.□ 命题3 若f 是以正数T 为周期的连续函数,则a ∀∈¡,成立等式 0()()a TTa f x dx f x dx +=⎰⎰.证: 作变换()x t t T ϕ==+,则有000()()()T a a f x dx f x dx f t T dt =+++⎰⎰⎰0()Tf x dx =⎰.□ 命题4 (1) 若f 是[,]a a -上的连续奇函数,则()0aa f x dx -=⎰； (2) 若f 是[,]a a -上的连续偶函数,则0()2()a a a f x dx f x dx -=⎰⎰. 证: 作变换()x t t ϕ==-,则有(1) ()()(1)a a aa f x dx f t dt --=--⎰⎰()a a f t dt -=-⎰. (2) 00()()()aa aa f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 000()(1)()2()a a a f t dt f x dx f x dx =--+=⎰⎰⎰.□ 例2(一个错误的证明) 设f 是开区间I 上的连续函数,[,]a b I ⊂,求证: 01lim [()()]()()b ah f x h f x dx f b f a h →+-=-⎰. 证:(1)(错误的) 01lim [()()]b a h f x h f x dx h →+-⎰0()()lim b a h f x h f x dx h →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()ba f x dx fb f a '==-⎰. (2)(正确的) 任取f 在I 上的原函数F ,作变换()x t t h ϕ==-,则有 ()()()()bb h a a h f x h dx f t dt F b h F a h +++==+-+⎰⎰,故 ()()()()F b h F b F a h F a h h+-+-=-. 于是, 01lim [()()]()()()()b ah f x h f x dx F b F a f b f a h →''+-=-=-⎰.□ 练习题7.4(276P ) 1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15. 问题7.4(278P ) 1,2,4.。
史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答
sin
sin k im e .
ik k 0 k 0
n
n
z1 1 1 4． 证明： z1 z2 z3 和 123 同向相似的充分必要条件为 z2 2 1 =0. z3 3 1
证明：提示（ z1 z2 z3 和 z1 z2 z3 同向相似 a, b C ，使得 k azk b(k 1, 2,3)
（ii）记
2 2
ad 0 ，则 ad 2 ，
2 2
2
原式 a zz a z a z ad 0 (az )(az ) az 即证之.
2
§1.3 习题
1. 证明：在复数的球面表示下，z 和
1 的球面像关于复平面对称. z
j 1 j 1 j 1
n
2
n
2
n
2
1 j k n
z j k zk j , 并 由 此 推 出 Cauchy 不 等 式 ：
2
n z zj j j j 1 j 1
n
2
2
n j j 1
2
.
w1 1 w2 1 0. ） w3 1
5． 设 z1 z2 ，证明：z 位于以 z1 和 z 2 为端点的开线段上，当且仅当存在 (0,1) ，使得
z z1 (1 ) z2 ；
证明：z 位于以 z1 和 z 2 为端点的开线段上
k 0, z2 z k ( z z1 ) k 0, z
2 z1 1 n zj ... zn z2 2 j 1 det n ... n ... ... z j j z n j 1 n
7-3 数学分析全套课件
确界定理
6 柯西收敛准则
1 单调有界定理
5 聚点定理
2 区间套定理
4
3 有限覆盖定理
数集S 的一个聚点
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§2 上极限和下极限
一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质
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一、上(下)极限的基本概念
一、数列的聚点
1.定义 若数列 { xn } 满足: 在数 x0 的任何一个邻域
内均含有{ xn }中的无限多项, 则称 x0 是数列 { xn }
的一个聚点.
{ n}
{ (1)n }
n1
注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:
前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
限多个项”.
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2.结论
（1） x0 是数列 { xn}的聚点的一个充要条件是: 存在 { xn }的一个子列{ xnk }, 使 xnk x0, k .
例
求数列
{
sin
nπ 4
}
的聚点
（2） 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 聚点和最小聚点.
