氢原子的波函数
第二节氢原子的波函数
第二节氢原子的波函数氢原子的第二个四分之一氢原子的波函数是所有原子中最简单的原子。
它的原子核外只有一个电子。
移动到原子核外的电子的势能只取决于检查它的吸引力，它的薛定谔？丁格方程可以精确求解。
此外，类氢离子，例如氦离子和锂离子，可以被精确地解决。
2++为了方便地解决这个问题，用直角坐标表示的ψ(x，y，z)应由用球面极坐标表示的ψ(r，θ，φ)代替。
两者之间的关系如图8-3所示:r代表P点与原点之间的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz= r cosθ波函数ψn，l，m(r，θ，φ)和它们相应的氢原子能量列于表8-1图8-3笛卡儿坐标被转换成球面极坐标表8-1氢原子的一些波函数和它们的能量轨道1s ψn，l，m(r，θ，φ) R n，l (r) A1e-Br Y l，m (θ，Phi)能量/j-2.18310-18a1e-Br-2.18310-18/222 sa 2re-Br/2a 2re-Br/2-2。
量子力学借用了玻尔的“原子轨道”的概念，仍然称波函数为“原子轨道”，但是它们的含义是完全不同的。
例如，玻尔认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道在量子力学中，氢原子基态的原子轨道是波函数ψ1s(r，θ，φ) = A1e-br，其中a1和b是常数，这表明ψ1s随着离核r的距离的变化在任何方位角变化，它代表氢核外1s电子的运动状态，但并不意味着1s电子有确定的运动轨道1s电子的能量为-2.18310焦耳氢核外有许多电子激发态，如ψ2S(R，θ，φ)，θ，φ)等。
，相应的能量为-5.45310焦耳-19-18(r，)要求解薛定谔方程的ψ和e，必须满足一定的条件才能使解合理。
因此，在求解过程中必须引入三个量子数n、l和m当这三个参数的值和组合固定时，就确定了波函数。
这三个量子数的极限值及其物理意义如下:主量子数通常用符号n表示。
它可以取任何非零正整数，即1，2，3？n它决定了在最有可能出现在原子核外空间的区域中，电子离原子核的距离，是决定电子能级的主要因素。
第二节氢原子地波函数
第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinger方程可以精确求解。
能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。
为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。
图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道”(atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。
例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。
而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量波函数是原子物理学中重要的概念之一，它用于描述原子或分子系统的量子状态。
在氢原子中，波函数被广泛应用于分析和理解氢原子的性质和行为。
此外，波函数还与角动量密切相关，它提供了有关原子的角动量信息。
在本文中，我们将详细探讨氢原子的波函数以及与之相关的角动量。
1. 波函数简介波函数是量子力学中描述自旋态和位置的函数。
它通常用希腊字母Ψ（Psi）表示，Ψ(r,t)，其中r是位置向量，t是时间。
波函数描述了一个量子系统的全部信息，包括能量、动量、自旋等。
波函数的模的平方，|Ψ(r,t)|²，给出了在给定时刻在某个位置找到该量子系统的概率。
2. 氢原子波函数氢原子是原子物理学中最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
氢原子的波函数可以由薛定谔方程得到，它是描述量子力学体系的基本方程。
氢原子波函数相当复杂，主要由径向部分和角向部分构成。
2.1 径向波函数氢原子的径向波函数，记作R(r)，描述了电子在原子核周围的运动方式。
径向波函数取决于主量子数n、角量子数l和磁量子数m。
主量子数n决定了能级，角量子数l确定了角动量大小，磁量子数m描述了角动量在空间中的方向。
径向波函数展示了电子和原子核之间的相互作用。
2.2 角向波函数氢原子的角向波函数，记作Y(theta, phi)，展示了电子在球坐标系中的分布情况。
角向波函数取决于角量子数l和磁量子数m。
角向波函数是球谐函数的一种特殊形式，它给出了电子在不同方向上的概率分布。
3. 角动量与波函数在原子物理学中，角动量是一个重要的物理量，描述了物体旋转的性质。
角动量分为轨道角动量（L）和自旋角动量（S）两部分。
波函数与角动量之间存在紧密的联系。
3.1 定态波函数与角动量定态波函数是不随时间变化的波函数，描述了量子系统的固有状态。
在氢原子中，定态波函数与角动量之间具有简洁的关系。
