离散数学(全)
第一章命题逻辑
内容：
命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：
1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：
1．命题的概念及判断
2．联结词，命题的翻译
3．主析（合）取范式的求法
4．逻辑推理
教学难点：
1．主析（合）取范式的求法
2．逻辑推理
1.1命题及其表示法
1.1.1 命题的概念
数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。
1.2命题联结词
（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；
（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；
（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；
（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；
（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释
1.3.1 命题公式
定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：
（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）
（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R
以下符号串都不是公式：
（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）
1.3.2 命题的翻译
可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
命题翻译时应注意下列事项：
（1）确定所给句子是否为命题。
（2）句子中联结词是否为命题联结词。
（3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。
例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。
本例可表示为：（⌝P→Q）∧（P→（R∨S））。
1.3.3 命题公式的解释定义
设P1，P2，…，P n是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，P n的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作T I（G）。
例如，
是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即T I（G）=1。
1.4 真值表与等价公式
1.4.1 真值表
定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。
构造真值表的方法如下：
（1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，P n。（2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序依次写
出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。
（3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的真值。
定义设G为公式：（1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重言式；（2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛盾式；（3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是可满足式。
1.4.3 等价公式
定义设A和B是两个命题公式，如果A和B在任意赋值情况下都具有相同的真值，则称A和B是等价公式。记为A⇔B。
性质定理
设A、B、C是公式，则
（1）A⇔A
（2）若A⇔B则B⇔A
（3）若A⇔B且B⇔C则A⇔C
定理设A、B、C是公式，则下述等价公式成立：
（1）双重否定律⌝⌝A⇔A
（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A
（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A
（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）
（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）
（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）
（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B
⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B
（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A
（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0
（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A
（10）排中律 A∨⌝A⇔1
（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0
（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B
（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A
（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）
（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A
（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A
1.4.4 置换规则
定理（置换规则）设ϕ（A）是一个含有子公式A的命题公式，ϕ（B）是用公式B置换了ϕ（A）中的子公式A后得到的公式，如果A⇔B，那么ϕ（A）⇔ϕ（B）。
1.5 对偶与范式
1.5.1 对偶
定义在仅含有联结词Ø、∧、∨的命题公式A中，将联结词∧换成∨，将∨换成∧，如果A中含有特殊变元0或1，就将0换成1，1换成0，所得的命题公式A*称为A的对偶式。
例：公式（⌝P∨Q）∧（P∨⌝Q）的对偶式为：（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）定理设A和A*互为对偶式，P1，P2，…，P n是出现在A和A*中的所有原子
变元，若将A和A*写成n元函数形式，则
（1）⌝A（P1，P2，…，P n）⇔A*（⌝P1，⌝P2，…，⌝P n）
（2）A（⌝P1，⌝P2，…，⌝P n）⇔⌝A*（P1，P2，…，P n）
定理（对偶原理）设A、B是两个命题公式，若AÛB，则A*⇔B*，其中A*、B*分别为A、B的对偶式。
1.5.2 范式
定义仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。
定义仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。
1.5.3 主范式
定义在含有n个命题变元P1，P2，…，P n的简单合取范式中，若每个命
题变元或其否定不同时存在，但二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变元或其否定出现在从左起的第i个位置上（若命题变元无脚标，则按字典顺序排列），这样的简单合取式称为极小项。相应的，满足上述条件的简单析取式称为极