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二、数列的上、下极限
1.定义 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
求 lim (1)n n , lim (1)n n .
n
n 1 n
n1
求 lim sin n , lim sin n .
n 4 n 4
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2.性质 设{xn} {yn}为有界数列，则
数学分析讲稿与作业中科大数学系
§7.3 微积分的基本定理定理7.6若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,则定义在[,]a b 上的函数()()xa F x f t dt =⎰(通常称为f 的变上限的积分)必满足Lipschitz 条件,因而是连续函数.证: 记sup ()a x bM f x ≤≤=<+∞.,[,],x y a b x y ∀∈<,有()()()()()x y ya x x F y f t dt f t dt F x f t dt =+=+⎰⎰⎰, 故 ()()()yx F y F x f t dt M y x -=≤-⎰.□定理7.7 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,在0[,]x a b ∈处连续,则定义在[,]a b 上的函数()()xa F x f t dt =⎰在0x 处可导,并且00()()F x f x '=. 证明: 0,0εδ∀>∃>,使得当0[,],t ab t x δ∈-<时成立0()()f t f x -ε<,故当0[,],0x a b x x δ∈<-<时成立00x x x x εε≤-=-,即 0000()()lim ()x x F x F x f x x x →-=-.□ 定理7.8(微积分的基本定理) 若函数f 在区间I 上连续,0x I ∈固定,则定义在I 上的函数0()()xx F x f t dt =⎰是f 的原函数. 证: 由定理7.7.□定理7.9(微积分基本定理的另一形式) 若F 是区间I 上的可导函数,并且F '的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈都成立00()()()xx F x F t dt F x '=+⎰. 证: 由定理7.1的推广.□注记 通常也将Newton-Leibniz 公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明: 一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).命题 若f 是区间I 上的连续函数,,g h 是区间J 上的可导函数,满足(),()g J h J I ⊂,则定义在J 上的函数()()()()h x g x F x f t dt =⎰是可导函数,并且()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-. 证: 固定0y I ∈,记0()(),yy H y f t dt y I =∈⎰,则 (())(())H h x H g x =-,故 ()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-.□例 设函数f 在[0,1]上连续可导(意思是1([0,1])f C ∈),(0)0f =,并且0f '≤1≤.求证: ()211300()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.证: 令()2300()()()t t F t f x dx f x dx =-⎰⎰,则()30()2()()()t F t f x dx f t f t '=-⎰ ()20()2()()t f t f x dx f t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰.再令()2()2()()t G t f x d x f t =-⎰,则()G t ' 2()2()()2()[1()]0f t f t f t f t f t ''=-=-≥.注意到(0)0G =,便知0G ≥.再注意到0f ≥,便知0F '≥,因而F 在[0,1]上递增(1)(0)0F F ⇒≥=.□ 练习题7.3(268P ) 1(2,3),3,4,5,6,7.问题7.3(269P ) 1,3,4,7.§7.4 分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法) 若函数,u v 都在有限闭区间[,]a b 上可导,并且,uv vu ''都在[,]a b 上可积,则 ()()()()()()bb a a b u x dv x u x v x v x du x a =-⎰⎰. 证: 由Newton-Leibniz 公式,对()uv uv vu '''=+两边积分便得 ()()()()()()b b aa b u x v x u x dv x v x du x a =+⎰⎰.□例1 求 20cos m xdx π⎰,20sin m xdx π⎰,m *∈¥.解: 记 20cos mm I xdx π=⎰,显然 20sin m m xdx I π=⎰.当2m ≥时有2(1)(1)m m m I m I -=---.故 21m m m I I m--=. 从而 211(22)(24)2(22)!!,(21)(23)3(21)!!n n n n I I n n n n *----==∈---L ¥L ； 20(21)(23)1(21)!!,2(22)2(2)!!2n n n n I I n n n n π*---==∈-L ¥L .□ 定理7.10(带积分余项的Taylor 定理) 若函数f 在区间I 上1n +阶可导,并且(1)n f +的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈,成立等式 0(1)01()(,)()()!x n n n x f x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；. 称0(1)01()()(,)()()!x n n n n x R x f x T f x x x t f t dt n +=-=-⎰；为积分余项. 证: 0000()()()()()()x xx x f x f x f t dt f x f t d x t ''=+=--⎰⎰ 0(1)01(,)()()!x n n n x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；.□ 注记7.1' 带积分余项的Taylor 定理也可看作是一种变形的带Cauchy 余项的Taylor 定理.