等比数列知识点并附例题及解析

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专题02 高中数学等比数列必备知识点与考点突破(解析版)

专题02 等比数列必备知识点与考点突破【必备知识点】◆知识点1:等比数列1.等比数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0)q ≠.2.等比数列的判定(1)1n na q a +=(定义法); (2)2110nn n a a a -+=≠(中项法) (3) kn bn a p q +=⋅ (通项法)； (4)()1n n S A q =-(和式法).3.等比数列通项公式11n n a a q -=⋅或n m n m a a q -=⋅例:已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】 ∵121nn n a a a +=+， ∵111111222n n n n a a a a ++==⋅+， 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列；∵1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C例:已知等比数列{n a }中，满足11a =，2q，则（）A ．数列{2n a }是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{n a }中，102030,,S S S 仍成等比数列【答案】AC 【解析】由题意得：12n na ，所以2122n n a -=，则()2122321242n n n n a a ---==，所以数列{2n a }是等比数列，A 正确； 112nn a -=，所以121121122n n n n a a ---==，且111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，B 错误；122log log 21n n a n -==-，所以()221log log 121n n a a n n --=---=，C 正确；10203010203010203012121221,21,21121212S S S ---==-=-==----，因为2030102021212121--≠--，故数列{n a }中，102030,,S S S 不成等比数列，D 错误. 故选：AC◆知识点2:等比数列的性质设{}n a 为等比数列,公比为q ,则(1)若*,,,,m n p q m n p q +=+∈N ,则m n p q a a a a =.(2)若()*,,,,m n p m n p ∈N成等差数列,则,,mn p aa a 成等比数列.(3)数列{}n a λ(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列;数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列; 数列{}n a 是公比为|q|的等比数列;若数列{}n b 是公比为q '的等比数列,则数列{}n n a b ⋅是公比为q q '⋅的等比数列.(4)在数列{}n a 中,每隔()*k k ∈N 项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 1k q +.(5)在数列{}n a 中,连续相邻k 项的和(或积)构成公比为kq (或2k q )的等比数列.(6)若数列{}n a 是各项都为正数的等比数列,则数列{}log (0c n a c >且1)c ≠是公差为log c q 的等差数列. (7)等比数列{}n a 的连续m 项的积构成的数列: 222,,,m mm m mT T T T T ,仍为等比数列.例:在正项等比数列{}n a 中，35566829a a a a a a ++=，则47a a +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】在等比数列{}n a 中，22235566844774722()a a a a a a a a a a a a ++=++=+，于是得247()9a a +=，而0(N )n a n *>∈，所以473a a +=.故选：C例:已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差等列B ．数列{}2log n a 是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．数列{}2log n a 是递增数列【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则111121--===n n n n a a a q a ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A 错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n n a -=。

等比数列知识点归纳及总结公式

等比数列知识点归纳及总结公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的定义是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项与一个固定的非零常数的乘积。

在学习等比数列时，我们需要了解其定义、性质、求和公式等相关知识点。

本文将对等比数列的常见知识点进行归纳总结，并提供相应的公式。

一、等比数列的定义等比数列可以通过以下定义来进行理解：在数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 中，若对于任意的正整数 $n$ ，都有$\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=r$ 成立（常数 $r$ 称为等比数列的公比），则称这个数列为等比数列。

通常我们用 $a_1$ 表示等比数列的首项。

二、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：等比数列的公比 $r$ 与首项 $a_1$ 之间存在以下关系：$a_2=a_1 \cdot r$，$a_3=a_2 \cdot r=a_1 \cdot r^2$，以此类推，可得第 $n$ 项为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。

2. 通项公式：根据等比数列的性质1，可推导出等比数列的通项公式为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。

3. 首项与公比的关系：若已知等比数列的首项 $a_1$ 和第 $n$ 项$a_n$，则公比 $r$ 可以通过 $r=\sqrt[n-1]{\frac{{a_n}}{{a_1}}}$ 来求解。