大项。n个命题变元P1，P2，…，P n的极小项用公式可表示为 P i* ，极大项可表示为P i*，其中，P i*为P i或⌝P i（i=1，2，…，n）。
定义设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的析取范式中每一个合取项都是P1，P2，…，P n的一个极小项，则称该析取范式为G的主析取范式。矛盾式的主析取范式为0。
定理任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主析取范式。
用等值演算求主析取范式步骤如下：
（1）求G的析取范式G'；
（2）若G中某个简单合取式m中没有出现某个命题变元P i或其否定⌝P i，则将m作如下等价变换：m⇔m∧（P i∨⌝P i）⇔（ m∧P i）∨（m∧⌝P i）
（3）将重复出现的命题变元、矛盾式和重复出现的极小项都消去；
（4）重复步骤（2）、（3），直到每一个简单合取式都为极小项；
（5）将极小项按脚标由小到大的顺序排列，并用↖表示。如m0∨m1∨m7可表示为↖（0，1，7）。
定义设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的合取范式中每一个析取项都是P1，P2，…，P n的一个极大项，则称该合取范式为G的主
合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项，用1表示。
定理任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6 公式的蕴涵
1.6.1 蕴涵的概念定义
设G、H是两个公式，若G→H是永真式，则称G蕴涵H，记作G⇒H。
蕴涵关系有如下性质：
（1）对于任意公式G，有G⇒G；
（2）对任意公式G、H，若G⇒H且H⇒G，则G⇔H；
（3）若G⇒H且H⇒L，则G⇒L。
广义的蕴涵概念
定义设G1，G2，…，G n，H是公式，如果（G1∧G2∧…∧G n）→H是永真式，则称G1，G2，…，G n蕴涵H，又称H是G1，G2，…，G n的逻辑结果，记作（G1
∧G2∧…∧G n）⇒H或（G1，G2，…，G n）⇒H。
1.6.2 基本蕴涵式
（1）P∧Q⇒P；（2）P∧Q⇒Q；
（3）P⇒P∨Q； (4) Q⇒P∨Q；
（5）⌝P⇒（P→Q）；（6）Q⇒（P→Q）；
（7）⌝（P→Q）⇒P；（8）⌝（P→Q）⇒⌝Q；
（9）P，P→Q⇒Q；（10）⌝Q，P→Q⇒⌝P；
（11）⌝P，P∨Q⇒Q；（12）P→Q，Q→R⇒P→R；
（13）P∨Q，P→R，Q→R⇒R；（14）P→Q，R→S⇒（P∧R）→（Q∧S）；（15）P，Q⇒P∧Q。
1.7 其它联结词与最小联结词组
1.7.1 其它联结词
定义设P、Q为命题公式，则复合命题P ∀Q称为P和Q的不可兼析取，当且仅当P与Q的真值不相同时，P∀Q的真值为1，否则P∀Q的真值为假。
定义设P、Q是两个命题公式，复合命题P−→
−c Q称为命题P、Q的条件否定，当且仅当P的真值为1，Q的真值为0时，P−→
−c Q
−c Q的真值为1，否则 P−→的真值为0。
1.7.2 最小联结词组
定义设S是一些联结词组成的非空集合，如果任何的命题公式都可以用仅包含S中的联结词的公式表示，则称S是联结词的全功能集。特别的，若S是联结词的全功能集且S的任何真子集都不是全功能集，则称S是最小全功能集，又称最小联结词组。
定理 {⌝，∧，∨，→，↔}是联结词的全功能集。
定理 {⌝，∧，∨}是联结词的全功能集。
定理 {⌝，∧}，{⌝、∨}，{⌝，→}是最小联结词组。
定理 {↑}，{↓}是最小联结词组。
1.8 命题逻辑推理理论
1.8.1 命题逻辑推理理论
定义如果G1，G2，…，G n蕴涵H，则称H能够由G1，G2，…，G n有效推出，G1，G2，…，G n称为H的前提，H称为G1，G2，…，G n的有效结论。称（G1∧G2∧…∧G n）→H是由前提G1，G2，…，G n推结论H的推理的形式结构。
1.8.2 推理规则下面给出推理中常用的推理规则。
1．前提引入规则：可以在证明的任何时候引入前提；
2．结论引入规则：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提；3．置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。
4．言推理规则：P，P→Q⇒Q
5．附加规则：P⇒P∨Q；
6．化简规则：P，Q⇒P；
7．拒取式规则：⌝Q，P→Q⇒⌝P；
8．假言三段论规则：P→Q，Q→R⇒P→R；
9．析取三段论规则：⌝P，P∨Q⇒Q；
10.构造性二难规则：P∨Q，P→R，Q→R⇒R；
11.合取引入规则：P，Q⇒P∧Q
1.8.3 推理常用方法
1.直接证法
直接证法就是根据一组前提，利用前面提供的一些推理规则，根据已知的等
价公式和蕴涵式，推演得到有效的结论的方法，即有前提直接推导出结论。
例构造下列推理的证明。
前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R
证明（1）P∨Q 前提引入规则
（2）P→R 前提引入规则
（3）Q→S 前提引入规则
（4）S∨R （1）（2）（3）构造性二难规则
2．间接证法
间接证法主要有如下两种情况。
（1）附加前提证明法有时要证明的结论以蕴涵式的形式出现，即推理的形式结构为：（G1∧G2∧…∧G n）⇒（R→C）设（G1∧G2∧…∧G n）为S，则上述推理
可表示为证明S⇒（R→C），即证明S→（R→C）为永真式。
用附加前提证明法证明下面推理。
前提：P→（Q→R），⌝S∨P，Q 结论：S→R
证明：（1）⌝S∨P 前提引入规则
（2）S 附加前提引入规则
（3）P （1）（2）析取三段论规则
（4）P→（Q→R）前提引入规则
（5）Q→R （3）（4）假言推理规则
（6）Q 前提引入规则
（7）R （5）（6）假言推理规则
2）归缪法定义设G1，G2，…，G n是n个命题公式，如果G1∧G2∧…∧G n 是可满足式，则称G1，G2，…，G n是相容的。否则（即G1∧G2∧…∧G n是矛盾式）称G1，G2，…，G n是不相容的。
例用归缪法证明。
前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R
证明（1）⌝（S∨R）附加前提引入规则
（2）⌝S∧⌝R （1）置换规则
（3）⌝S （2）化简规则
（4）⌝R （2）化简规则
（5）Q→S 前提引入规则
（6）⌝Q∨S （5）置换规则
（7）⌝Q （3）（6）析取三段论
（8）P∨Q 前提引入规则
（9）P （7）（8）析取三段论规则
（10）P→R 前提引入规则
（11）⌝P∨R （10）置换规则
（12）R （9）（11）析取三段论规则
（13）⌝R∧R （4）（12）合取引入规则
第二章谓词逻辑
本章学习目标
命题逻辑中原子命题是最小的单位，不能够再进行分解，这给推理带来了很大局限性，本章引入谓词逻辑。学习关于谓词逻辑的相关概念和定理，解决实际问题。
内容：
谓词、量词及谓词公式等概念，基本等价式、永真蕴涵式及谓词演算的形式推理方法，谓词范式的概念
教学目的：
1．深刻理解个体、谓词、量词的概念。
2．深刻理解原子、公式、解释的概念。
3．掌握用解释的方法证明等价式和蕴涵式。
4．熟练掌握谓词演算的形式推理方法。
教学重点：
1．个体、谓词、量词的概念
2．用解释的方法证明等价式和蕴涵式
3．谓词演算的形式推理方法
教学难点：
1．解释的方法证明等价式和蕴涵式
2．谓词演算的形式推理方法
2.1 谓词逻辑命题的符号化
1．个体词：个体词是指研究对象中不依赖于人的主观而独立存在的具体的或抽象的客观实体
个体常项或个体常元：
个体变项或个体变元：
个体域或论域：
2．谓词：用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词
一般来说，“x是A”类型的命题可以用A（x）表达。对于“x大于y”这种两个个体之间关系的命题，可表达为B（x，y），这里B表示“…大于…”谓词。我们把A（x）称为一元谓词,B（x，y）称为二元谓词，M（a，b，c）称为三元谓词，依次类推，通常把二元以上谓词称作多元谓词。
例2.1 将下列命题在谓词逻辑中符号化，并讨论它们的真值：
