高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程
【教学目标】
１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
【教学重难点】
教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
教学难点：圆的一般方程的特点．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
（二）检查预习、交流展示
1.写出圆的标准方程.
2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.
（三）合作探究、精讲精练
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法．
2．引出圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
探究二：圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．
(2)
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．
(3)
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D2+E2-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2
+y 2
+2by=0．
解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．
解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：
１．方程x 2
＋y 2
＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对
２．圆x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2
＋F 2
=0，D ≠0 Ｃ．D 2
＋F 2
=0，E ≠0 Ｄ．D 2
＋E 2
=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2
+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；
(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．
变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2
+y 2
-2x+10y-24=0和C 2∶x 2
+y 2
+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++0
8-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2
222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2
，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪
⎩
⎪⎨
⎧--ａ＋ｂ＝０
＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ
＋ｂａ２
２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测
（五）总结反思、共同提高
1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】
一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高
4. 1. 2 圆的一般方程
课前预习学案
一．预习目标
回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．
二．预习内容
１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？
２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？
３．圆的方程的求法有哪些？
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
课内探究学案
一．学习目标
１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
学习难点：圆的一般方程的特点．
二．学习过程
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
2．引出圆的一般方程的定义
探究二：圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0，
(2)x2+y2+2by=0．
变式训练１：
１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）
Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4
Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对
２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）
Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0
Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
三．反思总结
四．当堂检测 １．方程342-+-=
x x y 表示的曲线是（ ）
Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆
２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2
+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高
１．方程x 2
＋y 2
－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2
)y ＋16m 4
+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）
Ａ．－
71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71
Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞7
1
２．方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2
＋E 2
－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）
Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）
Ａ．x 2
＋y 2
＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2
＋y 2
＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2
＋y 2
＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2
＋y 2
－x －3y =0
４．方程2
2
0x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系 [学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系. 知识点一 直线与圆的位置关系及判断 思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1 k ，由点斜式方程可求得切 线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半
径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式 (1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2. (2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F . 题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)， ∴当Δ>0，即m >0或m <－4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－4 3
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2 =16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程. 活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求. 图1 解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|= 2 1 |OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2 +y 2 =4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0). 因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2 +y 2 =16上,所以x 02 +y 02 =16.将(*)代入得 (2x-10)2 +(2y)2 =16. 故所求的轨迹方程为(x-5)2 +y 2 =4. 点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0). ②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==). ,(), ,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)
北师大版必修2高中数学第2章《解析几何初步》2圆的一般方程导学案
高中数学 第2章《解析几何初步》2圆的一般方程导学案 北师大版必修2 使用说明 1.根据学习目标，课前认真阅读课本第79页到第80页内容，完成预习引导的内容. 2.在课堂上充分发挥高效学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分. 学习目标 1.在圆的标准方程的基础上，理解并记忆圆的一般方程，由圆的一般方程确定圆的圆心，半径； 2.掌握二元方程0F Ey Dx y x 22=++++表示圆的条件； 3.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为标准方程，会用待定系数法求圆的一般方程方程. 学习重点 圆的一般方程的代数特征及方程0F Ey Dx y x 22=++++表示圆的条件. 学习难点 将圆的一般方程化为圆的标准方程，用待定系数法求圆的一般方程. 一、自主学习 【预习导引】 由上节课内容可知：圆心为)b ,a (C ，半径是r 的圆的方程为：222r )b y (a x =-+-）（， 展开得 .可见，任何一个圆的方程都可以写成以下形式 ：0F Ey Dx y x 2 2=++++. 那么，形如0F Ey Dx y x 22=++++……①的方程的曲线一定是圆吗？ 将上式配方，得：4 F 4E D )2E y (2D x 2222-+=+++）（. （1）当F 4E D 2 2-+ 0，方程①以 为圆心， 为半径的圆. （2）当F 4E D 22-+ 0，方程①只有一个实数解=x ________,=y _______，所以方程①表示一个点 . （3）当F 4E D 2 2-+ 0，方程①没有实数解，因而它 . 因此，当F 4E D 22-+_____0时，方程①表示一个圆,称①式为圆的一般方程. 【基础演练】 1、判断下列方程能否表示圆，如果能表示圆，求出圆心及半径. （1）01y 5x 2y x 22=-+++；（2）07y 4x 3y x 22=+-++.