根据定态波函数的表达式，能够计算出氢原子的角动量大小和方向。
量子力学中的氢原子波函数
量子力学中的氢原子波函数在量子力学中，氢原子是一个非常重要的研究对象。
其波函数描述了氢原子的量子态，是解决氢原子的薛定谔方程得到的解。
氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到，它描述了氢原子中电子的位置和能量。
在这篇文章中，我们将探讨氢原子波函数的性质以及它在量子力学中的重要性。
一、氢原子波函数的基本性质氢原子波函数是一个复数函数，可以用来描述氢原子中电子的位置和动量分布。
波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
具体来说，氢原子波函数有如下几个基本性质：1. 规范化：波函数必须是归一化的，也就是说波函数的模的平方在整个空间积分为1。
这保证了在任意位置找到电子的概率为1。
2. 连续性：波函数和其一阶导数在整个空间上必须是连续的。
这意味着波函数不能出现不连续的跳跃或奇点。
3. 平方可积：波函数的平方必须可积，也就是说其模的平方在整个空间上的积分是有限的。
这保证了波函数的总概率是有限的。
二、氢原子波函数的形式氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。
一般来说，氢原子波函数可以写成径向波函数和角向波函数的乘积形式。
1. 径向波函数：径向波函数描述了电子与原子核之间的距离关系。
它是一个关于径向坐标的函数，常用的表示形式是利用Laguerre多项式和指数函数来表示。
2. 角向波函数：角向波函数描述了电子在各个方向上的分布情况。
它是一个关于极坐标的函数，常用的表示形式是球谐函数。
将径向波函数和角向波函数的乘积形式代入薛定谔方程，可以得到一系列的能量本征方程和对应的波函数解。
三、氢原子波函数的物理意义氢原子波函数是描述氢原子量子态的工具，它包含了电子的位置和动量信息。
通过对波函数的分析，我们可以得到以下几个重要的物理意义：1. 能级结构：氢原子波函数给出了氢原子中电子的能级结构。
电子的能量由波函数的离散本征能量给出，能量越低表示电子越靠近原子核。
2. 轨道形状：波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
原子物理学——量子力学对氢原子的描述
§3.6 量子力学对氢原子的描述一、氢原子的波函数 1、薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：re V 024πε-=定态薛定谔方程：)()(]42[0222r E r re m ψψπε=-∇- 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：ϕθcos sin r x = ϕθsin sin r y =θcos r z = )(1222r r rr ∂∂∂∂=∇)(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r2222sin 1ϕθ∂∂+r 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222r r r r m ∂∂∂∂- )(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r ψϕθ]sin 12222∂∂+r ψψπεE r e =-024 ),,(ϕθψψr = 2、分离变量(1)．),()(),,(ϕθϕθψY r R r =代入方程，并用),()(/2ϕθY r R r 乘以两边：2202222422)(1r rme r mE dr dR r dr d R πε++ λϕθθθθθ=∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 1[1222Y Y Y λ是一个与ϕθ,,r 无关的常数。
径向方程：0422)(1220222=-++R r R r me R mE dr dR r dr d r λπε 角方程：Y YY λϕθθθθθ-=∂∂+∂∂∂∂222sin 1)(sin sin 1 (2)．)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y代入方程，并用)()(/sin 2ϕθθΦΘ乘以两边：νϕθλθθθθ=∂ΦΦ-=+ΘΘ2221sin )(sin sin d d d d d ν是一个与ϕθ,无关的常数。
0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθνλθθθθd d d d022=Φ+∂Φνϕd 3、、R ΘΦ、三方程的解 (1)．Φ方程的解022=Φ+∂Φνϕd 令 2m =ν 022=Φ+∂Φm d ϕ方程的解为：ϕϕim Ae =Φ)( 波函数单值：)2()(πϕϕ+Φ=Φπϕπϕϕ2)2(im im im im e Ae Ae Ae ==+ 12sin 2cos 2=+=πππm i m e im 3,2,1,0±±±=∴m波函数归一化：12*220220===ΦΦ⎰⎰A d A d πππϕϕ π21=A ϕπϕim e 21)(=Φ 3,2,1,0±±±=m (2)．Θ三方程的解0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθλθθθθm d d d d关联勒让德方程。