（1）只有4是素数，8才是素数。
（2）如果2小于3，则8小于7。
解（1）设谓词G（x）：x是素数，a：4，b：8；
（1）中的题符号化为谓词的蕴涵式：G（a）→G（b）
由于此蕴涵式的前件为假，所以（1）中的命题为真。
（2）设谓词H（x，y）：x小于y，a：2，b：3，c：8，d：7
（2）中的命题符号化为谓词的蕴涵式：H（a，b）→H（c，d）
由于此蕴涵式的前件为真，后件为假，所以（2）中的命题为假。
例 2.2 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下面的命题符号化：（1）所有人都是要死的。
（2）有的人天生就近视。
其中：（a）个体域D1为人类集合。
（b）个体域D2为全总个体域。
解（a）令F（x）：x要死的；G（x）：x天生就近视。
（1）在个体域D1中除人外，没有其他的事物，因而（1）可符号化为：
∀x F（x）
（2）在个体域D1中有些人是天生就近视，因而（2）可符号化为谓词的蕴涵式：
∃ x G（x）
（b）在个体域D2中除人外，还有其他的事物，因而在将（1）、（2）符号化时，必须考虑先将人分离出来，令M（x）：x是人。在D2中，（1）、（2）可分别描述如
下：对于宇宙间的一切事物，如果事物是人，则他是要死的。
（2）在宇宙间存在着天生就近视的人。将（1）、（2）分别符号化为：（1）∀x（M（x）→F（x））
（2）∃x（M（x）→G（x））
在个体域D1、D2中命题（1）、（2）都是真命题。
例2.3 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下面的命题符号化：（1）对任意的x，都有x2-5x+6=（x-2）（x-3）
（2）存在x，使得x+1=0。
其中：（a）个体域D1为自然数集合。
（b）个体域D2为实数集合。
解（a）令F（x）：x2-5x+6=（x-2）（x-3）；G（x）：x+1=0。
（1）可符号化为：
∀x F(x)
（2）可符号化为：
∃x G（x）
在个体域D1中命题（1）为真命题，命题（2）为假命题。
（b）在个体域D2中（1）、（2）符号化分别为
（1）∀x F（x）
（2）∀x G（x）
在个体域D2中命题（1）、（2）都是真命题。
例2.4 将下列命题符号化，并指出真值情况。
（1）没有人登上过月球。
（2）所有人的头发未必都是黑色的。
解个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。
（1）令F（x）：x登上过月球。命题（1）符号化为：
⌝∃x（M（x）∧F（x））
设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一名美国人，则M（a）∧F（a）为真，故命题（1）为假。
（2）令H（x）：x的头发是黑色的。命题（2）可符号化为：
⌝∀x（M（x）→H（x））
我们知道有的人头发是褐色的，所以∀x（M（x）→H（x））为假，故命题（2）为真。
例2.5 将下列命题符号化。
（1）猫比老鼠跑得快。
（2）有的猫比所有老鼠跑得快。
（3）并不是所有的猫比老鼠跑得快。
（4）不存在跑得同样快的两只猫。
解设个体域为全总个体域。令C（x）：x是猫；M（y）：y是老鼠；Q（x，y）：x比y跑得快；L（x，y）：x和y跑得同样快。这4个命题分别符号化为：
（1）∀x∀y（C（x）∧M（y）→Q（x，y））；
（2）∃x（C（x）∧∀y（M（y）→Q（x，y）））；
（3）⌝∀x ∀y（C（x）∧M（y）→Q（x，y））；
（4）⌝∃x∃ y（C（x）∧C（y）∧L（x，y））
2.2 谓词逻辑公式与解释
2.2.1 谓词逻辑的合式公式
定义2.1 设P（x1，x2，…，x n）是n元谓词公式，其中，x1x2，…，x n 是个体变项，则称P（x1，x2，…，x n）为谓词演算的原子公式。
定义2.2 谓词演算的合式公式定义如下：
（1）原子公式是合式公式；
（2）若A是合式公式，则（﹁A）也是合式公式；
（3）若A，B是合式公式，则（A∧B）、（A∨B）、（A→B）、（A↔B）是合式公式；（4）若A是合式公式，则∀x A、∃x A是合式公式；
（5）只有有限次地应用（1）－（4）构成的符号串才是合式公式。
例2.5 在谓词逻辑中将下列命题符号化。
（1）不存在最大的数。
（2）计算机系的学生都要学离散数学。
解取个体域为全总个体域。
（1）令F（x）：x是数，L（x，y）：x大于y；则命题（1）符号化为
﹁∃x（F（x）∧∀y（F（y）→ L（x，y）））
（2）令C（x）：x是计算机系的学生，G（x）：x要学离散数学;则命题（2）可符号化为：∀x（C（x）→ G（x））
例2.6 将下列命题符号化。
（1）尽管有人聪明，但并非所有人都聪明。
（2）这只大红书柜摆满了那些古书。
解（1）令C（x）：x聪明；M（x）：x是人。则命题（1）可符号化为
∃x（M（x）∧C（x））∧﹁∀x（M（x）→C（x））
（2）令F（x，y）：x摆满了y；R（x）：x是大红书柜；Q（x）:x是古书；a：这只；b：那些。则命题（2）可符号化为
R（a）∧Q（b）∧F（a，b）
2.2.2 约束变元与自由变元
1．约束变元与自由变元的概念
定义 2.3 在公式∀x F（x）和∃x F（x）中，称x为指导变元，F（x ）为相应量词的辖域或作用域。在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，F（x）中不是约束出现的其他变元均称为自由出现。
例2.7 指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况：
（1）∀x（F（x，y）→ G（x，z））
（2）∀x（P（x）→∃y R（x，y））
（3）∀x（F（x）→ G（y））→∃y（H（x）∧M（x，y，z））
解（1）对于∀x的辖域是A=（F（x，y）→ G（x，z）），在A中，x是约束出现的，而且约束出现两次，y，z均为自由出现，而且各自由出现一次。
（2）对于∀x的辖域是（P（x）→∃y R（x，y）），∃y的辖域是R（x，y），x，y均是约束出现的。
（3）对于∀x的辖域是（F（x）→ G（y）），其中x是约束出现的，而y是自由出现的。对∃y的辖域是（H（x）∧M（x，y，z）），其中y是约束出现的，而x，z是自由出现的。在整个公式中，x约束出现一次，自由出现两次，y约束出现一次，自由出现一次，z仅自由出现一次。
2．约束变元的换名与自由变元的代入
例2.8 对公式∀x（P（x）→ R（x，y））∧Q（x，y）进行换名。
解对约束变元x换名为t后为
∀t（P（t）→ R（t，y））∧Q（x，y）
同理，对公式中的自由变元也可以更改，这种更改称作代入。
自由变元的代入规则是：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以代入，此时需要对公式中出现该自由变元的每一处进行代入。
（2）用以代入的变元与原公式中所有变元的名称都不能相同。
例2.9 对公式∃x（F（x）→ G（x，y））∧∀y H（y）代入。
解对y实施代入，经过代入后原公式为
∃x（F（x）→ G（x，t））∧∀y H（y）
另外，量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时，个体变元的所有可能的取代是可以枚举的。
设论域元素为a1，a2，…，a n，
则∀x A（x）⇔ A（a1）∧A（a2）∧…∧A（a n）
∃x A（x）⇔ A（a1）∨A（a2）∨…∨A（a n）。
2.2.3 谓词逻辑公式的解释
定义2.4 谓词逻辑公式的一个解释I，是由非空区域D和对G中常项符号、函数符号、谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：
（1）对每一个常项符号指定D中一个元素。
（2）对每一个n元函数符号，指定一个函数。
（3）对每一个n元谓词符号，指定一个谓词。
显然，对任意公式G，如果给定G的一个解释I，则G在I的解释下有一个真值，
记作T I（G）。
例2.10 指出下面公式在解释I下的真值。
（1）G=∃x（P（f（x））∧Q（x，f（a）））；
（2）H=∀x（P（x）∧Q（x，a））。
给出如下的解释I：
D={2，3}；
a：2；