4. 等比数列的倒数列：等比数列的倒数列也是一个等比数列，其公比为原数列公比的倒数。

即若 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 是一个等比数列，且公比为 $r$，则其倒数列为$\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...,\frac{1}{a_n}$，且其公比为 $\frac{1}{r}$。

5. 前 $n$ 项和公式：等比数列的前 $n$ 项和可以通过以下公式来求解：$S_n=a_1\frac{{1-r^n}}{{1-r}}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。

等比数列通项公式例题及答案

§2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n ≥2)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋.3．等比数列各项均不能为0. 知识点二等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N ＋，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n -1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a 1，a 2，a 3，…，a n ，….解 (1)记数列为{a n }，显然a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n -1，…. ∵a n a n －1＝3n -13n -2＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n }，显然a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…， ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列，且公比为a . 反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④答案 C解析 ①②显然是等比数列；由于x 可能为0，③不是； a 不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .即a n ＝2n －1. 反思感悟等比数列的判定方法(1)定义法：a na n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n -1，∴a n ＝n －2·3n -1. 题型二等比数列基本量的计算例3 在等比数列{a n }中． (1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝4，a 1q 4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n -1＝⎝⎛⎭⎫－12n -4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n -4＝16·⎝⎛⎭⎫12n -4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n -4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.反思感悟已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项．跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得a 6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n -1＝5×2n -1，n ∈N ＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解方法一设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？解设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n -1，2n -1＝32，所以n ＝6. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607 D ．159 答案 C解析 ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n -1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．45和80的等比中项为________．答案－60或60解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴∴Biblioteka 22（I）：是以为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即
④－③，得
即
是等差数列。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知为等比数列，，求的通项式。
21、数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
22、已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（A）（B）（C）（D）不确定
4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（）
（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列的前项和为 , ,则此数列的通项公式为（）
2°.若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若是等比数列，
则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.
⑥若是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

[必修五]·[等比数列] · [提高] · [知识点+典型例题]·[学生版]

等比数列知识讲解一、等比数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．即数列{}n a 的递推公式为1n na q a +=（常数）（*N n ∈）．【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0；（2）从第二项开始，因此首项没有前一项；（3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等；（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．二、等比数列的通项公式及推导1.等比数列的通项公式为：1*1n n a a q n N -=∈，．2.等比数列的公式的推导：累乘法3.等比数列通项公式的推导：2132121n n nn a q a a q a a q a a q a ---====，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等差数列的通项公式易知：n m m n a a q -=．三、等比中项定义：如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．四、等比数列的常用性质1.公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ；2.若*(,,,)p q m n m n p q N +=+∈，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2m p q a a a =⋅；3.等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为mq ．4.若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列；5.若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列；6.101a q >⎧⎨>⎩或{}1001n a a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}101n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减；{}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．五、等比数列的前n 项和及推导过程1.等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)nn n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立；当1q =时，1n S na =．方法二：由前n 项定义知211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：n qS =231111n a q a q a q a q ++++两式相减得： 11(1)nn q S a a q -=-，以下讨论同法一．注：方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{},{}nn n na ab b ，数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．六、等比数列前n 项和的性质1.公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，认为等比数列，其公比为mq （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，为等比数列，公比为mq ．2.对于项数为*2()k k N ∈的等比数列，有=S q S 偶奇．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•柳州一模）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．今共有粮98石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知乙分得28石，则“衰分比”为（）A．B．2 C．或2 D．或2．（2018•开封一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．23．（2018•内江三模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a4=4a3a7，则a5+a7的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．4．（2017秋•浦东新区期末）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=1，a3=4，则此数列的前n项和等于（）A．2n+1 B．2n﹣1 C．（4n﹣1）D．（4n+1）5．（2017秋•昌平区期末）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为（）A．B．C．D．6．（2017•钦州二模）已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．117．（2017•河南模拟）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是（）A．a1008＞a1009B．a2016＜b2016C．∀n∈N*，1＜n＜2017，a n＞b n D．∃n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n 8．（2017•赤峰模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=1，a1+a3+a5=21，则a2+a4+a6=（）A．﹣42 B．84 C．42 D．1689．（2016秋•安庆期末）设S n是等比数列{a n}的前n项和，公比q＞0，则S n+1a n 与S n a n+1的大小关系是（）A．S n+1a n＞S n a n+1B．S n+1a n＜S n a n+1C．S n+1a n≥S n a n+1D．S n+1a n≤S n a n+110．（2016秋•南涧县期末）设等比函数{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）11．（2018•南充模拟）已知等比数列{a n}中，a2=4，a6a7=16a9，则a5= 12．（2018•杭州二模）设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4=80，S2=8，则公比q=，a5=．13．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}是正项等比数列，满足log2a n+1=1+log2a n （n∈N*），且a1+a2+a3+a4+a5=2，则公比q=；log2（a51+a52+a53+a54+a55）=．14．（2018•榆林四模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且=，则=．三．解答题（共1小题）15．（2018•广西二模）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和S n，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S4，S6，S n成等比数列，求n及此等比数列的公比．。

