高中数学公式——极坐标与参数方程
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程首先，我们来看看极坐标。
在极坐标中，平面上的点由两个数值确定，即极径和极角。
极径表示点到原点的距离，而极角表示这个点与一些参考轴的夹角。
使用极坐标时，点的坐标通常表示为(r,θ)。
极坐标系具有许多有用的特点，例如它能更好地描述圆形和对称图形，且对部分函数的积分更加简单。
在极坐标系中，曲线的方程通常表示为一个关于r和θ的函数的方程。
例如，圆的极坐标方程通常表示为r=a，其中a是圆的半径。
其他常见的极坐标图形包括椭圆、双曲线和螺旋线等。
接下来，我们来看看参数方程。
在参数方程中，曲线的坐标是由一个或多个参数变量t决定的。
通过给定参数t不同的值，可以得到曲线上的不同点。
参数方程的主要优势是它可以非常灵活地描述各种曲线形状，包括曲线的复杂度和对称性。
参数方程通常表示为两个或多个关于参数t的函数f(t)和g(t)。
每个函数都描述了一个坐标轴上的变化情况，从而确定了曲线上的点的位置。
例如，一条直线的参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中f(t)和g(t)是线的斜率和截距的函数。
参数方程可以用来描述几何图形中的曲线、参数化过程和动画效果等。
例如，在计算机图形学和动画制作中，参数方程常用于生成复杂的动态曲线和图形。
总结起来，极坐标和参数方程是一种描述平面上曲线的数学方法。
极坐标通过极径和极角来确定点的位置，适用于描述圆形和对称图形。
参数方程通过一个或多个参数变量来确定曲线上的点的位置，具有很高的灵活性，适用于描述各种曲线形状和动画效果。
无论是极坐标还是参数方程，它们都在数学和实际应用中发挥着重要的作用。
高中数学 极坐标与参数方程
___ρs_i_n_θ_＝__a_(_0_<_θ_<_π_)___
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[微点提醒] 关于极坐标系 1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四
者缺一不可. 2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极
x＝acos y＝bsin
φ， φ (φ
为参数)
温馨提醒 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何 意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
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[微点提醒] 1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根
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2.参数方程与普通方程的互化 通过消去___参__数____从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝ ＝fg((tt))，就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致.
坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任 意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.
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知识梳理 1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的 x＝f(t)，
函数_____y_＝__g_(_t)______，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y的变数t叫做参变数，简称参数.
[整理版]高中数学选修4—4（坐标系与参数方程）知识点总结
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坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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极坐标与直角坐标互化公式：
若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点 P 的极坐标为 (, ) ，直
角坐标为 (x, y) ，则 x cos ,
y sin ,
2 x2 y2 ,
tan
y x
。
【题型 1】参数方程和极坐标基本概念
1．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ C ）
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总
【知识汇编】
编者：邬小军
参数方程：直线参数方程：
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
(x0 , y0 ) 为直线上的定点，
t 为直线上任一
点 (x, y) 到定点 (x0 , y0 ) 的数量；
圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：
x
y
（1）若曲线 C1 关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程；
（2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．
解：（1） C1 ： (x 1)2 ( y 1)2 2 ， C2 ： y a ，
因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称， a 1 ， C2 ： y 1
x 2 5 cos 解：(1)∵曲线 c 的参数方程为 y 1 5 sin (α 为参数) ∴曲线 c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5
x cos
将
y
sin
代入并化简得： =4cosθ+2sinθ
即曲线 c 的极坐标方程为 =4cosθ+2sinθ
(2)∵ l 的直角坐标方程为 x+y-1=20 ∴圆心 c 到直线 l 的距离为 d= 2 = 2 ∴弦长为 2 5 2 =2 3 .
极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程极坐标与参数方程是数学中两种不同的表示方法，用于描述平面上的点的位置关系。
它们在解决问题时各有优势，对于不同类型的曲线和图形，选择合适的表示方法可以简化计算和推导的过程。
一、极坐标极坐标是一种以点到极点的距离和该点与极轴的角度来表示点的坐标系统。
在极坐标中，一个点的坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴正方向的夹角。
使用极坐标可以方便地描述圆形和对称图形。
以圆形为例，极坐标下的圆心坐标为(r, θ)，其中r表示圆的半径，θ的取值范围是0到2π，对应着一个完整的圆周。
同时，通过极坐标的转换公式，可以将直角坐标系下的点的坐标表示转换为极坐标形式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y / x)二、参数方程参数方程是一种用参数表示自变量与函数关系的方法。
在参数方程中，自变量由一个参数(通常用t表示)来表示，通过给参数赋不同的值，可以得到曲线上的各个点坐标。
参数方程常用于描述曲线的形状和位置，尤其适用于非线性和复杂曲线的表示。
参数方程的一般形式为：x = f(t)y = g(t)在参数方程中，x和y表示点的坐标，f(t)和g(t)为关于参数t的函数。
通过给参数t赋不同的值，就可以得到对应的点的坐标。
参数方程常用于表示抛物线、椭圆、双曲线等曲线。
以抛物线为例，参数方程可以表示为：x = ty = t²通过给参数t赋予不同的值，可以得到抛物线上不同点的坐标。
三、极坐标与参数方程的应用极坐标与参数方程在不同的数学问题和工程领域中具有广泛的应用。
1. 极坐标可以用于描述天体运动中的轨迹，例如行星绕太阳的轨道。
由于行星绕太阳的轨道为椭圆形，使用极坐标可以简化对应的计算和分析过程。
2. 参数方程可以用于描述物体的运动轨迹，特别是包含加速度和速度变化的曲线运动。
例如，可以使用参数方程来描述抛体运动中的自由落体轨迹。
3. 极坐标和参数方程还被广泛应用于计算机图形学和计算机模拟领域。
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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极坐标与参数方程
一、参数方程
1.参数方程的概念
重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程
如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=
⎩ 圆22
(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程
（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=
⎩
（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；
②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，
则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数
（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=
||||MA MB +=1212121212
||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程
1.极坐标系的概念
ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.
有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)
点 直角坐标 极坐标
互化公式
3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）
直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3
R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =
如()2R π
θρ=∈，化为直角坐标方程：______
注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方
②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
4.弦长公式：
①过极点的一条直线上的两点12(,),(,)A B ρθρθ,则12||=||AB ρρ-;
②一般情况下1122(,),(,)A B ρθρθ，由余弦定理得222121212||=+2cos()AB ρρρρθθ--
5.极点三角形的面积公式: 12121=|sin()|2
AOB S ρρθθ∆-。