f（2）：3、f（3）：2；
P（2）：0、P（3）：1；
Q（2，2）：1、Q（2，3）：1、Q（3，2）：0、Q（3，3）：1；
解（1）T I（G）= T I（（P（f（2））∧Q（2，f（2）））∨（P（f（3））∧Q（3，f（2））））
= T I（（P（3）∧Q（2，3））∨（P（2）∧Q（3，3））
= （1∧1）∨（0∧1）
= 1
（2）T I（H）= T I（P（2）∧Q（2，2）∧P（3）∧Q（3，2））
=0∧1∧1∧0=0
定义2.5 若存在解释I，使得G在解释I下取值为真，则称公式G为可满足的，简称I满足G。
定义2.6若不存在解释I，使得I满足G，则称公式G为永假式（或矛盾式）。若G的所有解释I都满足G，则称公式G为永真式（或重言式）。
2.3 谓词逻辑约束公式的等价与蕴涵
2.3.1 谓词逻辑的等价公式
定义2.7 设A、B是命题逻辑中的任意两个公式，设它们有共同的个体域E，
若对任意的解释I都有T I（A）= T I（B），则称公式A、B在E上是等价的，记作
A⇔B。
定理1设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：
（1）﹁∀x A（x）⇔∃x﹁A（x）
（2）﹁∃x A（x）⇔∀x﹁A（x）
证明（1）设个体域是有限的为：D={ a1，a2，…，a n}，则有
﹁∀x A（x）⇔﹁（A（a1）∧A（a2）∧…∧A（a n））
⇔﹁A（a1）∨﹁A（a2）∨…∨﹁A（a n））
⇔∃x﹁A（x）
（2）设个体域是有限的为：D={ a1，a2，…，a n}，则有﹁∃x A（x）⇔﹁（A（a1）∨ A（a2）∨…∨A（a n））
⇔﹁A（a1）∧﹁A（a2）∧…∧﹁A（a n）
⇔∀x﹁A（x）
定理2 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有
（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀x A（x）∨B
（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀x A（x）∧B
（3）∀x（A（x）→ B）⇔∃x A（x）→ B
（4）∀x（B→A（x））⇔B→∀x A（x）
（5）∃x（A（x）∨B）⇔∃x A（x）∨B
（6）∃x（A（x）∧B）⇔∃x A（x）∧B
（7）∃x（A（x）→ B）⇔∀x A（x）→ B
（8）∃x（B→A（x））⇔B→∃x A（x）
证明（1）设D是个体域，I为任意解释，即用确定的命题及确定的个体代替出现在∀x（A（x）∨B）和∀x A（x）∨B中的命题变元和个体变元，于是得到两个命题，若对∀x（A（x）∨B）代替之后所得命题的真值为真，此时必有A（x）∨B的真值为真；因而A（x）真值为真或B的真值为真，若B的真值为真，则∀x A（x）∨B的真值为真；若B的真值为假，则必有对D中任意x都使得A（x）的真值为真，所以∀x（A（x）∨B）为真，从而∀x A（x）∨B为真。若对∀x（A （x）∨B）代替之后所得命题的真值为假，则A（x）和B的真值必为假，因此∀x A（x）∨B的真值为假；所以∀x（A（x）∨B）为假，有∀x A（x）∨B为假。（2）、（5）和（6）证明与（1）类似，证明过程略。
（3）∀x（A（x）→ B）⇔∀x（⌝A（x）∨B）
⇔∀x⌝A（x）∨ B
⇔∃x⌝ A（x）∨B
⇔∃x A（x）→ B
（4）、（7）、（8）证明与（3）类似，证明过程略。
定理3 设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有：（1）∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）
（2）∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）
证明（1）设D是任一个体域，若∀x（A（x）∧B（x））的真值为真，则对任意a∈D，有A（a）和B（a）同时为真，即∀x A（x）为真、∀x B（x）为真，从而∀x A（x）∧∀x B（x）为真。若∀x（A（x）∧B（x））的真值为假，则对任意a∈D，有A（a）和B（a）不能同时为真，即∀x A（x）和∀x B（x）的真值不能同时为真，从而∀x A（x）∧∀x B（x）的真值为假。
综上所述∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）
（2）设D是任一个体域，若∃x（A（x）∨B（x））的真值为真,则存在a∈D，使得A（a）∨B（a）为真，即A（a）为真或B（a）为真，即∃x A（x）为真或∀x B （x）为真，从而∃x A（x）∨∃x B（x）为真。若∃x（A（x）∨B（x））的真值为假，则存在a∈D，使得A（a）∨B（a）为假，此时，A（a）为假，B（a）为假，从而∃x A（x）∨∃x B（x）的真值为假。
综上所述∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）
例2.11 证明下列各等价式
（1）﹁∃x（A（x）∧B（x））⇔∀x（A（x）→﹁B（x））
（2）﹁∀x（A（x）→ B（x））⇔∃x（A（x）∧﹁B（x））
证明（1）﹁∃x（A（x）∧B（x））
⇔∀x ﹁（A（x）∧B（x））
⇔∀x（﹁A（x）∨﹁B（x））
⇔∀x（A（x）→﹁B（x））
（2）﹁∀x（A（x）→ B（x））
⇔∃x ﹁（A（x）→ B（x））
⇔∃x ﹁（﹁A（x）∨B（x））
⇔∃x（A（x）∧﹁B（x））
2.3.2 谓词逻辑的蕴涵公式
定义2.8 设A、B是命题逻辑中的任意两个公式，若A→B是永真式，则称公式A蕴涵公式B，记作A⇒B。
定理4 下列蕴涵式成立
（1）∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））
（2）∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）
（3）∀x（A（x）→ B（x））⇒∀x A（x）→∀x B（x）
（4）∀x（A（x）→ B（x））⇒∃x A（x）→∃x B（x）
（5）∃x A（x）→∀x B（x）⇒∀x（A（x）→ B（x））
证明：
（1）设∀x A（x）∨∀x B（x）在任意解释下的真值为真，即对个体域中的每一个x。都能使A（x）的真值为真或者对个体域中的每一个x都能使B（x）的真值为真，无论哪种情况，对于个体域中的每一个x都能使A（x）∨B（x）的真值为真。因此，蕴涵式∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））成立。（2）设个体域为D，在解释I下∃x（A（x）∧B（x））的真值为真，即存在a∈D 使得A（a）∧B（a）为真，从而A（a）为真，B（a）为真，故有∃x A（x）、∃x B （x）均为真，所以，蕴涵式∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）成立。
（3）设个体域为D，在解释I下∀x A（x）→∀x B（x）的真值为假,即存在a∈D 使得A（a）→B（a）为假，所以蕴涵式∀x（A（x）→B（x））⇒∀x A（x）→∀x B（x）成立。
（4）∀x（A（x）→B（x））→（∃x A（x）→∃x B（x））
⇔﹁∀x（A（x）→B（x））∨（∃x A（x）→∃x B（x））
⇔﹁∀x（A（x）→B（x））∨（﹁∃x A（x）∨∃x B（x））
⇔﹁∀x（A（x）→B（x））∨﹁∃x A（x）∨∃x B（x）
⇔﹁（∀x（A（x）→B（x））∧∃x A（x））∨∃x B（x）
⇔（∀x（A（x）→B（x））∧∃x A（x））→∃x B（x）
（5）∃x A（x）→∀x B（x）⇔⌝∃x A（x）∨∀x B（x）
⇔∀x ⌝A（x）∨∀x B（x）
⇒∀x（⌝A（x）∨B（x））
⇔∀x（A（x）→ B（x））
2.3.3 多个量词的使用
定义2.9 设谓词公式G，不包含联结词→，↔。把G中出现的联结词∨，∧互换；命题常量T，F互换；量词∀，∃互换之后得到的公式称为G的对偶公式，记作G*。
定理5（对偶定理）设A、B是任意两个公式并且不包含联结词→，↔。若A⇔B，则A*⇔B*。
2.4 前束范式