(对满足介值定理的函数1(1)()()()n n t x t f t μα+-+=-和不变符号的函数1()()t x t μβ-=-应用第一积分中值定理,1,2,,1n μ=+L ). 定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法) 若函数f 在区间I 上连续,1C 函数ϕ在[,]αβ上严格递增,并且([,])I ϕαβ⊂,则()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 由[,]αβ的分割1{[,]:1,2,,}k k t t k n σ-==L ,012n t t t t αβ=<<<<=L ,自动地确定了[(),()]ϕαϕβ的分割1{[,]:1,2,,}k k x x k n π-==L ,0()x ϕα= 12()n x x x ϕβ<<<<=L ,其中()(0,1,,)k k x t k n ϕ==L .显然当0σ→时必有0π→.由Lagrange 中值定理,可取1(,)k k k t t ξ-∈使得111()()()()k k k k k k k x x t t t t ϕϕϕξ---'-=-=-,1,2,,k n ∀=L . 由ϕ严格递增可知1()(,)k k k k x x ηϕξ-=∈,1,2,,k n ∀=L .于是,在等式 的两边同时令0σ→便得到110011lim ()()lim [()]()()n n k k k k k k k k k f x x f t t πσηϕξϕξ--→→=='-=-∑∑, 即 ()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰.□ 定理7.11'(仅对1元函数有效的换元积分法) 若f 是区间I 上的连续函数,ϕ是[,]αβ上的1C 函数,并且([,])I ϕαβ⊂,则()()()[()]()f x dx f t d t ϕββϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 任取f 在I 上的原函数F ,则有()()()[()][()]f x dx F F ϕβϕαϕβϕα=-⎰[()][()]()F t f t t dt βαβϕϕϕα'==⎰.□ 命题2 若函数f 在[0,1]上连续,则 (1) 2200(cos )(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；(2) 00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.证: (1) 作变换()2x t t πϕ==-,则有022002(cos )[cos()](1)(sin )2f x dx f t dt f t dt ππππ=--=⎰⎰⎰. (2) 作变换()x t t ψπ==-,则有00(sin )(sin )f t dt t f t dt πππ=-⎰⎰. 故 002(sin )(sin )xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.□ 命题3 若f 是以正数T 为周期的连续函数,则a ∀∈¡,成立等式 0()()a T T a f x dx f x dx +=⎰⎰. 证: 作变换()x t t T ϕ==+,则有 000()()()Ta a f x dx f x dx f t T dt =+++⎰⎰⎰0()T f x dx =⎰.□ 命题4 (1) 若f 是[,]a a -上的连续奇函数,则()0aa f x dx -=⎰；(2) 若f 是[,]a a -上的连续偶函数,则0()2()a a a f x dx f x dx -=⎰⎰. 证: 作变换()x t t ϕ==-,则有(1) ()()(1)a a aa f x dx f t dt --=--⎰⎰()a a f t dt -=-⎰. (2) 00()()()aa aa f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 000()(1)()2()a a a f t dt f x dx f x dx =--+=⎰⎰⎰.□ 例2(一个错误的证明) 设f 是开区间I 上的连续函数,[,]a b I ⊂,求证: 01lim [()()]()()b ah f x h f x dx f b f a h →+-=-⎰. 证:(1)(错误的) 01lim [()()]b a h f x h f x dx h →+-⎰0()()lim b a h f x h f x dx h →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()ba f x dx fb f a '==-⎰. (2)(正确的) 任取f 在I 上的原函数F ,作变换()x t t h ϕ==-,则有 ()()()()bb h a a h f x h dx f t dt F b h F a h +++==+-+⎰⎰,故 ()()()()F b h F b F a h F a h h+-+-=-. 于是, 01lim [()()]()()()()b ah f x h f x dx F b F a f b f a h →''+-=-=-⎰.□ 练习题7.4(276P ) 1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15. 问题7.4(278P ) 1,2,4.。
数学分析考试 PPT
在任何圆周 z r上,都有点z使 cos z 1.
例5 用最大模定理证明（例3：设f (z)在闭圆 z R 上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时 f (z) a 且 f (0) a，试证,在圆 z R内, f (z)至少有 一个零点.）
2
2
2i
1 2i 2
i.
3 平均值公式
定理3、 如果函数f (z)在圆 - z0 R内解析, 在闭
12
圆 - z0
R上连续,则
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f
(z0
R ei )d.
即f(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术
平均值、
证明 设圆周C : z0 R ei , 0 2
(k 1)!
2i
C
(
f ( )
z)k2
d
(k 1)!
2 i
C (
f ( ) z h)k1(
d
z)
o (1)
(k 1)!
2 i
f ( ) C ( z)k2
d
(k 1)!
2 i
C
f
(
)
(
1
z h)k1(
z) (
1 z
)k
2
d
o (1)
由此证明,当h趋近于0时,上式的右边趋于 0,因此定理的结论当n=k+1时成立。
有 f ( ) f (z) , 2
z K D
C
其中B(z, ) { ; z },
z D（开集）, 上述 可取充分小，
使B(z, )全含于D内,设其边界K : z