基态波函数的获取
《量子力学教程》作业题及答案--2017-2018第一学期
1、 求 一 维 线 性 谐 振 子 处 在 第 一 激 发 态 时 概 率 最 大 的 位 置 。
解：ψ 1(x ) =（
2α
π
）αxe − α
2
x2 /2
w(x ) = ψ 1(x ) =
2
2α 3
π
x 2e − α
2
x2
2 2 2 2 ∂w(x ) = 0 得 2xe − α x − 2α 2xx 2e − α x = 0 ∂x
E n x n y = E n x + E n y = (n x + 2n y + )ω
3） 对于基态， n x ,n y = 0 ， E 00 =
3 ω 是非简并的； 2
对于第一激发态，
5 n x = 1 ， E 10 = ω 是非简并的； 2 n y = 0 7 n x = 0 n x = 2 ， ， E 01 = E 20 = ω 能级是二重简并的； 2 = 1 = 0 n n y y 9 n x = 3 nx = 1 ， ，E E = = ω 是二重简并的。 30 11 n = 1 2 = 0 n y y
x < 0 0 ≤ x ≤ a 中， x > a
V0
4
的本征态，试确定此势阱的宽度 a 。
解：对于 E = −
V0
4
< 0 的情况，三个区域中的波函数分别为
ψ 1 ( x ) = 0 ψ 2 ( x ) = A sin kx ψ ( x ) = B exp(− αx ) 3
其中，
k=
n
则只有量子数 n = 1,3,5, 时， H n (0) = 0 （ n = 1,3,5, ） 则能级为 E n = ( n + 1 2 )ω
基于神经网络量子态的横场Ising模型研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
北京工业大学理学硕士学位论文
4.2 平均磁矩和磁敏感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 关联函数与关联⻓度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 纠缠熵的测量 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 结论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 攻读硕士期间发表的论文 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49 致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
摘要
摘要
我们使用神经⺴络量子态表示一维与二维横场 Ising 模型的波函数，这样的波函数 相当于一种从自旋位形空间到由⺴络参数序列决定的复数域的映射，也就是说当我们 给波函数输入一种自旋位形时，它就会反馈一个复数。我们使用无监督机器学习方法 去寻找基态波函数，具体是，我们采用随机重构 (SR) 方法不断调整波函数中的⺴络参 数，使得这个波函数不断逼近基态。同时，我们还从最小作用量原理和信息几何的角度 为 SR 方法提供了一种理解方式。在找到基态波函数之后，我们根据它并且使用重要性 抽样方法计算了几种关键的热力学量，它们包括，每个格点的平均能量、两点关联函数 和关联⻓度、平均磁矩和磁敏感度。我们探究了这些物理量与外加横场强度的关系，我 们得到的结果与已有文献的结果高度一致。特别地，纠缠熵的计算不同于这些物理量， 因为在其计算过程中会面临对密度矩阵 ρ 的操作，以致无法使用简单的重要性抽样方 法计算他们的统计平均值。我们提供了一种可行的用于计算纠缠熵的近似方法，并且 其一维结果与已有解析结果高度一致，其二维结果也与已有的几种其它数值结果给出 了相近的量子相变的位置。另外，我们还讨论了⺴络参数 α 对计算精度的影响，结果 显示出 α 的值对计算精度的影响很小。 关键词：横场 Ising 模型，神经⺴络量子态，随机重构方法，纠缠熵
求基态的一级近似能量与零级近似波函数
E (0) n
E (0) m
（14）
En
En(0)
H nn
n
(0) n
m
| Hnm |2
m En(0) Em(0)
（15）
H m n En(0) Em(0)
(0) m
4 说明：
（1）非简并仅限于计算能量修正的那个能级 En(0)，其它
能级可以简并，也可以非简并。
重点讨论微扰论；变分法特别适用于研究体系的基态。 两种方法配合使用可以得出精确度较高的结果。
微扰论简介
• 无微扰时，系统处于定态，则
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