氢原子的波函数的原理
氢原子的波函数的原理
氢原子的波函数反映的是电子在氢原子中的量子状态。
氢原子中只有一个质子和一个电子。
根据量子力学理论,电子作为量子微粒,其运动状态可以用波函数来描述。
氢原子电子的波函数具有以下特点:
1. 接受量子力学理论,波函数可以描述微观粒子的量子状态。
2. 氢原子波函数是氢原子量子数的量子力学解,反映电子的能量和角动量。
3. 波函数具有能量量化特征,电子只能占有某些离散能级状态。
4. 波函数中包含电子的概率分布,充分反映不确定性原理。
5. 波函数符合薛定谔方程,表明氢原子电子的物质波性。
6. 波函数决定了氢谱线的产生,说明了电子跃迁的概率。
7. 氢原子波函数奠定了量子力学理论的基础,开创了现代物理学。
综上,氢原子波函数揭示了电子的量子性质,是理解现代物理学的重要基石。
氢原子的px状态,磁量子数为多少
氢原子是一个非常重要的量子系统，它的波函数可以用数学的形式描述，同时在研究原子的性质时也有很高的实用价值。
在氢原子的波函数中，px状态是其中一种状态，它对应着原子的一个特定的角动量量子数。
1. px状态的描述在量子力学中，氢原子的px状态是指原子的波函数在x轴方向上的分布情况。
在三维直角坐标系中，px状态对应着原子波函数在x轴方向上的变化规律。
具体来说，px状态的波函数可以用数学公式描述为ψpx(x, y, z) = NpxHpx(x)e^(-r/na)，其中ψpx表示px状态的波函数，Npx是归一化常数，Hpx(x)是关于位置坐标x的函数，r表示原子的径向位置，a是玻尔半径。
通过这个波函数公式，可以清晰地了解氢原子的px状态在空间中的分布情况。
2. px状态的磁量子数在氢原子波函数中，除了描述位置坐标的部分，还有描述角动量的部分。
而描述角动量的部分可以用一个量子数来表示，这个量子数就是磁量子数。
对于px状态来说，它的磁量子数的取值可以通过简单的计算得到。
根据量子力学的原理，角动量量子数l和磁量子数m的取值范围分别是l=0,1,2,...,n-1，m=-l,-l+1,...,0,...,+l。
对于px状态来说，它的角动量量子数l=1，根据这个情况，可以推算出px状态的磁量子数m的取值范围是m=-1,0,1。
这个结果告诉我们，在px状态下，原子的角动量在x轴方向上的投影只能取这三个特定的值，不能取其他的值。
这个结论对于研究氢原子的性质和特性具有很高的意义。
3. px状态的性质和意义px状态是氢原子波函数的一种特殊形式，它对应着原子在x轴方向上的波函数分布情况。
通过对px状态的研究，可以深入了解氢原子波函数的特性和规律。
px状态的磁量子数的取值范围也是研究原子角动量的一个重要方面。
角动量的取值对于原子的能级结构和光谱特性都有很大的影响，因此对px状态的磁量子数的研究对于理解原子的性质和行为有着重要意义。
氢原子基态波函数
氢原子基态波函数氢原子基态波函数是指在量子力学中，用于研究单个原子的基态的一种特殊的解析函数。
它可以用来描述原子内部的分子电子结构与能量，并通过该函数得到原子内部能量分布情况及其能量状态，从而推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
氢原子基态波函数是由量子力学方程求解得到的，它的表达式如下：Ψ(r) = N * exp(-α * r)其中，N 是正则化系数，α 是参数，r 是原子的位置。
此外，这个函数通常会有四个参数：n, l, m_l 和m_s，分别代表原子的主量子数、角量子数、角动量量子数和自旋量子数。
氢原子基态波函数的特点是，它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小。
这种特性使得氢原子基态波函数可以反映出原子核周围电子能量分布的特征：电子能量最大时，函数值最大；电子能量最小时，函数值最小。
氢原子基态波函数可以用来计算各种物理性质，比如原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
此外，它还可以用来计算激发态的能量，从而得到原子的光谱谱线。
而且，氢原子基态波函数还有两个重要的应用：一是用来计算原子内部的电子结构，二是用来计算原子内部的电子能量分布。
因此，氢原子基态波函数在物理化学等多个科学领域中具有重要的作用。
它不仅可以用来研究单个原子的基态，而且还可以用来推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。
它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小，反映出原子核周围电子能量分布的特征。
