广义全概率公式

全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。

内容：如果事件B₁、B₂、B₃…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。

或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。

全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。

它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。

全概率公式的意义：将一个复杂的事件 [公式] 拆分为较简单的事件 [公式] ，然后在结合加法公式和乘法公式计算出 [公式] 的概率。

或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: 掷两颗骰子'观察两颗骰子出现的点数. 从正整数中任取一个数，观察取出数的个位数. 连续抛一枚硬币，直到出现正面时为止. 对某工厂出厂的产品进行检査，如连续检査出两个次品，则停止检査，或检査四个产品就停止检査j己录检査的结果. 在单位圆内任总取一点j己录它的坐标. 解：⑴C = {(jJ)lj = 12…6 7 = 12…,6}; ⑵0 = {川=0丄…,9}; ⑶0=｛（正）,（反，正），（反反.正）,（反反，反，正h…｝； IR C=｛（次/次），（次，正，正，正b （次，正，正，次）.（次/正，次，次L （次，正，次，正）■ （正，况次）.（ilL次，正，正b （正/次，正，次）｝； ⑹ Q = {{x,y}\xe R, y e <1). 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: A/出现的点数之和为偶数8/出现的点数之和为奇数，但没有骰子出现1点件 Ci至少掷出一个2点". ￡>/两颗骰子出现的点数相同件解：(1) A = {(lJ),(h3).(h5)?(Z2h(2?4)，(2e)，(3J),(3?3),(3?5). ={(4.2)?4)?6).(5心(5,3),(5,5),6,2)@4)@6)}； ⑵ 8 = {(2?3),(2,5).(392)?(3,4人(3,6)?(4,3),(4.5)?(5.2),(5,4)? (5,6),(6.3)?(6,5)}; (3)s 罔0 = {(2.1)?(2.2)?(2.3)?(2?4),(2,5)?(26),(1.2)?(3,2)? (4,2),(5,2),(6?2)}； ⑸ D = {(ta(2,2X(3JX(4,4),(5,5),(6,6)}.

概率论与数理统计总复习

概率论与数理统计总复习 1、研究和揭示随机现象统计规律性的科学。随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。 2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂= 3、逆事件或对立事件： φ=⋂=⋃B A S B A 且 4、德∙摩根律： B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂ 5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。 6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥；（2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有 ∑==n i i n A P A A P 1 1)()...( （4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ， ()()()P B A P B P AB -=- （8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式： P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) )()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃ 7、古典概型中的概率: () ()() N A P A N S = ①乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法，则完成这件事共有n 1n 2种方法。例：从甲、乙两班各选一个代表。 ②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。例：从甲、乙两班中选出一个代表。 8、条件概率 () (A|B)() P AB P P B = （定义） P(AB)=P(A)P(B|A)（乘法定理） 9、设S 为试验E 的样本空间, B 1,B 2,...,B n 为E 的一组事件, 若 (1) B i B j =φ, i ≠j, i,j=1,2,...,n; (2) B 1⋃B 2⋃...⋃B n =S, 则称B 1,B 2,...,B n 为样本空间的一个划分. 10、全概率公式与贝叶斯公式 (A)(|)()(|)()P P A B P B P A B P B =+(|)() (|A)(|)()(|)() P A B P B P B P A B P B P A B P B = +11、独立性： P(AB)=P(A)P(B) 两个事件 (AB)()()()()() ()()()()()()() P P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =⎧⎪=⎪ ⎨ =⎪⎪=⎩三个事件

全概率公式及其应用

全概率公式及其应用 (清华大学数学科学系叶俊) 命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 1. 全概率公式和Bayes 公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)| (i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes 公式。背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率 P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大．完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。定义称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i ≠=φ 且Ω=∞ =i i B 1 。进而，如还有 ,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有 )()()(1 i i i B A P B P A P ∑∞ == 定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足 P A ()>0, 则

概率论与数理统计复习(完整)

概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律：交换律：A B B A =，BA AB =；结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =；分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =；德·摩根法则：B A B A =，B A B A =；减法运算：AB A B A B A -==-。 2、概率的性质：性质1 ()0=φP ；性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时， ()()()n n A P A P A A P ++= 11；性质3 对于任意一个事件A ，() ()A P A P -=1；性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时， ()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤；性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-；性质6 对于任意一个事件()1≤A P ；性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,， ()()()()AB P B P A P B A P -+= 。 3、条件概率：在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为： ()()() A P A B P A B P = （()0>A P ）。注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。 4、全概率公式与贝叶斯公式：设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0 >i A P