• 加微扰后，Hˆ Hˆ (0) Hˆ 根据Hˆ 是否显含时间分为:
（1）Hˆ 不显含时间 定态微扰
初态 n(（0) 定态）
Hˆ Hˆ (0) Hˆ | Hˆ (0) || Hˆ |
（2）
其中 （1）Hˆ (0) 的本征值
E (0) n
和本征函数
(0) n
是可以精确求
解的，或已有确定的结果；
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
（3）
（2）Hˆ 很小，称为加在 Hˆ (0)上的微扰。有时为了表
达这种微扰的数量级，常引入一个很小参数 （ 0 1 ），将微扰写成 Hˆ 。
（确切含义后面说明）
以分离谱为例，分两种情况对定态微扰问题进行讨论
§5.1 非简并定态微扰论
1 微扰对非简并态的影响
非简并态：Hˆ
(0)的本征值
E
(0与) 本征函数
n
n(0)一一对应
加上微扰 Hˆ 时，Hˆ (0) Hˆ (0) Hˆ
量子力学基础简答题(经典)
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
双电子原子体系的基态能量和波函数
双电子原子体系的基态能量和波函数关键词：多电子原子；基态能量；变分法；波函数摘 要：文章的新内在近似求解双电子原子体系的Schrodinger 方程时，忽略电子之间的相互作用，用分离变量法得出体系哈密顿量的基态本征函数是两个类氢原子基态波函数的乘积，选取含有四个参数指数形式函数的线性组合所构成的试探性径向波函数，推导出含有四个参数双电子原子基态能量表达式，对其进行变分计算，确定四个参数，求得体系的基态能量和相应的波函数，计算结果与实验值相当接近。
Energy and wave function of the ground state for two-electron atomicsystemsKey words : Two-electron atom;Ground state; Variational method;Wave functionAbstract :Approximately solving Schrodinger equation of two-electron atoms system ，the interaction betweenelectrons was neglected. Based on the method of separation of variables,the ground state eigenfunction of the Hamiltonian of the system proved to be the product of two kinds of ground state wave function of hydrogen atom.The exploratory radial wave function was composed of linear combination of containing four selected parameters exponential function,which was used to deduce the expression of the ground state energy by means of a variation- perturbation. The ground state energy and the corresponding wave function were obtained,and the calculation results were in better agreement with the experiment data.1引 言：在量子力学中我们会遇到许多有相互作用的多粒子体系问题，这些多体问题是很难严格求解的，只能用近似方法求解，在这些近似方法中实用得最普遍的是微扰论和变分法。
一维谐振子基态和激发态的波函数
标题：深度探讨一维谐振子基态和激发态的波函数一、引言一维谐振子是量子力学中的经典问题之一，它的波函数描述了粒子在谐振势场中的运动状态。
在本文中，我们将深入探讨一维谐振子的基态和激发态的波函数，分析其数学形式和物理意义，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
二、基态的波函数让我们来分析一维谐振子的基态波函数。
基态对应能量最低的状态，其波函数通常用Ψ₁(x)来表示。
在一维谐振子中，基态波函数可以用简单的数学形式进行描述：Ψ₁(x) = (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx²/2ħ)其中，m是粒子的质量，ω是振子的角频率，ħ是约化普朗克常数。
