氢原子基态波函数
(完整版)结构化学课后答案第二章
02 原子的结构和性质【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm ，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。
221211()R n n ν=-解：将各波长换算成波数：1656.47nm λ= 1115233v cm --=2486.27nm λ= 1220565v cm --=3434.17nm λ= 1323032v cm --=4410.29nm λ= 1424373v cm --=由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。
列出下列4式：()22152331R R m m =-+()22205652R Rm m =-+()22230323R R m m =-+()22243734R Rm m =-+(1)÷(2)得：()()()23212152330.7407252056541m m m ++==+用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。
将m=2带入上列4式中任意一式，得：1109678R cm -=因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式：221211v R n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，112109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。
【2.2】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。
解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：22204n n n m e r r υπε= n=1，2，3，…… 式中，,,,,n n m r e υ和0ε分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为n r 时的线速度，电子的电荷和真空电容率。
同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为： 2n n nh m r υπ=将两式联立，推得：2202n h n r me επ=；202ne h n υε= 当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：2012h r me επ=()()23412211231196.62618108.854191052.9189.1095310 1.6021910J s C J m pm kg C π------⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯若用原子的折合质量μ代替电子的质量m ，则：201252.91852.91852.9470.99946h m pm r pm pme επμμ==⨯==基态时电子绕核运动的线速度为：2102e h υε=()21934122111.60219102 6.62618108.8541910C J s C J m -----⨯=⨯⨯⨯⨯612.187710m s -=⨯【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。
年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
结构化学 第一章习题-2
2006 在多电子原子中， 单个电子的动能算符均为2228∇π-mh 所以每个电子的动能都是相等的， 对吗？ ________ 。
2006 不对。
2008 原子轨道是原子中的单电子波函数， 每个原子轨道只能容纳 __ 2 ____个电子。
2009 H 原子的()φr,θψ,可以写作()()()φθr R ΦΘ,,三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数 (a) ，(b)， (c) 来规定。
2009 (a) n , l (b) l , m (c) m2020 氢原子基态波函数为0e 12130r a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π，求氢原子基态时的平均势能。
2020⎰⎰==τV τV V ψψψd d 2*r φθθr r εe a r d d d sin 4e 12022020300⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π=-∞ππ⎰⎰⎰024a εe π-=2021 回答有关 Li 2+ 的下列问题：(1)写出 Li 2+的薛定谔方程； (2)比较 Li 2+的 2s 和 2p 态能量的高低。
2021 (1) ψψψE rεe m h =π-∇π-20222438(2) 能量相同 2027 写出 H 原子 3d 电子轨道角动量沿磁场方向分量的可能值。