（n i ,,1 =）时，全概率公式：()()()∑== n i i i A B P A P B P 1 ；贝叶斯公式：当()0>B P 时， ()()() ()() ∑== n l l l i i i A B P A P A B P A P B A P 1 ， n i ,,1 =。应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和() i B A P ， n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。 5、随机事件的独立性：事件独立性的结论：（1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =；（2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立；（3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则 ()()A P B A P =，()()B P A B P =；（4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏== n i i n A P A A P 1 1 ；（5）若事件n A A ,,1 相互独立，则() ∏∑==-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n i i n i i A P A P 111。注意：（1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容）只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。

(整理)考研数学(三)大纲

数学三考试大纲 [考试科目] 微积分、线性代数、概率论与数理统计微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及图形初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左极限和右极限无穷小和无穷大的概念及关系无穷小的基本性质及阶的比较极限四则运算两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。深入了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 2．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。 3. 掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 4．会建立简单应用问题中的函数关系式。 5．了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念。 6．了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。 7．了解极限的性质与极限存在的两个准则（单调有界数列有极限、夹逼定理），掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。 9，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。二、一元函数微分学考试内容导数的概念函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分中值定理及其应用洛必达（L'HoSpital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求 1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。 2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。 3．了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及较简单函数的N阶导数。

考研数学三31632

数学三：微积分一．函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性．最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二．一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求

概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率 § 随机事件一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性： § 概率古典概型公式：PA= 所含样本点数所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少解：设A ：“每个盒子恰有1个球”.求：PA= Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅ n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”.i =1,2,3求：PA i = Ω所含样本点数：6444443 ==⋅⋅ A 1所含样本点数：24234=⋅⋅ 8 3 6424)(1== ∴A P

A 2所含样本点数： 363423=⋅⋅C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=⋅C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0

概率论与数理统计自学指导书

《概率论与数理统计》自学指导书一、课程名称：槪率论与数理统讣二、自学学时：120 三、课件学时：四、教材名称：《概率论与数理统讣》，袁荫棠编，中国人民大学出版社。五、参考资料：六、考核方式：章节同步习题（10%） +笔试（90%）七、课程简介本课程主要讲解概率统汁的基本概念、理论与方法。内容主要包括：随机事件及其概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、几种常见的分布、大数泄律与中心极限立理、样本分布、参数估计、假设检验以及回归分析等。八、自学内容指导第一章随机事件及其概率（一）本章内容概述本章主要讲授随机试验、样本空间、古典概型、概率的立义和性质，加法及乘法公式、条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式，事件的独立性及独立试验概型等。（二）自学课时安排

（三）知识点 1、随机事件（1）随机试验是指具有下列特点的试验： •在相同条件下可重复进行； •每次试验的结果不唯一，且试验前可确知所有可能结果； •每次试验前不可准确预知该次试验会岀现哪一种结果。（2）随机事件在每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件。必然事件一一每次试验中一泄发生的事件，记不可能事何一每次试验中一定不发生的事件，记①。基本事件与样本空间。（3）事件的关系和运算 ①熟悉两个事件的和事件、积事件、差事件的含义及符号表示，并熟悉推广到多个事件的情形。 ②此外，还有互斥事件、对立事件以及完备事件组的槪念。互斥事件：如果事件A与B不能同时发生，即= ©，称事件A与B互不相容（也称互斥）。对立事件：事件“非A”称为A的对立事件（或逆事件），记作7。注意：AA=^,A + A = Q.,A = Q.-A,A = A O ③事件的运算规律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、对偶律，特别要注意对偶律： 2、概率注意：三种概率的泄义（概率三种定义：统计泄义、古典定义、公理化左义），但重点是概率的古典左义，它是我们计算事件概率的主要依据。

概率论与数理统计知识点

·概率论与数理统计常考知识点-|nile 发表于 2005-4-2 14:33:00 概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解,以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。随机事件和概率考查的主要内容有: (1)事件之间的关系与运算,以及利用它们进行概率计算; (2)概率的定义及性质,利用概率的性质计算一些事件的概率; (3)古典概型与几何概型; (4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率; (5)事件独立性的概念,利用独立性计算事件的概率; (6)独立重复试验,伯努利概型及有关事件概率的计算。要求考生理解基本概念,会分析事件的结构,正确运用公式,掌握一些技巧,熟练地计算概率。随机变量及概率分布考查的主要内容有: (1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算; (2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质,主要的有:(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布,会进行有关事件概率的计算;