定义2.10一个谓词公式，如果量词均在全式的开头，且辖域延伸到公式的末尾，则该公式称为前束范式。
定理6 对任意一个谓词公式都可以化为与它等价的前束范式。
证明首先利用等价公式将谓词公式中的联结词→，↔去掉。其次利用量词的转化律将量词前面的否定深入到谓词前面，在利用改名和代入规则以及量词辖域扩张的公式将量词移到全式的最前面，这样便得到前束范式。
例2.12 求下列谓词公式的前束范式。
（1）∀x ∀y（∃z A（x，z）∧A（x，z））→∃t B（x，y，t）
解（1）∀x ∀y（∃z A（x，z）∧A（x，z））→∃t B（x，y，t）⇔﹁∀x ∀y（∃z A（x，z）∧A（x，z））∨∃t B（x，y，t）⇔∃x ∃y（∀z﹁A（x，z）∨﹁A（x，z））∨∃t B（x，y，t）
（量词转化）
⇔∃x ∃y（∀w﹁A（x，w）∨﹁A（x，z））∨∃t B（u，v，t）
（改名及代入规则）⇔∃x ∃y ∀w ∃t（﹁A（x，w）∨﹁A（x，z）∨B（u，v，t））
（量词辖域扩张）（2）﹁∀x（∃y P（x，y）→∃x ∀y（Q（x，y）∧∀y（P（y，x）→Q（x，y））））解（2）﹁∀x（∃y P（x，y）→∃x ∀y（Q（x，y）∧∀y（P（y，x）→Q（x，y））））
⇔﹁∀x（﹁∃y P（x，y）∨∃x ∀y（Q（x，y）∧∀y（P（y，x）→Q（x，y））））⇔∃x（∃y P（x，y）∧∀x∃y（﹁Q（x，y）∨∃y（P（y，x）∧﹁Q（x，y））））
（量词转化、德·摩根定律）⇔∃x（∃y P（x，y）∧∀x ∃y（﹁Q（x，y）∨∃z（P（z，x）∧﹁Q（x，z））））
（改名原则）⇔∃x（∃y P（x，y）∧∀x ∃y ∃z（﹁Q（x，y）∨（P（z，x）∧﹁Q（x，z））））
（量词辖域扩张）
⇔∃x（∃y P（x，y）∧∀u ∃v ∃z（﹁Q（u，v）∨（P（z，u）∧﹁Q（u，z））））
（改名原则）⇔∃x ∃y ∀u ∃v ∃z （P（x，y）∧（⌝Q（u，v）∨（P（z，u）∧﹁Q（u，z））））（量词辖域扩张）定义2.11若一个谓词公式，具有如下形式，则称该公式为前束析取范式。
定义2.12 若一个谓词公式，具有如下形式，则称该公式为前束合取范式。
定理7 任意谓词公式都可以化为与其等价的前束析取范式和前束合取范式。
2.5 谓词演算的推理理论
1．全称指定规则（简称US规则）
这条规则有下面两种形式：
(1)∀x P（x）⇒P（y）
(2)∀x P（x）⇒P（c）
其中，P是谓词，（1）中y为任意不在P（x）中约束出现的个体变元；（2）中c 为个体域中的任意一个个体常元。
2．存在指定规则（简称ES规则）
∃x P（x）⇒P（c）
其中，c为个体域中使P成立的特定个体常元。必须注意，应用存在指定规则，其指定的个体c不是任意的。
3．全称推广规则（简称UG规则）
P（y）⇒∀x P（x）
4．存在推广规则（简称EG规则）
P（c）⇒∃x P（x）
其中，c为个体域中的个体常元，这个规则比较明显，对于某些个体c，若P（c）成立，则个体域中必有∃x P（x）。
例2.13 证明∀x（M（x）→ D（x））∧M（s）⇒D（s）这是著名的苏格拉底三段论的论证。
其中 M（x）：x是一个人。
D（x）：x是要死的。
s：苏格拉底。
证明（1）∀x（M（x）→ D（x）） P
（2）M（s）→ D（s） US（1）
（3）M（s） P
（4）D（s） T（2）（3）I
例 2.14 判断下列的推理过程是否正确。
（1）∀x ∃y G（x，y） P
（2）∃y G（z，y） US（1）
（3）G（z，c） ES（2）
（4）∀x G（x，c） UG（3）
（5）∃y ∀x G（x，y） EG（4）
解这个推理过程是错误的，因为从它可以得出结论：
∀x ∃y G（x，y）⇒∃y ∀x G（x，y）
从前面的学习中我们知道这个式子不成立。它的推导错误出现在第（3）步。∀x ∃y G（x，y）的含义是：对于任意的一个x，存在着与它对应的y，使得G（x，y）成立。但是，对∃y G（z，y）利用ES规则消去存在变量后得到G（z，c）的含义却是：对于任意个体z，有同一个体c，使得G（z，c）成立。显然，G（z，c）不是∃y G（z，y）的有效结论。因此，使用ES规则∃x P（x）⇒P（c）消去存在量词的条件是:P（x）中除x外没有其他自由出现的个体变元。
例2.15 证明：∀x（C（x）→（W（x）∧R（x）））∧∃x C（x）∧Q（x）⇒∃x Q（x）∧∃x Q（x）
证明（1）∃x C（x）P
（2）C（y）ES（1）
（3）∀x（C（x）→（W（x）∧R（x）））P
（4）C（y）→（W（y）∧R（y））US（3）
（5）W（y）∧R（y）T（2）（4）I
（6）R（y）T（5）I
（7）∃x R（x）EG（6）
（8）Q（x）P
（9）∃x Q（x）EG（8）
（10）∃x Q（x）∧∃x Q（x）T（7）（9）I
例2.16 证明：∀x（A（x）∨B（x））⇒∃x A（x）∨∃x B（x）
证明（1）∀x（A（x）∨B（x）） P
（2）A（y）∨B（y） US（1）
（3）∃x（A（x）∨B（x）） EG（2）
（4）∃x A（x）∨∃x B（x） T（3）E
例2.17 给定前提：
∃x（P（x）∧∀y（Q（y）→ R（x，y）））
∀x（P（x）→∀y（S（y）→﹁R（x，y）））
证明下列结论：
∀x（Q（x）→﹁S（x））
证明：
（1）∃x（P（x）∧∀y（Q（y）→ R（x，y））） P
（2）P（a）∧∀y（Q（y）→ R（a，y）） ES（1）
（3）P（a） T（2）
（4）∀x（P（x）→∀y（S（y）→﹁R（x，y））） P
（5）P（a）→∀y（S（y）→﹁R（a，y）） US（4）
（6）∀y（S（y）→﹁R（a，y）） T（3）（5）I
（7）∀y（Q（y）→ R（a，y）） T（2）I
（8）S（z）→﹁R（a，z） US（6）
（9）Q（z）→R（a，z） US（7）
（10）R（a，z）→﹁S（z） T（8）E
（11）Q（z）→⌝S（z） T（9）（10）I
（12）∀x（Q（x）→﹁S（x）） UG（11）
例 2.18 符号化下面的命题“所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，任何虚数都不是实数，所以任何虚数既不是有理数也不是无理数”，并推证其结论。
证明设：P（x）：x是有理数。
Q（x）：x是无理数。
R（x）：x是实数。
S（x）：x是虚数。
本题符号化为：∀x（P（x）→ R（x）），∀x（Q（x）→ R（x）），∀x（S（x）→﹁R（x））⇒∀x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））
（1）∀x（S（x）→﹁R（x）） P
（2）S（y）→﹁R（y） US（1）
（3）∀x（P（x）→ R（x）） P
（4）P（y）→ R（y） US（3）
（5）﹁R（y）→﹁P（y） T（4）E
（6）∀x（Q（x）→ R（x）） P
（7）Q（y）→ R（y） US（6）
（8）﹁R（y）→﹁Q（y） T（7）E
（9）S（y）→﹁P（y）T（2）（5）I （10）S（y）→﹁Q（y）T（2）（8）I （11）（S（y）→﹁P（y））∧（S（y）→﹁Q（y）T（9）（10）I （12）（﹁S（y）∨﹁P（y））∧（⌝S（y）∨﹁Q（y））T（11）E （13）﹁S（y）∨（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（12）E （14）S（y）→（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（13）E （15）∀x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））UG（14）
第三章集合
本章学习目标：
集合是一般数学及离散数学中的基本概念，几乎与现代数学的各个分支都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。本章主要介绍集合的基本知识，通过本章学习，读者应该掌握以下内容：
1.集合的概念及表示方法
2.子集、空集、全集、补集、幂集等概念
3.集合的基本运算：交、并、补和对称差
4.集合的包含排斥原理
内容：
集合的概念及运算、幂集及笛卡尔积的运算、容斥原理的应用