2027π±π,±22,0h h2028 一个电子主量子数为 4，这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？ 2028 l : 0, 1, 2, 3 m : 0,±1, ±2, ±3 m s : ±1/2 总的可能状态数：2 ( 1 + 3 + 5 + 7 ) = 32 种 2033 若一原子轨道的磁量子数为 m = 0， 主量子数 n ≤3， 则可能的轨道为____。
2033 1s, 2s, 3s, 2p z , 3p z , 32d z2034 氢原子处于定态zp3ψ时的能量为（a ） eV ， 原子轨道zp3ψ只与变量（b ）有关，zp 3ψ与xp3ψ（c ）相同的简并态 。
结构化学习题解答
组态 a： m s 1 ,S 1 ;m L 3 ,L 3 ;L S 4 。因此，能量最
低的光谱支项为3F4，与光谱实验结果相同。
组态 b： m s 1 ,S 1 ,m L 2 ,L 2 ;L S 3 。因此，能量最
低的光谱支项为3D3，与光谱实验结果不同。
子组态的“电子—空位”关系，(2p)5组态与(2p)1组态具
有相同的谱项。因此，本问题转化为推求(2p)1组态的光
谱项和光谱支项。这里只有一个电子，S= ½ , L=1 ，故
光谱项为2P。又 J113或 J111 ，
22
22
因此有两个光谱支项： 2 P3 和 2 P1
2
2
对C原子激发态(1s)2(2s)2(2p)1(3p)1，只考虑组态(2p)1(3p)1即可。 2P和3P电子是不等价电子，因而(2p)1(3p)1组态不受Pauli原理限 制，可按下述步骤推求其谱项：由
2s和2p三个电子层皆充满电子，它们对整个原子的轨道
角动量和自旋角动量均无贡献。Na原子的轨道角动量和
自旋角动量仅由3s电子决定；L= 0，S = 1/2 ,故光谱项为
2S；J只能为1/2 ，故光谱支项为
S2 1/ 2
F原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5。与上述理由相同，该组
态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5组态。根据等价电
(c)由于 p xnxcnx,p x 无本征值.可按下式计算 的p x平均值。
p l xp xdx
x
n
xn
0
l
2 sin nx ih d
2 sin nx dx
0l
l 2 dx l
l
ih
量子力学-氢原子和类氢离子
角动量及其算符(1)
9
二、角动量的本征值与本征函数（2）
角动量及其算符(2)
x r sin cos 在球坐标下， y r sin sin z r cos ˆ 则 l x i(sin cot cos ), ˆ l y i( cos cot sin ) ˆ l z i 形式简洁
( 2) ( 3)
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得： 将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得：
r sin cos x r sin sin s y r cos z
d lm ( ) （1－cos ) P (cos ) m l d (cos ) 1 m ( ) exp(im ) 2
2 2 2 d | Y ( , ) | sin d 1 lm 0 0
4
|m| 2
m
一、氢原子(3)
2、氢原子能级图
6
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n ,
2
n 1, 2,3, ,
l 0,1, 2, ,( n 1); m l , l 1, , l 1, l ; 波函数 nlm ( r, , ) Rnl ( r )Ylm ( , ) n 2，l 0,1 当l 0 m 0； 当l 1 m 1,0, 1, ( nlm) (200),(210),(211),(21 1) E2 200 R20Y00； 210 R21Y10； 211 R21Y11；
合肥工业大学-物理化学习题-第八章、量子力学基础合并
例 下列函数中哪些是算符
本征函数、本征值 x 2 , e x , sinx, k cos x(k为常数)
d 2 x 2 2 Cx 2 dx 2
2 d 不是 2 的本征函数 dx
2 d 的本征函数？本征值为多少? d x2
d 2e x e x dx 2
d 2 si n x si n x dx 2
34 h 6.6 10 J s 0.53 10 24 kg m s 1 ( 2) p 4 q 4 1010 m
9
例 (1) 0.01kg, 速度100m s1的子弹, (2) 1013kg, 1ms1 的作布朗运动的花粉 , (4) 验证不同质量物体的测不准关系 9.1 1031kg, 1000ms1的电子, 若其速度不定范围均为其速度的10%, 在确定它 们的位置时, 测不准关系是否有实际意义？
E112 = E121 = E211 = 6
E122 = E212 = E221 = 9
E113 = E131 = E311 = 11 E222 = 12
00-7-12 17
例 计算氢原子 n＝1, 2, 3 时的能级. 计算氢原子的能级
me mp 9.109 1031 kg 1.673 1027 kg me mp 9.109 10 31 kg 1.673 10 27 kg 9.104 10 31 kg
第八章、量子力学基础
C 1 波函数归一化的条件是 ____.
A.
2 | | d
B. | |2d 0
C.