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程 【教学目标】 １．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． ２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． ３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 【教学重难点】 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学难点：圆的一般方程的特点． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． （二）检查预习、交流展示 1.写出圆的标准方程. 2.写出圆的标准方程中的圆心与半径. （三）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．引出圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)． (3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论． 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0； (3)D2+E2-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
北师大版高中数学必修2教案备课圆的一般方程
2.2 圆的一般方程 学习目标核心素养 1.掌握圆的一般方程．(重点) 2.了解二元二次方程表示圆的条件．(难点) 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程．(难点) 1.通过学习圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件提升数学抽象素养. 2.通过求圆的一般方程及与圆有关动点的轨迹方程，培养数学运算素养. 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0为圆的一般方程． (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形： 方程条件方程的解的情况图形 D2＋E2－4F<0 没有实数解不表示任何图形 D2＋E2－4F＝ 0 只有一个实数解表示一个点 ? ? ? ? ? － D 2，－ E 2 x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝ 0 D2＋E2－4F>0 无数个解 表示以 ? ? ? ? ? － D 2，－ E 2为圆心， 以 1 2D 2＋E2－4F为半径 的圆 思考：若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？ 提示：若方程表示圆，则应满足三个条件：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0. 1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为() A．(2,0)，5B．(2,0)， 5
C ．(0,2)， 5 D ．(2,2)，5 B [x 2＋y 2－4x －1＝0可化为(x －2)2＋y 2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径r ＝ 5.] 2．如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________． ? ? ???－∞，54 [若方程x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0表示圆，则(－2)2＋12－4k >0. ∴k <54.] 3．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 3 [圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为 |3×1＋4×2＋4| 32＋4 2 ＝3.] 二元二次方程与圆的关系 圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由． [解] 法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， ∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝1 2D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离： d min＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方 程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.
人教版高中数学必修二 导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程 三维目标 1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化； 2. 会用待定系数法求圆的一般方程； 3. 会用坐标法求点的轨迹方程； 4．体会代入消元的思想。 ___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么? (1)222210x y x y +-++=； (2) 05422 2=++-+y x y x ； (3) 064222=+-++y x y x 问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是 多少？ 【试试】1. 圆的一般方程： （ ） 圆心坐标（ ， ），半径为 . 【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ） A.k>1 B.k<1 C.1≥k D.k 1≤
【学做思2】 *1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=． （1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程． 【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤 2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(2 2=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 （学生小组讨论展示解题思路） 【小结】求轨迹方程的一般步骤 【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。 3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆． (1)求m 的取值范围；
必修二 4.1.2 圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程 [学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程. 知识点一 圆的一般方程的定义 1.当 D 2＋ E 2－4 F >0 时，方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，2 2.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形. 思考 若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？ 答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表： 题型一 圆的一般方程的定义 例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长. 解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， 故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝1 2D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆. 此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|. 反思与感悟 对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________.
山东省临沂高一数学新人教A版必修二4.1《圆的方程》学案(1)
圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2E ）2=4 422F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2E ），半径r =2 1 F E D 422-+的 圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－ 2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0， B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1 4.1.2 圆的一般方程 知识导图 学法指导 1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤． 2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别． 高考导航 1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分． 2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分. 知识点一 圆的一般方程 1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，该方程叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的圆 的圆心为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为D 2＋E 2－4F 2. 知识点二 求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x ，y )所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系． 求轨迹方程的一般步骤为： 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0. 求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)， 《4.1.2圆的一般方程》教学设计 一、教材分析 《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 二、目标分析 知识与技能： (1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点 (2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径 (3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法： (1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力； (2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。 (3)增强学生应用数学的意识. 情感，态度与价值观： (1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识； (2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。 (3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 教学重点： (1)．圆的一般方程。 (2)．待定系数法求圆的方程。 教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。 (2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方 程。 三、教学内容与过程 一、复习引入 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-= 把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++= 思考：此方程都能表示圆么？ 二、课堂探究 观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示 圆？ （设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生 22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460 +--+=x y x y 圆的一般方程 一、学习目标 (1) 学问目标：通过本节的学习，把握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为标准方程， 从而求出圆心坐标和圆的半径。 （2）力量目标：培育同学严密的规律思维和严谨的科学态度，通过例题的分析讲解，提高同学 分析问题的力量。 （3）情感目标：培育同学主动探究学问，合作沟通的意识，体验数学中的美，激发学习爱好， 从而培育同学勤于动脑和动手的良好品质。 二、学习重点、难点： 重点：圆的一般方程的探求过程及其特点。 难点：依据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关的实际问题。 三、学习过程 （1）、课前自主学习 （预习教材 第97-99页 ，找出怀疑之处） 1．已知圆的圆心为(,)C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为 ，若圆心在坐标原点上，则圆的方程就是 . 2．方程 叫做圆的一般方程。 3. 方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）表示一个圆，则圆心是 ，则半径是 。 (2)、新课导学 ※ 学习探究 问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？ 方程222460x y x y +-++=表示什么图形？ 问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ 例方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是 。 