(完整版)等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点.docx

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列： 1° .定义：若数列 { a n }满足 a n 1 a nd(常数 ), 则{ a n } 称等差数列；2° .通项公式： a na 1 (n 1)da k(n k )d;3° .前 n 项和公式：公式： S nn(a 1a n )n(n1)2na 1d.2② 等比数列： 1 ° . 定义若数列 { a n } 满足 an 1q （常数），则 { a n } 称等比数列； 2 ° . 通项公式：a na n a 1q n 1a k qn k ; 3° .前 n 项和公式： S na 1 a n qa 1 (1 q n )1), 当 q=1 时 S n na 1 .1 q1 ( qq2．简单性质：①首尾项性质：设数列 { a n } : a 1 , a 2 , a 3 , ,a n ,1° .若 { a n } 是等差数列，则 a 1a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ;2° .若 { a n } 是等比数列，则 a 1 a n a 2 a n 1a 3 a n 2.②中项及性质：1° .设 a ，A ， b 成等差数列，则 A 称 a 、 b 的等差中项，且Aa b ;2 2° .设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a 、 b 的等比中项，且Gab.③设 p 、 q 、 r 、 s 为正整数，且p q rs,1° . 若 { a n } 是等差数列，则 a p a q a r a s ;2° . 若 { a n } 是等比数列，则 a p a q a r a s ;④顺次 n 项和性质：n2n3n1° .若 { a n } 是公差为 d 的等差数列，则a k ,a k ,a k 组成公差为 n 2d 的等差数列；k 1 k n 1 k 2n 1n2 n3 n2° . 若 { a n } 是公差为 q 的等比数列，则a k ,a k ,a k 组成公差为 q n 的等比数列 .（注意：当 q=－ 1， n 为k 1k n1k 2 n 1偶数时这个结论不成立）⑤若 { a n } 是等比数列，⑥若 { a n } 是公差为 d 的等差数列 ,1° .若 n 为奇数，则 S nna 中且S 奇 S偶 a 中 (注 : a 中指中项 ,即a 中a n 1 , 而 S 奇、 S 偶指所有奇数项、所有偶2数项的和）；2° .若 n 为偶数，则 S 偶S 奇nd .2（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d ≠ 0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 a n 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 n 2=an+b;②公差 d ≠0 S =an +bn;③公比 q ≠ 1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“S n =a(1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题 .3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）” ② 三数成等比数列，可设三数为 “ a,aq,aq 2( 或 a， a,aq) ” ③ 四数成等差数列，可设四数为q“ a, a m, a 2m, a3m(或 a 3m, a m, a m,a 3m); ” ④ 四数成等比数列，可设四数为“ a, aq, aq 2, aq3(或a , a, aq, aq 3 ), ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.q 3 q[ 例 1]解答下述问题：1 1 1（Ⅰ）已知 , , 成等差数列，求证：（ 1）bc , c a ,a b成等差数列；a b c （ 2） ab , b, c b成等比数列 .2 2 2[ 解析 ] 该问题应该选择“中项”的知识解决，1 1 2a c 22ac b(a①c),a cb ac ba 2②c 2(1)b c ab bc c 2 ab b(a c) a 2acacac2(a c)2 2( a c) .b(a c)bb c , c a ,a b成等差数列 ;a b cb 2(2)( ab)(c b )acb(ac) ( b)2 ,2 2242a b , b , cb成等比数列 .2 2 2[ 评析 ] 判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数① 1024，所有偶数项的乘积为n 为奇数，且所有奇数项的乘积为[ 解析 ] 设公比为 q,a 1a 3a 5 a n 1024 2a 2a 4an 1128 42n 1a 1 q 24 2(1)3535而 a 1a 2 a 3a n1024128 22 2a 1 q 1 23( n 1) 2 2n1 35535(a 1 q 2) n 2 2 , 将(1)代入得 (2 2 ) n2 2 ,5n35,得 n7.22（ Ⅲ ）等差数列 { a n } 中，公差 d ≠ 0 ，在此数列中依次取出部分项组成的数列：a k , a k , , a k 恰为等比数列 , 其中 k 1 1, k 2 5, k 317,12n求数列 { k n }的前 n 项和 .