它的应用非常广泛，可以用来计算各种物理性质，也可以用来计算激发态的能量，为物理化学等科学领域的研究提供了很好的理论支持。
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第二节氢原子的波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinge r方程可以精确求解。
能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。
为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。
图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。
例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。
而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。
1s电子具有的能量是-2.18×10-18J。
氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45×10-19J。
要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。
这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。
三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下：主量子数(principal quantum number)常用符号n表示。
它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。
它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。
n = 1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。
n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。
所以n也称为电子层数(electron shell number)。
对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式决定。
从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对值愈小）。
轨道角动量量子数(orbital angular momentum quantum number)常用符号l表示。
它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l 可以等于0、1、2、3 … (n–1)，共可取n个数值。
按光谱学的习惯，l = 0时，用符号s表示，l = 1时，用符号p表示，l = 2时，用符号d表示，l = 3时用符号f表示等等。
轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。
如l = 0时，原子轨道呈球形分布；l = 1时，原子轨道呈双球形分布等。
在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。
所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中的电子还可分为若干不同的能级(energy level)或称为亚层(subshell)，当主量子n相同时，轨道角动量量子数l 愈大，能量愈高。
于是有E n s＜E n p＜E n d＜E n f。
对氢原子来说，E n s = E n p = E n d = E n f。
磁量子数(magnetic quantum number)常用m 表示。
它的取值受轨道角动量量子数的限制。
即m 可以等于0、±1、±2，…±l 等整数。
所以，磁量子数共有（2l+1）个数值。
磁量子数决定原子轨道在空间的伸展方向，但它与电子的能量无关。
例如l =1时，磁量子数可以有三个取值，即m = 0、±1，说明p轨道在空间有三种不同的伸展方向，即共有3个p轨道。
但这3个p轨道的能量相同，即能级相同，称为简并或等价轨道。
综上所述，可以看到n、l、m这三个量子数的组合有一定的规律。
例如，n = 1时，l只能等于0，m也只能等于0，三个量子数的组合只有一种，即1、0、0,说明第一电子层只有一个能级，也只有一个轨道，相应的波函数写成ψ1，0，0或写成ψ1s 。
n = 2时，l可以等于0和1，所以第二电子层共有两个能级。
当n = 2、l = 0时，m只能等于0；而当n = 2、l = 1时，m可以等于0、±1。
它们的量子数组合共有四种，即2，0，0(ψ2s)；2，1，0()；2，1，±1(，)。