教学目的：
1．深刻理解子集、空集、全集、集合表示、集合相等、幂集等基本概念。
2．熟练掌握集合的并、交、补、运算；能用文氏图表示集合运算。
3．熟练掌握集合运算的基本定律，能熟练地应用这些定律证明集合恒等式。
4．深刻理解序偶与笛卡尔积的概念；了解递归定义的概念；理解容斥原理。
教学重点：
1．集合的概念及表示方法
2．子集、空集、全集、补集、幂集等概念
3．集合的基本运算：交、并、补和对称差
4．集合的包含排斥原理
教学难点：
集合的基本运算：交、并、补和对称差集合的包含排斥原理
3.1集合的概念与表示
3.1.1 集合的基本概念
3.1.2 集合的表示
1．列举法
2．描述法
3.文氏图法
3.2 集合之间的关系
定义3.1如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，也可以说A包含于B，或者B包含A，这种关系写作A⊆B 或 B⊇A,如果
A不是B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B时，称B不包含A，记作B⊄A 或 A⊄B
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点 第一章 集 合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集 2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图 3、序偶与迪卡尔积 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。 [本章重点习题] P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。 [疑难解析] 1、集合的概念 因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。 2、集合恒等式的证明 通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~?=-证明中的特殊作用。 [例题分析] 例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A }}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B 于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ
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《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死
离散数学最全答案 屈婉玲
第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）pq ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r ）∧(﹁q ∨s) ? （0?1）∧(1∨1) ?0∧1? 0. （3）（?p ∧? q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ? （1∧1∧1） ? (0∧0∧0)? 0 (4)（? r ∧s ）→(p ∧?q) ? （0∧1）→(1∧0) ?0→0? 1 17．判断下面一段论述是否为真：“π 是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(?q →?p) （5）(p ∧r) ?(?p ∧? q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ?q ?p ?q →?p (p →q)→(?q →? p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ? (p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)?(? p ∨(p ∨q))∨(? p ∨r)?? p ∨p ∨q ∨r ?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
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第一章命题逻辑 内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点： 1．命题的概念及判断 2．联结词，命题的翻译 3．主析（合）取范式的求法 4．逻辑推理 教学难点： 1．主析（合）取范式的求法 2．逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。 1.2命题联结词
（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P； （2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q； （3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。 （1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P； （2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q； （3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）→R）∨S） （（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R 以下符号串都不是公式： （（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q） 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为：（⌝P→Q）∧（P→（R∨S））。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1，P2，…，P n是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，P n的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作T I（G）。 例如， 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即T I（G）=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。 构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，P n。（2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序依次写
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1-1，1-2 （1）解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解：、- a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P↔Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（ d)） e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） f)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b）((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用P→(Q→P)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.