[ 解析 ]a , a , a 成等比数列 , a2 a 1a ,1517517(a 1 4d )2 a 1 (a 1 16d ) d (a 1 2d )d0, a 12d,数列{ a k }的公比 qa 5 a 1 4d3,a 1a 1nak na 1 3n 1 2d 3n 1① 而a k na 1(k n 1)d 2d ( k n 1)d ②由 ①，② 得 k n 2 3n 11,{ k n }的前 n 项和 S n23n 1nn 1. 3n 31[ 评析 ] 例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功 .[ 例 3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数 .[ 解析 ] 设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为 a －d, a, a+d ，则有(ad )(a d 32) a 2 d 232d 32a 0(a4)2 (ad)(ad )8a 16 d 23d 2 32d 640, d 8或 d8, 得 a 10或26,39原三数为 2,10,50或 2, 26 , 338 .9 9 9（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[ 解析 ] 设此四数为 a 15, a5, a 5, a 15( a 15) ,(a 152 )(a 5) 2(a5) 2(a15) 2(2m) 2 (m N )4a 25004m2(m a)(m a) 125,125 1 125 525,m a与m a均为正整数 ,且m a m a,m a 1m a2m a 125m a25解得 a 62或a 12(不合 ),所求四数为47， 57，67， 77[ 评析 ] 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法 .二、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（ B ）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D ）不存在2.、在等差数列a n中， a1 4 ,且 a1, a5, a13成等比数列，则a n的通项公式为（）（A ）a n3n 1（B）a n n3（C）a n3n1或a n4（D ）a n n3或a n 43、已知a,b,c成等比数列，且x, y 分别为a与 b 、 b 与c的等差中项，则a cx 的值为（）y（ A ）1（ B ）2（C）2（ D）不确定24、互不相等的三个正数a,b, c成等差数列，x是 a,b 的等比中项，y是 b,c 的等比中项，那么x2， b2， y 2三个数（）（ A ）成等差数列不成等比数列（ B ）成等比数列不成等差数列（ C）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列a n的前 n 项和为 S n, S2 n 14n22n,则此数列的通项公式为（）（ A ）a n2n 2（B ）a n8n 2（ C）a n2n 1（ D ）a n n 2n6、已知( z x) 24( x y)( y z) ，则（）（A ）x, y, z成等差数列（ B ）x, y, z成等比数列111111（C）, ,成等差数列（ D）,, 成等比数列x y z x y z7、数列a n的前 n 项和 S n a n 1 ，则关于数列a n的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列8、数列 11 ,3 1 ,5 1,7 1 , ,前 n 和（）2 4 8 16（ A ）n 21 1（B ） n211 （C ） n 2n1 1（ D ） n2n1 12n2 n 122n2 n 129、若两个等差数列a n、 b n的前 n 和分 A n、 B n ，且足A n4n 2 ，a 5 a13 的（）B n5n5 b 5b13（ A ）7（ B ）8（C ）19（D ）79720810、已知数列a n的前 n 和 S nn 25n 2 , 数列 a n的前 10 和（）（ A ） 56（ B ）58 （C ） 62（ D ）6011、已知数列a n 的通公式 a nn5 , 从a n中依次取出第n⋯ ，按原来的序排成一个新的数列，此数列3，9，27，⋯3,的前 n 和（）（ A ） n(3n13) （B ） 3n5（ C ）3n10 n 3（D ）3n 110n 322212、下列命中是真命的是()A ．数列a n 是等差数列的充要条件是 a n pnq ( p 0 )B ．已知一个数列a n 的前 n 和 S nan 2 bn a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列 a n 是等比数列的充要条件a nab n 1D ．如果一个数列 a n 的前 n 和 S nab n c ( a0, b 0,b1) , 此数列是等比数列的充要条件是 a c二、填空13、各都是正数的等比数列a n，公比 q1 a 5 , a 7 , a 8,成等差数列，公比q=14、已知等差数列a n，公差 d0 , a 1 ,a 5 , a 17 成等比数列， a 1 a 5a17 =a 2 a 6a1815、已知数列a n足 S n11a n , a n =416、在 2 和 30 之插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，插入的两个数的等比中二、解答17、已知数列a n 是公差 d 不零的等差数列，数列 ab n 是公比 q 的等比数列， b 1 1,b 2 10,b 3 46 ，求公比 q 及 b n 。