(3)会求随机变量的函数的分布。 (4)求两个随机变量的简单函数的分布,特别是两个独立随机变量的和的分布。要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算,掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算,会求两个随机变量函数的分布。随机变量的数字特征考查的主要内容有: (1)数学期望、方差的定义、性质和计算; (2)常用随机变量的数学期望和方差; (3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差; (4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算; 要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算,掌握由给出的试验确定随机变量的分布,再计算有关的数字的特征的方法,会计算协方差、相关系数和矩,掌握判断两个随机变量不相关的方法。大数定律和中心限定理考查的主要内容有: (1)切比雪夫不等式; (2)大数定律; (3)中心极限定理。要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式,会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。

考研数学概率复习知识点汇总

考研数学概率复习知识点汇总随着考研的时间越来越近，我们在数学概率的时候，需要掌握一些重要的知识点。为大家精心准备了考研数学概率复习指南攻略，欢送大家前来阅读。一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型： (1)事件关系与概率的性质 (2)古典概型与几何概型 (3)乘法公式和条件概率公式 (4)全概率公式和Bayes公式 (5)事件的独立性 (6)贝努利概型二、随机变量及其分布重点难点重点：离散型随机变量概率分布及其性质，连续型随机变量概率密度及其性质，随机变量分布函数及其性质，常见分布，随机变量函数的分布难点：不同类型的随机变量用适当的概率方式的描述，随机变量函数的分布常考题型

(1)分布函数的概念及其性质 (2)求随机变量的分布律、分布函数 (3)利用常见分布计算概率 (4)常见分布的逆问题 (5)随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布重点难点重点：二维随机变量联合分布及其性质，二维随机变量联合分布函数及其性质，二维随机变量的边缘分布和条件分布，随机变量的独立性，个随机变量的简单函数的分布难点：多维随机变量的描述方法、两个随机变量函数的分布的求解常考题型 (1)二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布 (2)二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布 (3)二维随机变量函数的分布 (4)二维随机变量取值的概率计算 (5)随机变量的独立性四、随机变量的数字特征重点难点重点：随机变量的数学期望、方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数难点：各种数字特征的概念及算法常考题型 (1)数学期望与方差的计算

高中概率知识点总结

高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1 一．算法，概率和统计 1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图 ①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。 ②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。 3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 2．统计（约16课时）（1）随机抽样 ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 ②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。 ③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。 ④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。（2）用样本估计总体 ①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。 ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。 ③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 ④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。 ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计与确定性的差异。 ⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。（3）变量的相关性 ①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 ②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二．常用逻辑用语

数学三的公式总结

数三公式大全三角函数公式之和差公式 sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB 倍角公式 sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB Sin2A=2SinA ·CosA Cos2A = Cos²A-Sin²A=2Cos²A- 1=1-2sin²A 万能公式和差化积积化和差辅助公式(异名同角)

a*sina+b*cosa=√(a²+b²)×sin(a+c)[其中 a*sin(a)-b·cos(a)=√(a²+b²)×cos(a-c)[其中诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。所谓奇变偶不变就是指诱导公式下的函数名称：

①若n 是“奇”数，诱导公式下，正弦就“变”为余弦，余弦就"变”为正弦，正切就 “变”为余切，余切就"变"为正切； ②若n 是"偶“数，诱导公式下，正弦、余弦、正切、余切函数名称都不变。所谓符号看象限就是指诱导公式下的函数名称前的正负号：把x 的终边看作第一象限，然后确定x+n*90°的终边是第几象限，以确定正负号。 Ln 运算性质： Inab=Ina+Inb In1=0 Ina/b=Ina-Inb Ine=1 Ina^n=nlna 1.当x → 0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~e×- 1 当x → 0时， a×- 1~xlna (用e 的等价变形来记) (用1”未定式来记) (用换底公式来记) 2.1”未定式通用公式： limf(x)⁸(x)= elimg(x):[f(x)- 1] 3.泰勒公式： (≥在x 与x ₀之间) 麦克劳林公式： (0<θ<1)