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第一章命题逻辑 1.1 命题及其表示方法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.6 其它联结词 1.7 对偶与范式 1.8 推理理论 1.1 命题及其表示方法 命题：具有确定真值的陈述句 命题的类型（原子命题和复合命题） 命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题） 重点：如何判断语句是否为命题。 1.2 联结词 否定? 合取∧ 析取∨ 条件→ 双条件? 重点：五种联结词的含义、真值表 1.3 命题公式与翻译 命题公式 符号化：所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由 命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。 命题符号化的重要性 命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。 重点：命题的符号化 符号化应该注意下列事项: ①确定给定句子是否为命题。 ②句子中连词是否为命题联结词。
③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。 1.4 真值表与等价公式 真值表的构造方法 (1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺 序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次. (3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值. 等价关系的含义 等价式的判别方法 ?真值表法 ?等价演算法 基本等价式（必须掌握） (1)对合律（双重否定）：??P?P (2)幂等律：P∧P?P，P∨P?P (3)结合律：(P∧Q)∧R?P∧(Q∧R)， (P∨Q)∨R?P∨(Q∨R) (4)交换律：P∧Q?Q∧P，P∨Q?Q∨P (5)分配律：P∧(Q∨R)?(P∧Q)∨(P∧R)， P∨(Q∧R)?(P∨Q)∧(P∨R) (6)德·摩根律：? (P∧Q) ??P∨?Q， ? (P∨Q) ??P∧?Q (7)吸收律：P∧(P∨Q)?P，P∨(P∧Q)?P (8)同一律：P∧T?P，P∨F?P (9)零律：P∧F?F，P∨T?T (10)否定律：P∧?P?F，P∨?P?T (11) 条件式转化律： P→Q??P∨Q， P→Q??Q→?P (12) 双条件式转化律： P?Q ?(P→Q)∧(Q→P) ?(P∧Q)∨(?P∧?Q) ? (P?Q) ?P??Q ??P?Q (13) 输出律(CP规则)： P→(Q→R) ?(P∧Q)→R 重点：等价式的证明、基本等价式
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第一章，0 命题逻辑 素数 =质数，合数有因子 和或假必真同为真 (p →q) ∧ (q ←→ r) ， (p ∧ q) ∧┐ r ， p∧ (q ∧┐ r) 等都是合式公式，而pq→ r ，（ p→ (r →q) 等不是合式公式。 若公式 A 是单个的命题变项，则称( ┐ p∧ q) → r ，( ┐ (p →┐ q)) ∧ ((r A 为 ∨ s) 0 层合式 ┐ p) 分别为 3 层和 4 层公式 【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。(┐p∧ q)→┐ r 公式 (1) 的成假赋值为011，其余 7 个赋值都是成真赋值 第二章，命题逻辑等值演算 （ 1）双重否定律 A A （ 2）等幂律 A ∧ A A ； A∨A A （ 3）交换律 A ∧ B B∧ A ； A∨B B∨ A （ 4）结合律（A∧ B）∧ C A∧（ B∧ C）；（A∨B）∨ C A∨（ B∨ C） （ 5）分配律（A∧ B）∨ C （A∨C）∧（ B∨C）；（A∨ B）∧ C （ A∧ C）∨（ B∧ C）（ 6）德·摩根律（A∨B）A∧ B ；（A∧B）A∨ B （ 7）吸收律 A ∨（ A∧ B）A；A∧（ A∨B） A （ 8）零一律 A ∨ 1 1 ； A∧0 0 （ 9）同一律 A ∨ 0 A ； A∧1 A （ 10）排中律 A ∨ A 1 （ 11）矛盾律 A ∧ A 0 （ 12）蕴涵等值式 A → B A∨ B （ 13）假言易位 A → B B→ A （ 14）等价等值式 A B （A→ B）∧（ B→ A） （ 15）等价否定等值式 A B A B B A （ 16）归缪式（A→ B）∧（ A→B） A
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结 离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结： 1. 集合理论： 集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$ 集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$ 集合补：$A' = {x | x \notin A}$ 集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$ 幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。 容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 2. 排列和组合： 排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$ 组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ 二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$ 3. 图论： 手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$ 欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶
数。 哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。 图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。 图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。 4. 布尔代数： 布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。 逻辑与：$A \land B$ 逻辑或：$A \lor B$ 逻辑非：$\lnot A$ 逻辑与门：$AND$ 逻辑或门：$OR$ 逻辑非门：$NOT$ 布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$ 德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$ 5. 树和图： 树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$ 二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最
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├断定符（公式在L中可证） ╞满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）┐命题的“非”运算 ∧命题的“合取”（“与”）运算 ∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算 A<=>B 命题A 与B 等价关系 A=>B 命题A与B的蕴涵关系 A* 公式A 的对偶公式 wff 合式公式 iff 当且仅当 ↑ 命题的“与非” 运算（“与非门” ） ↓ 命题的“或非”运算（“或非门” ） □模态词“必然” ◇模态词“可能” φ 空集 ∈属于（??不属于） P（A）集合A的幂集 |A| 集合A的点数 R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合” ∪集合的并运算 ∩集合的交运算
- （～）集合的差运算 〡限制 [X](右下角R) 集合关于关系R的等价类 A/ R 集合A上关于R的商集 [a] 元素a 产生的循环群 I (i大写) 环，理想 Z/(n) 模n的同余类集合 r(R) 关系R的自反闭包 s(R) 关系的对称闭包 CP 命题演绎的定理（CP 规则） EG 存在推广规则（存在量词引入规则） ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则） R 关系 r 相容关系 R○S 关系与关系的复合 domf 函数的定义域（前域） ranf 函数的值域 f:X→Y f是X到Y的函数 GCD(x,y) x,y最大公约数 LCM(x,y) x,y最小公倍数
aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集 Ker(f) 同态映射f的核（或称f同态核）[1，n] 1到n的整数集合 d(u,v) 点u与点v间的距离 d(v) 点v的度数 G=(V,E) 点集为V，边集为E的图 W(G) 图G的连通分支数 k(G) 图G的点连通度 △（G) 图G的最大点度 A(G) 图G的邻接矩阵 P(G) 图G的可达矩阵 M(G) 图G的关联矩阵 C 复数集 N 自然数集（包含0在内） N* 正自然数集 P 素数集 Q 有理数集 R 实数集 Z 整数集 Set 集范畴 Top 拓扑空间范畴 Ab 交换群范畴
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为 2种不同的关系； mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
离散数学最全最新答案 屈婉玲
For personal use only in study and research; not for commercial use 第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0 （2）（p ↔r ）∧(﹁q ∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔ 0. （3）（⌝p ∧⌝q ∧r ）↔(p ∧q ∧﹁r) ⇔（1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0)⇔ (4)（⌝r ∧s ）→(p ∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(⌝q →⌝p) （5）(p ∧r) ↔(⌝p ∧⌝q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ⌝q ⌝p ⌝q →⌝p (p →q)→(⌝q →⌝p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ⌝(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)⇔(⌝p ∨(p ∨q))∨(⌝p ∨r)⇔⌝p ∨p ∨q ∨r ⇔1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1
离散数学知识点全归纳
离散数学知识点全归纳 离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。 在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应 用价值。以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。 1. 集合论和逻辑 - 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂 集等。 - 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取 范式、合取范式等。 - 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。 2. 证明方法 - 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。 - 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。 - 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。
3. 图论 - 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。 - 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。 - 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。 4. 关系与函数 - 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。 5. 组合数学 - 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。 - 递归关系：递推公式、递归算法等。 - 图的着色：色数、四色定理等。 6. 代数系统
- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。 - 同态：同态映射、同构等。 - 应用：编码理论、密码学等。 以上是离散数学的一些重要知识点的概括。深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （3）3是素数或4是素 数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为 1. （4） 2x+ <3 5答：不是命题. （5）你去图书馆吗？答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以 π . 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要 条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值 为 1.