等比数列的前n项和复习(全面知识点+精选例题)精编材料word版

五、等比数列的前n项和
1．等比数列前n项和公式
注意：应用求和公式时，要先看q是否等于1，必要时需讨论．
例1
设是公比为正数的等比数列，若，，则数列前7项和为_____．
解析：，且，得，则．
答案：127
例2
在等比数列中，，，求．
解析：，两式相除，解得或，
带入求和公式，得或．
解析：由题意知，，成等比数列
公比为，，．
答案：63
例5
设等比数列的前n项和为，若，求的值．
解析：由条件知，且Βιβλιοθήκη 成等比数列公比为，故，
所以．
答案：
数学浪子整理制作，侵权必究
例3
设，则等于（）
A． B． C． D．
解析：．
答案：D
2．和的有关性质
等比数列，公比为q，前n项和为，那么：
（1）数列是等比数列，公比为．★
（2）．
（3）表示奇数项的和，表示偶数项的和，则有：
①当项数为偶数时，；
②当项数为奇数时，．
例4
在等比数列中，已知，，求．

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解14 等比数列(含解析)

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点14 等比数列一．等比数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .二．等比数列的有关公式 1.通项公式：a n ＝a 1q n－1a n ＝a m ·q n －m .2.前n 项和公式：1n n 11n na q 1)S a (1q )a a q (q 1)1q1q =⎧⎪=⎨--=≠⎪--⎩（三．等比数列的性质 1.等比中项(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项 ⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. 2.前n 项和的性质nn 2n n 3n 2n (1)S S -S S -S ...、、成等比数列，公比q（2）{a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列(3)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n (k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q .考点题型分析考点题型一等比数列基本运算【例1】(1)(2022·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考)设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，a 2＝﹣2，a 5＝﹣16，则S 6＝(2)(2022·全国高三专题练习)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，m =________．(3)(2022·江西高三其他模拟)已知数列{}n a 是正项等比数列，且2414a a =，又2a ，41a +，5a 成等差数列，则{}n a 的通项公式为【答案】(1)﹣63(2)6(3)12n na【解析】(1)设公比为q ，则352a a q =，即3162q -=-，解得2q，所以211a a q==-，所以()()661611263112a q S q---===---，故选:A.(2)设{}n a 的公比q ，由534a a =可得2q =±，当2q =-时，所以12633mmS，即2=188m，此时方程没有正整数解；当2q时，所以12216312mm m S -==-=-，即2=64m ，解得6m =.故答案为：6.A ．112n n a -=B ．12n n a =C ．2nn a =D ．(3)由题意，设数列{}n a 的公比为()0q q >，因为2414a a =，所以24q =，解得2q (负值舍去)；又2a ，41a +，5a 成等差数列，所以()42521a a a +=+，即()3411121a q a q a q +=+，则1112(81)216a a a +=+，解得11a =，12n n a -∴=.【举一反三】1．(2022·济南旅游学校)设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则公比q =______．【答案】2-【解析】由于数列{}n a 是等比数列，故由121a a +=-，133a a -=-可得，1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，两式作比可得：21113q q +=-，解得13q -=，即2q =-.故答案为：2- 2．(2022·河南高三月考)已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________. 【答案】43【解析】因为3432a a =，所以4332a q a ==.故由等比数列的通项公式得2124332a a q ===.故答案为：433．(2022·河南高三其他模拟)已知在等比数列{}n a 中，1231a a a =，12311172a a a ++=，则数列{}n a 的通项公式为_______. 【答案】()2*2nn a n -=∈N 或()2*2n nan -=∈N【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1231a a a =，所以321a =，解得21a =，【方法总结】（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.所以131311152a a a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13212a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或13122a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 当112a =时，21a =，所以2q ，即有121222n n n a --=⨯=；当12a =时，21a =，所以12q =，即有22nn a -=．故答案为：()2*2nn a n -=∈N 或()2*2n nan -=∈N .4．(2022·上海市三林中学高三期中)数列{}()*n a n N ∈中，数列前n 项和为nS ，若11a =，12n n a a +=，则10S =________. 【答案】1023【解析】因为11a =，12n n a a +=，所以数列{}()*n a n N ∈是首项为1，公比为2的等比数列，所以()1010112102312S ⋅-==-.故答案为：1023.考点题型二等比数列中项性质【例2】(1)(2022·浙江高三开学考试)已知等比数列{}1n a +，10a =，53a =，则3a =( ) A ．3-B ．2-C ．1-D ．1(2)(2022·防城港市防城中学高三月考)等比数列{}n a 中，214a =，2q ，则4a 与8a 的等比中项是( ) A ．4±B ．4C ．14±D ．14(3)(2022·广西高三其他模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2478230a a a -+=，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】(1)D(2)A(3)D【解析】(1)由题意得：()()()23151114a a a +=+⋅+=，由()231110a a q +=+⋅>，得312a +=，3故选：D.(2)∵214a =，2q ，∴44621244a a q =⨯=⨯=.又642816a a a ==.