2 | | d 1
D. | |2d e
C 2 下列系统无零点能的是 ____. A. 势箱中粒子 B. 谐振子 C. 刚性转子
量子力学中的氢原子波函数
量子力学中的氢原子波函数在量子力学中，氢原子是一个非常重要的研究对象。
其波函数描述了氢原子的量子态，是解决氢原子的薛定谔方程得到的解。
氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到，它描述了氢原子中电子的位置和能量。
在这篇文章中，我们将探讨氢原子波函数的性质以及它在量子力学中的重要性。
一、氢原子波函数的基本性质氢原子波函数是一个复数函数，可以用来描述氢原子中电子的位置和动量分布。
波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
具体来说，氢原子波函数有如下几个基本性质：1. 规范化：波函数必须是归一化的，也就是说波函数的模的平方在整个空间积分为1。
这保证了在任意位置找到电子的概率为1。
2. 连续性：波函数和其一阶导数在整个空间上必须是连续的。
这意味着波函数不能出现不连续的跳跃或奇点。
3. 平方可积：波函数的平方必须可积，也就是说其模的平方在整个空间上的积分是有限的。
这保证了波函数的总概率是有限的。
二、氢原子波函数的形式氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。
一般来说，氢原子波函数可以写成径向波函数和角向波函数的乘积形式。
1. 径向波函数：径向波函数描述了电子与原子核之间的距离关系。
它是一个关于径向坐标的函数，常用的表示形式是利用Laguerre多项式和指数函数来表示。
2. 角向波函数：角向波函数描述了电子在各个方向上的分布情况。
它是一个关于极坐标的函数，常用的表示形式是球谐函数。
将径向波函数和角向波函数的乘积形式代入薛定谔方程，可以得到一系列的能量本征方程和对应的波函数解。
三、氢原子波函数的物理意义氢原子波函数是描述氢原子量子态的工具，它包含了电子的位置和动量信息。
通过对波函数的分析，我们可以得到以下几个重要的物理意义：1. 能级结构：氢原子波函数给出了氢原子中电子的能级结构。
电子的能量由波函数的离散本征能量给出，能量越低表示电子越靠近原子核。
2. 轨道形状：波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
结构化学习题参考答案-周公度-第5版
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1为单位的能量。
解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ--⨯⋅===⨯ 41711 1.49110cm670.810cm νλ--===⨯⨯3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν--==⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hv hv mv =+()1201812341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kgυ------⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦134141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----⎡⎤⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⨯⎣⎦=⨯【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m ·s -1的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。
解：根据关系式：(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----⨯⋅===⨯⨯⋅ 34-11 (2) 9.40310mh p λ-====⨯3411(3) 7.0810mh p λ--====⨯【1.6】对一个运动速度c υ（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：1v vv v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=的结论。
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氢原子基态波函数
氢原子基态波函数是指在量子力学中，用于研究单个原子的基态的一种特殊的解析函数。
它可以用来描述原子内部的分子电子结构与能量，并通过该函数得到原子内部能量分布情况及其能量状态，从而推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
氢原子基态波函数是由量子力学方程求解得到的，它的表达式如下：
Ψ(r) = N * exp(-α * r)
其中，N 是正则化系数，α 是参数，r 是原子的位置。
此外，这个函数通常会有四个参数：n, l, m_l 和
m_s，分别代表原子的主量子数、角量子数、角动量量子数和自旋量子数。
氢原子基态波函数的特点是，它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小。
这种特性使得氢原子基态波函数可以反映出原子核周围电子能量分布的特征：电子能量最大时，函数值最大；电子能量最小时，函数值最小。
氢原子基态波函数可以用来计算各种物理性质，比如原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
此外，它还可以用来计算激发态的能量，从而得到原子的
光谱谱线。
而且，氢原子基态波函数还有两个重要的应用：一是用来计算原子内部的电子结构，二是用来计算原子内部的电子能量分布。
因此，氢原子基态波函数在物理化学等多个科学领域中具有重要的作用。
它不仅可以用来研究单个原子的基态，而且还可以用来推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小，反映出原子核周围电子能量分布的特征。
它的应用非常广泛，可以用来计算各种物理性质，也可以用来计算激发态的能量，为物理化学等科学领域的研究提供了很好的理论支持。