这个波函数描述了基态下粒子在空间中的分布情况，通过对波函数的形式和特性进行分析，我们可以了解到粒子在基态下的基本运动状态和概率分布规律。
在基态下，粒子处于能量最低的状态，波函数的峰值对应着粒子最有可能出现的位置。
基态波函数的特性还可以通过数学手段进行分析，例如计算平均位置、动量期望值等，这些都能帮助我们更好地理解基态下粒子的运动规律和物理性质。
三、激发态的波函数接下来，我们将讨论一维谐振子的激发态波函数。
激发态对应能量高于基态的状态，其波函数通常用Ψ₂(x)来表示。
在一维谐振子中，激发态波函数的数学形式相对复杂一些，但通过分析和理解其特性，我们同样可以获得丰富的物理信息。
激发态波函数通常包含更多的波峰和波谷，描述了粒子在激发状态下的空间分布情况。
通过比较基态和激发态波函数的形式和特性，我们可以发现它们之间的微妙差别，并据此推断粒子在不同能级状态下的运动规律和行为。
激发态波函数的数学性质也具有重要意义，例如其振幅、波长、频率等特征参数都可以提供宝贵的信息。
通过对激发态波函数进行分析，我们可以更全面地理解粒子在谐振势场中的非基态运动状态，为进一步研究和应用提供重要的参考依据。
四、总结与展望通过本文的深度探讨，我们对一维谐振子的基态和激发态波函数有了全面的理解。
原子波函数
原子波函数
原子波函数是描述原子中电子的运动状态的一种数学方法。
在量子力学中，波函数是一个与空间坐标和时间有关的函数，它可以描述一个物体的运动状态。
原子波函数可以分为两类：基态波函数和激发态波函数。
基态波函数是描述原子中电子在最低能量状态下的波函数，而激发态波函数则是描述电子在能量更高的状态下的波函数。
原子波函数的形式通常采用Schrödinger方程求解得到。
Schrödinger 方程是描述量子体系的基本方程，它可以求解出波函数及其相应的能量值。
原子波函数可以通过实验与数值方法进行分析和研究。
科学家通过实验发现，原子波函数的形态和电子在原子中的云状分布有关。
这些云状分布的特点被称为电子轨道，这是描述电子在原子中运动状态的一种解释。
原子波函数也可以帮助科学家深入研究原子中的化学反应和结构。
化学反应的发生通常是由于电子的交换和共享导致的。
因此，如果我们能够了解原子中电子的运动状态，就能更好的理解化学反应的发生机制。
总的来说，原子波函数是量子力学中非常重要的一个概念。
它帮助我们了解原子的结构和运动状态，为我们深入研究物质的微观世界提供了重要的理论基础。
二维谐振子能级和波函数
二维谐振子能级和波函数二维谐振子是指一个在平面中以圆形轨道运动的粒子，它的运动满足谐振子方程。
其能级和波函数可以通过二维谐振子的解析表达式来求解。
对于一个二维谐振子，它的谐振子方程可以写成如下的形式：(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partialy^2}+\frac{m\omega^2}{\hbar}(x^2+y^2))\psi(x,y)=E\psi(x,y)其中，\psi(x,y)是粒子的波函数，E表示能量，m是粒子的质量，\omega是频率。
为了方便求解，可以引入无量纲的坐标和能量，将谐振子方程化为如下的形式：(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}+(\xi^2+\eta^2))\Psi(\xi,\eta)=2\epsilon\Psi(\xi,\eta)其中，\Psi(\xi,\eta)表示无量纲的波函数，\epsilon表示无量纲的能量。
当引入对称性变换后，可以得到二维谐振子的基态波函数为：\Psi_{0,0}(\xi,\eta)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\xi^2+\eta^2}{2}}其对应的能量为：\epsilon_{0,0}=1除了基态波函数之外，还有一系列的激发态波函数和能级。
其中，二维谐振子的波函数具有关于原点的旋转对称性，因此其激发态波函数可以表示为径向部分和角向部分的乘积形式。
径向部分可以表示为测地线的勒让德多项式，而角向部分则可以表示为复指数函数的乘积。
最终，可以得到二维谐振子的激发态波函数为：\Psi_{n,m}(\xi,\eta)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!\pi}}H_n(\xi)H_m(\eta)e^{-\frac{\xi^2+\eta^2}{2}}e^{im\theta}其中，H_n(\xi)和H_m(\eta)分别表示勒让德多项式的n阶和m阶，\theta表示极角。
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基态波函数的获取