新知：方程220x y Dx Ey F ++++= 表示的轨迹： x （1）当2240D E F +->时，方程表示以 (,)22D E - - 为半径的圆 （2）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，即只表示一个点(,)22D E --（3）2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而 它不表示任何图形 小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不肯定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称 为圆的一般方程。 思考： 1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区分？ ※ 典型例题 例1 推断下列二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径. ⑴224441290x y x y +-++=； ⑵2244412110x y x y +-++=； 例2定点A （a ，2）在圆x 2+y 2-2ax-3y+a 2+a=0的外部，求a 的范围。 练 1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标. 练 2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程. ※ 学习小结 1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必需具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要留意圆的一般式方程与它的标准方程的转化. 2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用， 要求娴熟把握. 3．使用待定系数法的一般步骤： ⑴依据题意，选择标准方程或一般方程； ⑵依据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. . ※ 自我检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）. A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12 m ≤ 2. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）. A ．(2,0) ,5 B ．(0,2), 5 C ．(0,2), 5 D ．(2,0),5 高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案 高二数学必修2 第四章圆与方程 第四章圆与方程 §4.1圆的方程 §4.1.1圆的标准方程(1) 【学习目标】 1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程. 2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系. 【学习重点】 求圆的标准方程. 【学习难点】 根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习) 1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离. 2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？ 3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______. 4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一 点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么? 5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________. 6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ . 思考：圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件. 二、合作探究 例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在 这个圆上. 推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=. 1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ； 2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ； 3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ； 例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系 推广: 已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是 1212()()()()0.x x x x y y y y --+--= 三、达标检测 1.写出下列各圆的标准方程. (1) 圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在(3,4)C (3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -； 第四章 4.1 圆的方程 编号041 【学习目标】１．把握圆的标准方程的特点，能依据所给有关圆心、半径的具体条件精确 地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简洁的实际问题． ２．通过圆的标准方程的推导，培育同学利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的力量． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想训练． 【学习重点】(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)依据具体条件正确写出圆的标准方程． 【学问链接】（1）圆的定义；（2）直线方程的定义，直线上点的坐标与直线方程解得关系。 【基础学问】探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点： 2．写点集： 3．列方程： 4．化简方程： 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 【例题讲解】例1： 写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在C(3,4),半径为5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径： (1)5)2()3(22=-+-y x ；(2)7)3()4(2 2 =+++y x ；(3)4)2(2 2 =+-y x 例２： (1)已知两点P (4，9)和P (6， 3)，求以PP 为直径的圆的方程；(2)试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【基础学问】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程22 2460x y x y +-++=表示什么图形？ 问题2．方程 220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ 新知：方程 220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹. ⑴当22 40D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心,22142D E F +-为半径的圆； ⑵当22 40D E F +-=时，方程只有实数解 2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不肯定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如 220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程 思考： 1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区分？ 例3：推断下列二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径. ⑴ 224441290x y x y +-++=； ⑵ 2244412110x y x y +-++= 例4 ：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2 214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨 迹方程. 【达标检测】 １．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ D ） A ．(1,－2),4 B ．(1,－2),2 C ．(－1,2),4 D ．(－1,2),2 ２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为 2)3(2 2=+-y x 3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程． 某某省永昌县第一中学高中数学圆的一般方程学案新人教A版必 修2 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件． (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。 (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F． 学习难点 对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞 一、目标展示 二、自主学习 22 2．圆的一般方程 (1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当时，该方程叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为，半径长 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 4．轨迹方程 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式． 三、合作探究 1．圆的一般方程的结构有什么特征？ 2．圆的标准方程和一般方程如何相互转化？ 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具备什么条件才能表示圆？ 四、精讲点拨 [例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径： (1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0. ———————————————————————————————1．判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤： 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可． 2．圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显． ————————————————————————————————————— 1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径． [例2] 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． ———————————————————————————————应用待定系数法求圆的方程应注意以下两点 圆的一般方程 【知识梳理】 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念： 当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2 )，半径长为12 D 2＋ E 2－4 F . 【常考题型】 题型一、圆的一般方程的概念辨析 【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆， 求(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知 D 2＋ E 2－4 F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15 ， 故m 的取值范围为(－∞，15 )． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m . 【类题通法】 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解． 【对点训练】 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； 2．3.2 圆的一般方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点 圆的一般方程 思考1 方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？ 思考2 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆？ 梳理 类型一 圆的一般方程的概念 例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法 (1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解． 跟踪训练1(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． (2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 类型二求圆的一般方程 例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 引申探究 若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？ 反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练2已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2_第4章 圆与方4.1.2
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