这也说明第二电子层共有4个轨道，其中2，0，0的组合是一个能级，其余三种组合属第二个较高的能级。
由此类推，每个电子层的轨道总数应为n2。
参见表8-2表8-2 量子数组合和轨道数主量子数n 角量子数l 磁量子数m 波函数ψ同一电子层的轨道数（n2）1 0 0 Ψ1s 12 0 0 Ψ2s4 10 Ψ2Pz±1 Ψ2Px，Ψ2Py3 0 0 Ψ3s9 10 Ψ3Pz±1 Ψ3Px，Ψ3Py0 Ψ3d z22±1 Ψ3d xz，Ψ3d yz±2 Ψ3d xy，Ψ3dx2-y2上述三个量子数的合理组合决定了一个原子轨道。
但要描述电子的运动状态还需要有第四个量子数—自旋角动量量子数(spin angular momentum quantum number) ，用符号s i表示。
它不是通过解薛定谔方程得来的，所以与n、l、m无关。
电子本身还有自旋运动。
自旋运动有两种相反的方向，电子自旋运动示意图分别用自旋角动量量子数+1/2和-1/2两个数值表示，也可用正反两个箭头符号↑和↓表示。
两个电子的自旋方向相同时称为平行自旋，反之称为反平行自旋。
量子力学建立之后也肯定了上述观点。
所以一共要有四个量子数，即n、l、m、s i，才能表示一个电子的运动状态。
实例分析：已知基态Na原子的价电子处于最外层3s亚层，试用n、l、m、s i量子数来描述它的运动状态。
解最外层3s亚层的n= 3、l = 0、m= 0，所以它的运动状态可表示为3，0，0，+1/2（或-1/2）。
氢原子核外只有一个电子，若固定原子核，电子的位置虽不确定，但它具有统计规律性。
前已述及，∣ψ∣2表示电子在核外空间某点(r,θ，φ)出现的概率密度，为了形象地表示基态氢原子核外空间各处电子出现的概率密度大小的分布情况，将空间各处的∣ψ∣2值的大小用疏密程度不同的小黑点表示出来。
这种在单位体积内黑点数与∣ψ∣2成正比的图形称为电子云(electron cloud)。
图8-4是氢原子∣ψ1s∣2对r作图和1s电子云。
从图上看出，离核越近，电子云越密集，即电子出现的概率密度愈大；离核愈远，电子云愈稀疏，电子出现的概率密度愈小。
注意，不要把电子云中的一个个小黑点看成一个个电子，因为氢原子核外只有一个电子。
还要注意，这里讲的是概率密度，不是概率。
以后我们往往用电子云来做概率密度的同义词。
为了加深对波函数意义的理解，我们来研究它的图象，以便得到较直观的效果。
但波函数是含有r、θ、φ三个自变量的函数，作二维或三维图困难，于是将波函数写出下列一般形式：ψn，l，m(r,θ，φ) = R n，l(r)·Y l，m(θ，φ)，公式的意义为：波函数可以写成两个函数即R n，l (r)函数和Y l，m(θ，φ)函数的乘积。
这个R n，ll(r)函数又称为波函数的径向部分或径向波函数(radial wave function)，它是离核距离r的函数，只与n和l两个量子数有关。
Y l，m(θ，φ)函数又称为波函数的角度部分或角度波函数(angular wave function)，它是方位角θ和φ的函数，只与l和m两个量子数有关。
这两个函数分别含有一个和两个自变量，作图没有困难。
作图以后，可以从波函数的径向和角度两个侧面去观察电子的运动状态。
虽然，每一部分并不能代表完全的波函数，但能说明许多问题。
前面表8-1已经列出了解薛定谔方程获得的氢原子的基态和一部分激发态的波函数及其相应的R n，l(r)函数、Y l，m(θ，φ)函数。
（一）氢原子轨道的角度分布图氢原子轨道的角度分布图又称为Y函数图s 轨道角度分布图示意图如图8-4。
Y l，m(θ，φ)值随方位角改变而变化的情况如图8-5，图8-6。
由于角度波函数只与轨道角动量量子数和磁量子数有关，而与主量子数无关，只要l、m相同，即使n不同，它们的角度分布图都是一样的。
Y Px的轨道角度分布图p轨道角度分布图示意图表示Y值形成的两个波瓣是沿x轴的方向伸展的，而在yz平面上的Y值为零，这个平面称为节面(nodal plane),即函数值为零的平面。
据此可以类推符号为Y Py、Y Pz的轨道角度分布图的含义。
d轨道角度分布图符号为轨道角度分布图表示Y的波瓣沿xy轴夹角的方向伸展，而在yz平面和xz平面上的Y 值为零，所以，共有两个节面。
原子轨道角度分布图是它们的角度波函数通过计算求值作图得到的，例如，据此可以类推和的轨道角度分布图的含义。
至于符号为的轨道角度分布图则表示Y沿z轴伸展，xy平面还有一个较小环形分布。
符号为的轨道角度分布图表示Y沿x轴和y轴伸展，也有两个节面。
s轨道的Y s函数等于= 0.282，说明在任何方位角其值均为相同的常数，所以s 轨道的角度分布图为一球面如图8-5所示。
又如p z轨道的Y Pz函数等于，将各种不同的θ角代入这个函数，可得如下结果：θ0°30°60°90°120°150°180°cosθ10.8660.50-0.5-0.866-1Y Pz0.4890.4230.2440-0.244-0.423-0.489从原点出发，引出不同θ值时的射线，在射线截取长度为对应的Y Pz值的点，连接这些射线上的点，并将所得图形绕z轴旋转360°，便得到双球面图形。