∴4a 与8a 的等比中项是4±.故选：A.(3)因为{an}是各项不为0的等差数列，由2478230a a a -+=可得：()()2222487867868777220,2220220420a a a a a a a a a a a a +-+=-+=⇒+-=⇒-=．解得72a =，所以772b a ==，所以32811211876878b b b b b b b b b b ====，关系存在D【举一反三】1．(2022·广西北海市·高三一模)若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C.2．(2022·河南郑州市·高三月考)正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=，又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．故选：C ．3．(2022·河南高三期中)公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =( ) A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a = 各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D.4．(2022·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中)等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=( )A ．3B ．505C ．1010D ．2022【答案】C【解析】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C5．(2022·石嘴山市第三中学高三期中)在正项等比数列{}n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是( ) A ．10 B ．1000 C ．100 D ．10000【答案】D【解析】正项等比数列{}n a 中，因为369lg lg lg 6a a a ++=，所以33696lg =lg 6a a a a =，即63lg 6a =，6lg 2a =，故6=100a ，21116==10000a a a .故选：D.6.(2022·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考)在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a =( ) A．B．- C．± D ．2【答案】A【解析】根据题意：3156a a +=，231598a a a ⋅==，故3150,0a a >>，6930a a q =>，故9a =11792999a a a a a a ===故选：A.7．(2022·扬州市新华中学高三月考)已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=161134b b b π++=-，则3948tan 1b b a a +-⋅的值是( )A． BC．D ．1【答案】D【解析】在等差数列{}n b 中，由16116334b b b b π++==-，得64b π=-，39622b b b π∴+==-，在等比数列{}n a中，由1611a a a ⋅⋅=36a =，6a =，248112a a ∴-=-=-，则39482tan tantan 1124b b a a ππ-+===-⋅-．故选：D ．考点题型三等比数列的前n 项和性质【例3】(1)(2022·安徽和县)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +2+3t ，则t ＝( ) A ．1B ．﹣1C ．﹣3D ．﹣9(2)(2022·广东佛山市·高三月考)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,6S S ==，则16S 为( ) A ．18B ．30C ．54D ．14(3)(2022·全国高三专题练习)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80(4)(2022·山西太原市)已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =( ). A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B【解析】(1)因为等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +2+3t ，则a 1＝S 1＝33+3t ＝27+3t ，a 2＝S 2﹣S 1＝(34+3t )﹣(33+3t )＝54，a 3＝S 3﹣S 2＝(35+3t )﹣(34+3t )＝162，则有(27+3t )×162＝542，解得t ＝﹣3，故选：C. (2){}n a 是等比数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等比数列，482,6S S ==，844S S ∴-=，1288S S ∴-=，则1214S =，161216S S -=，则1630S =.故选：B.(3)由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为603=402，所以a 7＋a 8＝3340()1352⨯=.故选：A (4)由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和的4倍，∴4S S S +=奇偶偶，设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得S qS =偶奇，即1S S q=奇偶， ∴14S S S q +=偶偶偶，∵0S ≠偶,∴解得13q =，又前3项之积3123264a a a a ==，解得24a =，∴2112a a q==.故选:B. 【举一反三】1．(2022·四川眉山)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3212n n t S ++=，则t =( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】()32111321222n n n t S t ++==⋅+⋅+，所以211t +=-，解得1t =-.故选：B2．(2022·静宁县第一中学高三月考)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =( ) A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】C【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =.故选：C3．(2022·江苏高三专题练习)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12=A ．40B ．60C ．32D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 4．(2022安徽池州市)已知等比数列{}n a 的公比2q，前100项和为10090S =，则其偶数项24100a a a ++⋅⋅⋅+为( )A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】D【解析】1001210090S a a a =+++=，设1399S a a a =+++，则241002S a a a =+++，所以290S S +=，30S =，故24100260a a a S +++==，故选D.5．