全概率公式与贝叶斯公式
1-6 全概率公式和贝叶斯公式
贝叶斯公式作用在于“由结果推原因”，现在有一个 “结果”A发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪 一个导致了这个结果？这是一个在日常生活和科学技术 中常要问的问题。
三、小结
第一章 随机事件及其概率
条件概率 P(B A) P( AB)
乘法定理
P( A)
P(AB) P(B A)P(A)
（2）由贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P( A | B1 )P(B1 ) P( A)
0.02 0.15 0.0125
0.24
P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.12
1.6全概率公式和贝叶斯公式
例9 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合 格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概
C132
,
P( A | B1 )
C 83 C132
,
P(A | B2 )
C73 C132
,
P(A | B3 )
C63 C132
,
于是
P( A)
3 i0
P(Bi )P(A |
Bi )
441 3025
0.146.
二、贝叶斯公式
第一章 随机事件及其概率
定理：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1，B2，…， Bn为S的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1， 2，…，n），则
全概率公式
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中经典的公式，它们之间存在一定的联系和区别。
全概率公式描述了一种基于先验概率和条件概率推导出后验概率的方法，它是由贝叶斯公式演化而来的。
全概率公式通过将所有可能的事件划分为互斥且完备的事件集合，并计算它们的概率从而推导出后验概率。
贝叶斯公式是用于计算“逆概率”的公式，即已知某种结果出现的概率，求当前这种结果的特定概率。
它同样也是通过先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
贝叶斯公式的主要应用是在分类、估计、预测等实际问题中，例如在医学领域中用于诊断疾病。
总的来说，全概率公式是用来求解不同情况下的条件概率的，而贝叶斯公式是用来根据观察到的事件推测其原因的。
两者都是基于先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
1.6 全概率公式与贝叶斯公式
P A1 A2 A1 A2 P A1 A2 P A1 A2
P A1 P A2 | A1 P A1 P A2 | A1 2 1 3 2 2 5 4 5 4 5
Henan Polytechnic University §1.6
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 1
n
全概率公式
Henan Polytechnic University §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 10
例：有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票2张有奖票，
乙箱中有4张无奖票1张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张奖
票放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，问最后抽到有奖票
判断到底得了那种疾病 若这 n 种疾病都会导致事件 A {体温异常升高 }发生， 且 A 已发生，则称 P( Bi | A) (i 1, 2, , n) 为后验概率。
① 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算
P Bi | A P ( Bi ) P ( A | Bi )
Bayes公式的重要
2
Henan Polytechnic University
§1.6
全概率公式与贝叶斯公式
16
问题：某人从三个箱子中任选一个箱子，再从中任取一个球， 观察知是红球，则该红球取自1号箱的概率是多少？
1
2
3
Henan Polyte6
全概率公式与贝叶斯公式
17
分析： 设 A={ 取得红球 }, Bi ={ 任取的一箱为 i 号箱 } i 1, 2, 3.
B2
A
B3
Henan Polytechnic University
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
第7节 全概率公式和贝叶斯公式
0.4825.
练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率．
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。
易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求
(1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=Ω, 所以
i 1
i 1
i 1
3. 全概率公式的应用
如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成， E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种 可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，可 以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了 完备事件组．
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用一、全概率公式全概率公式是概率论中的基本公式之一，也称作“条件概率公式”。
简单地说，它是用于计算一个事件发生的概率，而该事件可以发生在多个不同的情况下。
这个公式通常是这样表述的：P(A) = ΣP(A|B_i)*P(B_i)其中，A是要计算的事件，B_i 是 A 可以在其上发生的情况。
P(A|B_i) 是在给定的情况 B_i 下 A 发生的概率，P(B_i) 是情况B_i 发生的概率。
Σ 是对所有情况 B_i 求和。
换句话说，这个公式的含义是：要计算事件 A 发生的概率，我们需要把所有可能性下的条件发生的概率乘起来，再加起来，最终就得到了事件 A 发生的概率。
二、贝叶斯公式另一个常用的概率公式是贝叶斯公式，它与全概率公式有关。
贝叶斯公式是用于计算事件的后验概率（posterior probability），即已知某些证据的情况下再计算事件 A 发生的概率。
它经常用在统计学、机器学习等领域中。
贝叶斯公式通常表述为：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / Σ(P(A|B_i)*P(B_i))在这个公式中，A 是已知的证据，B 是要计算的事件。
P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的先验概率（prior probability），即在没有任何证据的情况下事件B 发生的概率。
Σ(P(A|B_i)*P(B_i)) 是全概率公式中的求和项。
三、推广及应用全概率公式和贝叶斯公式可以相互推导，它们都是计算概率的重要工具，广泛应用于各种领域中。
例如：1、在医学诊断中，医生可以利用贝叶斯公式来计算某个病人患病的概率，而这个概率可以作为判断病人是否需要进一步检查或治疗的依据。
2、在自然语言处理中，贝叶斯公式可以用于计算文档中词汇的概率，从而实现文本分类、情感分析等任务。
3、在无人驾驶汽车中，全概率公式可以用于估计车辆在道路上的位置，贝叶斯公式可以用于预测其他车辆的行驶路线和速度，从而实现智能决策和避免碰撞。
贝叶斯公式与全概率公式的运用
贝叶斯公式与全概率公式的运用贝叶斯公式（Bayes' theorem）和全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中最常用的两个定理，它们可以用于计算条件概率和概率的分布。
本文将详细介绍贝叶斯公式和全概率公式的运用。
首先，我们来介绍贝叶斯公式。
贝叶斯公式是由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出的，它用于计算条件概率。
贝叶斯公式的一般形式如下：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
先验概率（prior probability）是指在没有新的信息或证据时，根据以往的经验或知识所做的概率判断。
先验概率可以通过观察历史数据或者领域知识得到。
后验概率（posterior probability）是在获得新的信息或证据后，对事件的概率进行更新的概率。
后验概率可以通过贝叶斯公式计算得到。
下面通过一个实例来说明贝叶斯公式的运用。
假设工厂生产的产品中有5%存在缺陷。
现有一种检测方法，对有缺陷的产品可以100%正确地检测出来，但对没有缺陷的产品会错误地报告为有缺陷的产品，错误率为10%。
现在随机从工厂中抽取了一个产品，并进行了检测，结果显示该产品为有缺陷的。
我们需要计算在这种情况下，该产品是真的有缺陷的概率。
首先，根据先验概率，我们知道有5%的产品是有缺陷的，即P(A)=0.05、根据条件概率，我们知道在产品有缺陷的情况下，检测结果正确的概率为100%，即P(B，A)=1、另外，由于100%正确地检测出有缺陷的产品，所以在产品没有缺陷的情况下，检测结果错误的概率为10%，即P(B，A')=0.1根据贝叶斯公式，我们可以计算后验概率：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)=1*0.05/P(B)P(B)表示检测结果为有缺陷的产品的概率，它可以通过全概率公式来计算。
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。