（2）25不是无理 数. 答：否定式：25是有理数. p：25不是无理数. q：25是有理数.其否定式 q的 真值为 1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数.其否定式q的真值 为 1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数.其否定式q的真值为 1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧，其真值为 1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数. 答：p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p q∧，其真值为 1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为p q∧¬，其真值为 1. （4）3是偶素数. 答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧，其真值为 0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为¬ ∧¬p q，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3 是偶数. （2）2或4 是偶数. （3）3或5 是偶数. （4）3不是偶数或4不是 偶数. （5）3不是素数或4不是 答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数 偶数. (1)符号化: p q∨，其真值为 1. (2)符号化：p r∨，其真值为 1. (3)符号化：r t∨，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨ . （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
离散数学(第二版)最全课后习题
离散数学(第二版)最全课后习题 第一章：集合与关系 1.1 集合的基本概念 1.设 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求 A 与 B 的并集和交 集。 A ∪ B = {1, 2, 3, 4} A ∩ B = {2, 3} 2.证明或举反例：集合 A、B 满足A ⊆ B，B ⊆ C，则 A ⊆ C。 证明：由于 A ⊆ B，B ⊆ C，那么对于任意的 x，如果 x ∈ A，那么 x ∈ B，同时由于 B ⊆ C，有 x ∈ C。因此，对于任意的 x，如果 x ∈ A，那么 x ∈ C，所以 A ⊆ C。 1.2 二元关系 1.给定关系 R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}，判 断 R 是否是自反关系，对称关系，传递关系。
自反关系：关系 R 是自反关系，当且仅当对于所有的元素 x ∈ A，(x, x) ∈ R。由于 (1, 1)，(2, 2)，(3, 3) 存在于 R 中，所以 R 是自反关系。 对称关系：关系 R 是对称关系，当且仅当对于所有的元素(x, y) ∈ R，有 (y, x) ∈ R。由于 (1, 2) 存在于 R 中，但 (2, 1) 不在 R 中，所以 R 不是对称关系。 传递关系：关系 R 是传递关系，当且仅当对于所有的元素(x, y) ∈ R 和 (y, z) ∈ R，有 (x, z) ∈ R。由于(1, 2) ∈ R 和 (2, 3) ∈ R，所以 (1, 3) ∈ R；由于 (2, 3) ∈ R 和 (3, 2) ∈ R，所以 (2, 2) ∈ R。所 以 R 是传递关系。 2.给定闵可夫斯基空间 S = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}， 定义关系 R 如下：对于任意的 (x1, y1), (x2, y2) ∈ S，(x1, y1) R (x2, y2) 当且仅当 |x1 - x2| + |y1 - y2| = 1。判断关系 R 是否是自反关系，对称关系，传递关系。 自反关系：关系 R 是自反关系，当且仅当对于所有的元素 (x, y) ∈ S，(x, y) R (x, y)。由于对于任意的 (x, y) ∈ S，有 |x - x| + |y - y| = 0，所以 |x - x| + |y - y| = 1 不成立，所以 R 不是自反关系。 对称关系：关系 R 是对称关系，当且仅当对于所有的元素
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试卷二十二试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分） 1．设A={1，2，3，4，5}，下面（ ）集合等于A 。 A 、{1，2，3，4，5，6}； B 、 }25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且； D 、}5{≤x x x 是正有理数且。 2．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。 A 、A ⊆Φ； B 、{6，7，8}∈A ； C 、{{4，5}}⊂A ； D 、{1，2，3}⊂A 。 3．六阶群的子群的阶数可以是（ ）。 A 、1，2，5； B 、2，4； C 、3，6，7； D 、2，3 。 4．设B A S ⨯⊆，下列各式中（ ）是正确的。 A 、 domS ⊆ B ； B 、domS ⊆A ； C 、ranS ⊆A ； D 、domS ⋃ ranS = S 。 5．设集合Φ≠X ，则空关系X Φ不具备的性质是（ ）。 A 、自反性； B 、反自反性； C 、对称性； D 、传递性。 6．下列函数中，（ ）是入射函数。 A 、世界上每个人与其年龄的序偶集； B 、、世界上每个人与其性别的序偶集； B 、 一个作者的专著与其作者的序偶集； D 、每个国家与其国旗的序偶集。 7．><,*G 是群，则对*（ ）。 A 、满足结合律、交换律； B 、有单位元，可结合； C 、有单位元、可交换； D 、每元有逆元，有零元。 8．下面（ ）哈斯图所描述的偏序关系构成分配格。 9．下列（ ）中的运算符都是可交换的。 A 、→∨∧,,； B 、↔→,； C 、⨯⋂⋃,,； D 、∧∨,。 10．设G 是n 个结点、m 条边和r 个面的连通平面图，则m 等于（ ）。 A 、n+r-2 ； B 、n-r+2 ； C 、n-r-2 ； D 、n+r+2 。 11．n 个结点的无向完全图n K 的边数为（ ）。
离散数学最全答案 屈婉玲
离散数学最全最新答案 屈婉玲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p ∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p ∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p ∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p ∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p ∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p ∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p ∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p ∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p ∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p ∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p ∧q)∨(p ∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p ∧┐q)∨(┐p ∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q ，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p ，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r ，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0 （2）（p ↔r ）∧(﹁q ∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔ 0. （3）（⌝p ∧⌝q ∧r ）↔(p ∧q ∧﹁r) ⇔（1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0)⇔ (4)（⌝r ∧s ）→(p ∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(⌝q →⌝p) （5）(p ∧r) ↔(⌝p ∧⌝q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ⌝q ⌝p ⌝q →⌝p (p →q)→(⌝q →⌝p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ⌝(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)⇔(⌝p ∨(p ∨q))∨(⌝p ∨r)⇔⌝p ∨p ∨q ∨r ⇔1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
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1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化,并给出各命题的真值: <1>2+2＝4当且仅当3+3＝6.<2>2+2 ＝4的充要条件是3+3≠6.<3>2+2≠4 与3+3＝6互为充要条件.<4>若 2+2≠4, 则3+3≠6,反之亦然. <1>p↔q,其中,p: 2+2＝4,q: 3+3＝6, 真值为 1.<2>p↔⌝q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为0. <3>⌝p↔q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为 0.<4>⌝p↔⌝q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真 值:<1>若今天是星期一,则明天是星期二.<2>只 有今天是星期一,明天才是星期二.<3>今天是星 期一当且仅当明天是星期二. <4>若今天是星期 一,则明天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.<1> p→q ⇔ 1. <2> q→p ⇔ 1. <3> p↔q⇔ 1. <4>p→r当p ⇔ 0时为真; p ⇔ 1时为假. 1.14．将下列命题符号化. <1> 刘晓月跑得快,跳得高.<2> 老王是XX人或XX人. <3>因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. <4>王欢与李乐组成一个 小组. <5>李辛与李末是兄弟. <6>王强与刘威都学过法语. <7>他一面 吃饭, 一面听音乐. <8>如果天下大雨,他 就乘班车上班.<9>只有天下大雨,他才乘 班车上班.<10>除非天下大雨,他才乘班车 上班.<11>下雪路滑, 他迟到了. <12>2与4都是素数,这是不对的. <13>"2或4是素数,这是不对的"是不对的.