(2022·陕西铜川市·高三二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3=() A ．1：2 B ．2：3C ．3：4D ．1：3【答案】C【解析】∵{a n }为等比数列则S 3，S 6-S 3，S 9-S 6也成等比数列由S 6：S 3=1：2令S 3=x ，则S 6=12x, 6312S S x -=-,则S 3：S 6-S 3=S 6-S 3：S 9-S 6=-1：2 则S 9-S 6=14x 则S 9=34x 则S 9：S 3=34x ：x=3：4故选C ．6．(2022·全国高三专题练习)设0a >，0b >.是3a 与3b 的等比中项，则12a b+的最小值为( )A ．3B ．C ．2+D ．3+【答案】D【解析】3a 与3b 的等比中项，∴2333a b ⋅==，∴1a b +=.∵0a >，0b >.∴()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b ==-.∴12a b+的最小值为3+.故选：D.7．(2022·江西南昌二中高三月考)已知等比数列{}n a 中，51189=a a a ，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则313+=b b ( ) A ．18 B ．9 C ．16 D ．81【答案】A【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得2511889a a a a ==，可得89a =，则889b a ==.由等差中项的性质可得3138218b b b +==.故选：A.8．(2022·全国高三专题练习)已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =﹐则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为( )A ．73B ．83C ．3D ．103【答案】D【解析】已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =，由等比中项的性质可得3253a =，2353a ∴=，由对数的运算性质可得()3334353637334567log log log log log log a a a a a a a a a a ++++=5210333310log 3log 33⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：D.考点题型四等比数列的定义运用【例4】(2022·江苏南京市第二十九中学高三期中节选)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，648S =，数列{}n b 满足122n n b b +=+，13b =.证明：数列{}2n b -是等比数列，并求数列{}n a 与数列{}n b 通项公式；【答案】证明见解析；21n a n =+；1122n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N【解析】()11112221222222n n n n n n b b b b b b ++---===---，所以数列{}2n b -是首项为12b -，公比12q =等比数列，所以()111112222n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N ；由316127656482a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得13a =，2d =，所以()1121n a a n d n =+-=+【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+，证明：{}4n a +是等比数列；【答案】见解析；【解析】由题意，数列{}n a 满足12a =-，所以142a +=又因为124n n a a +=+，所以()142824n n n a a a ++=+=+，即1424n n a a ++=+，所以{}4n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．2．(2022·江苏省镇江中学高三开学考试)在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，求证数列{}1n a +为等比数列，并求n a 关于n 的通项公式；【答案】证明见解析；21nn a =-【解析】()1121n n a a ++=+，∴{}1n a +为等比数列且首项为112a +=，公比为2，∴11222n nn a -+=⋅=，21n n a =-.3．(2022·安徽高三月考)已知正项数列{}n a 满足：1a a =，2211420n n n n a a a a ++-+-=，n *∈N ，判断数列{}n a 是否是等比数列，并说明理由；【答案】答案不唯一，具体见解析；【解析】∵()()2211114202210n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-+-=⇒-++=，又{}n a 是正项数列，可得1210n n a a +++>，∴12n n a a +=， ∴当0a =时，数列{}n a 不是等比数列；当0a ≠时，易知0n a ≠，故12n na a +=，所以数列{}n a 是等比数列，首项为a ，公比为2.4．(2022·安徽高三月考)已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n ++=+.求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；【答案】证明见解析【解析】设1nn a b n =+，则1111n n a b n ++=++，∴112112()1211n n n n n nn n a a nb a n n n a a b a n n n+++++++====+++ ∵1112b a =+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列考点题型五历史中的数列【例5】(2022·江阴市华士高级中学)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯( ) A ．3盏 B ．9盏C ．27盏D ．81盏【答案】C【解析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏.故选：C【举一反三】1．(2022·宁夏吴忠市·吴忠中学)明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为( )A ．3B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C.2．(2022·安徽高三开学考试)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是( ) A ．72里 B ．60里 C ．48里 D ．36里【答案】A【解析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.3．(2022·贵州贵阳一中高三月考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【解析】设该女子第一天织布x 尺，则5天共织布5(12)512x -=-，解得531x =尺，在情境模拟下，设需要n 天织布总尺数达到165尺，则有5(12)3116512n -=-，整理得21024n=，解得10n =.故选：D ．。