前面提到的一些例子中，系统的基态波函数都可以通过解析方式得到并简单地表示出来。
但是这些只是一些特殊的例子。
一般来说，一个强关联模型的基态波函数是不能很容易地通过解析方式得到的，比如而之前介绍的处理张量的方法都是在已知具体张量数值时才能使用的。
这就要求我们找到一些数值方法来得到这些具体数值。
这一部分将介绍两种常见的用于得到基态波函数的方法，分别是变分法和虚时间演化方法[1]40-46。
1.1变分法得到基态波函数
用变分法得到基态波函数的基础是基态波函数是系统所能处于的能量最低的状态。
也就是说，设0E 是系统的基态能量，那么对系统任意的波函数必定满足
0H E ψψψψ
≥ （29） 当取基态波函数的时候取等号。
因此，用MPS 或PEPS 描述系统时（关联指标取某一确定的维数），我们可以用改变指标具体数值的方法改变波函数，使能量达到最低，此时就得到了基态波函数。
为此，我们可以先取一个初始状态。
也就是说，先对所有的矩阵元设定一个初值。
令波函数取能量最小值等价于使
()min family H ψψψλψψ∈- （30）
其中family 指MPS 或PEPS 的波函数。
同时对所有的张量进行变分是十分困难的，因此可以用“扫描”的方法，逐个对每一个张量进行变分，在对某一个张量变分时，保持其它张量不变。
比如，对某一张量A 变分时，上式可以写成 ()††min eff A
A H A A NA λ- （31） 其中eff H 是对A 的有效哈密顿矩阵，N 是一个正规矩阵，它们都是由A 以外的“环境张量”决定的，可以通过收缩环境张量得到。
收缩环境张量的方法可以采用之前介绍的密度矩阵重正化群或张量重正化群方法完成。
当取变分极值时，有
()†††0eff A H A A NA A λ∂-=∂,也就是
eff H A NA λ= （32） 这样对A 的变分就变成了求解上面的线性方程。
在eff H 和N 都得到的时候，通过方程是很容易得到满足要求的A 。
然后通过同样的步骤对其它的张量分别进行变分，完成一次“扫描”。
不断进行这样的“扫描”，直到所有的张量达到收敛，就可以得到系统的基态波函数。
需要注意的是，虽然这个方法对于任意选取的初始状态都有效，当我们选择的初态与系统的基态很接近时，就可以大大减小张量达到收敛所需要的扫描次数。
因此为了计算的效率，应当尽量选择与基态接近的状态作为初始状态。
同时，收敛环境张量时，若是MPS 就可以精确得到结果，而PEPS 只能近似得到结果。
1.2虚时间演化法
虚时间演化法是另一类得到基态波函数的方法。
它的主要思想是将一个任意的波函数进行虚时间演化，并归一化，那么只要这个波函数与基态波函数有重叠部分，最后就会收敛到基态。
即：
()()()00lim H e E ττψψτψτ-→∞= （33） 其中()()0H e τψτψ-=。
可以看出，将初态看做能量的各本征态的叠加，那么上式的分子部分()0H e τψ-的高能状态将更快地衰减，而基态的衰减是最慢的，再通过归一化的过程，当时间趋于无穷时，结果就会收敛到基态。
具体实现这样的虚时间演化时，我们将时间演化分成很多的无穷小时间演化，也就是每一次演化中使0τ→，或者每一次的演化可以写成
()()0,0H e δτψδτψδ-=→。
假设相互作用可以写成最近邻形式的，即∑><=
j i j i h H ,.，那么时间演化算符可以写成)(2,,δτδτδτo e e j i h H j i +=∏><-- 可以定义演化算符,i j h ij g e δτ-≡，时间演化就可以表示成用演化算符依次作用在波函数上的形式。
从初态开始反复进行这样的极短时间的虚时间演化，直到波函数收敛到能量最低的状态，就可以得到基态波函数。
这样，我们已经有了处理量子多体系统的一般方法。
然而，这样的程序的稳定性依然是一个必须考虑的问题。
上面的方法在实际运用中还存在一些问题。
比如，上面用到的正规矩阵N 是一个厄密矩阵，但是一般只能近似得到，且存在非常接近0的本征值，因此在用计算机计算时常常会得到负值的本征值。
解决这个问题的方法一般有：
1．当张量矩阵不存在闭合的“圈”时（如MPS ），总是可以找到一种张量
变换形式使得N 为一个单位矩阵。
这实际上就是之前提到过的张量网络的正则形式。
在这个形式下，张量网络的计算会十分方便。
2.当张量网络存在闭合的“圈”时，如对PEPS ，我们可以给N 加上一个无穷小量，也就是用N I ε+代替N ，其中0ε→。
或者可以将近似得到的正规矩阵N 尽可能地“厄密化”，将N 用它本身和它的转置共轭之和代替，以修正计算
时产生的误差，也就是用†()/2N N N '=+代替N 进行下一步计算，新的矩阵是
一个严格的厄密矩阵。
这样做的好处是新的矩阵与原来的矩阵的区别足够小，而又避免了误差导致的负本征值的问题。