数量方法公式大全

◆：平均数数据的个数全体数据的总和平均数= ∑==n i x n x 1 1 1 ◆：加权算术∑∑⨯≈m i m i i v y v 1 1＝频数的和组中值）的和（频数平均数 ◆：数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数＜中位数＜平均数右偏分布时：众数＞中位数＞平均数 ◆：方差（ 2σ）的计算公式为：22)(1 x x n i -∑= σ ◆：变异系数是标准差与平均数的比值，即：%100⨯= x V σ 表示数据相对于其平均数的分散程度交换律：;A B B A A B B A I I Y I ==，结合律：;)()()()(C AB BC A C B A C B A ==，Y Y Y Y 分配律：)()()()()()(C A B A C B A C A B A C B A I Y I Y I Y I Y I Y ==，：对偶律：B A B A B A B A Y I I Y ==，。 1)()(=+A P A P ◆：广义加法公式： )()()(AB P A P B A P -=-——→)()()(B P A P B A P B A -=-⊃，则 P(A+B)=)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ P(A+B+C)=P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P （AB ）＝P （A ）P （B|A ），P （A ）≠0 ◆：) () ()(B P AB P B A P = 当A 和B 互斥时：P （AB ）=0，当A 和B 相互独立，P(AB)=P(A)P(B) ◆全概率公式： ) ()()()() ()()()(221121i i n n n A B P A P A B P PA A B P PA A B P PA B A P B A P B A P B P ）（∑=⨯+⨯+⨯=++=K ◆贝叶斯公：) ()()()(i i i i i A B P A P A B P A P B A P ∑= ）（ ◆期望值： ⎩⎨ ⎧+=+∑=) ()(X bE a bx a E p X X E i i ）（ Ec = c Dc =0 E （ax ） = aEx D(ax) =a 2Dx E （ax+b ）= aEx+b D (ax+b) =a 2Dx ◆方差:2222)()()()()(χχμχμE -=-=-∑=E E p x X D 22)()(Ex x E Dx -= 0-1分布：随机变量X 只能取0，1这两个值； X ～B （1，p ）； Ex ＝p D x ＝p(1-p) ◆：二项分布二项分布为X~B （n 、p ）分布律： n k p p C k X P k n k k n ⋯⋯=-==-，，，，210)1()(； E(X)= np 方差D(X)= np(1-p) ◆：泊松公布：X~P （λ）{}！ k e k X P k λ λ-== K=0、1、***n ，λ>0 E(X)=λ(期望值) 标准差λ D(X)=λ e 为自然数=2.71828 ！ k e p p C k k n k k n λλ--≈ -)1(

(整理)高等数学概率论线性代数

高等数学概率论线性代数回答者：357386379|四级| 2009-12-3 19:40 数三考试科目是《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》这三门，这个数三的大纲可以参考一下：第一章：函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。 6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、理解无穷小的概念和基本性质。掌握无穷小的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。第二章：一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（l'hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。 2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数。 3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

概率论与数理统计复习笔记

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果. 随机事件事件:样本空间S的子集. 必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生. ∪B和事件事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.

4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生. 5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率. 1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ; 3可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…, PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+… 2.性质 1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件

2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A 1,A 2 ,…,A n , PA 1∪A 2 ∪…∪A n =PA 1 +PA 2 +…+PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA . 4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA . 5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB . 对于任意n个事件A 1,A 2 ,…,A n …+-1n-1PA 1 A 2 …A n 四.等可能古典概型 1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2 ,…,e n };2每一个基本事件的概率相等,即Pe 1=Pe 2 =…= Pe n .则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型. 2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率

概率论与数理统计各章重点知识点汇总--最新版

第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .

统计概率知识点梳理总结

统计概率知识点梳理总结第一章随机事件与概率一、教学要求 1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算． 2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算． 3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算． 4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算． 5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．本章重点：随机事件的概率计算．二、知识要点 1．随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；· (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用Ω表示，其中的每一个结果用e Ω=．表示，e称为样本空间中的样本点，记作{}e 2．随机事件

在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作φ) 看作特殊的随机事件． 3．**事件的关系及运算 (1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件 1,2,,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为 1,2,,n A A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1 n i i A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作 A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,n A A A 同时发生”这一事件称为 1,2,,n A A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1 n i i A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件 1,2,,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即 i j A A φ =(1≤i