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等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n ka ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k ab ⋅⋅，{}n na b （k 为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列（7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列（8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*2()n n N ∈时，1S S q=奇偶二例题解析【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（）A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列 B ．C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．【例4】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0三、考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列{}n a 满足()1123n n a a n -=-≥，143a =，则4a =_________．2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．考点二：等比中项的应用1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．不确定3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式．考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（）A ．14B ．12C ．18D ．15、等比数列{a n }中，公比q=21且a 2+a 4+…+a 100=30，则a 1+a 2+…+a 100=______________.考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（）A ．4B ．32C ．169D ．22、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（） A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =-3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（） A ．81B．CD ．2434、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（） A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b a D ．10b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（） A ．25B．C．-D．±6、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于考点五：公式11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用1、若数列的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n ，满足条件log 2S n =n ，那么{a n }是( ) A.公比为2的等比数列 B.公比为21的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )A.(2n -1)2B.31(2n -1)2C.4n -1D.31(4n -1)3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +r ，那么r 的值为______________.一、等差和等比数列比较：二、等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项：()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n ；（3）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （4）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. (6)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.三、等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），通项：11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q ！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .四、数列求和的常用方法：1 、裂项分组法：1111122334*********()()()()122334111111n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=-+-+-++-+=-=++（）、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+的前和是：（++++）+（+++）2、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例：求：23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠解：23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠ ① 234n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠ ②① 减 ② 得：()()()()23n-1n n+1n 2n-1n+1(1x)S =x 2x 2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x1x-+++++---=+---从而求出n S 。