高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结
一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域： ①21)(-=
x x f ；②23)(+=x x f ；③x x x f -++=211)(
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式
21-x 无意义， 而2≠x 时，分式2
1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3
2时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3
2-≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3
2-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式
x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解：要使函数有意义，必须： ??
?≠-≥+0201x x ????≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2
143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x
1
11
11
++④x x x x f -+=0)1()( ⑤3
731
32+++-=
x x y 解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131********x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠?????????x x x ?2110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为：}2 1,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义，必须： ? ??≠-≠+001x x x ???<-≠?01x x ∴定义域为：{}011|<<-- ⑤要使函数有意义，必须： ???≠+≥+-073032x x ?? ???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37-∴定义域为：}3 7|{-≠x x 2 定义域的逆向问题 例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+ -a ax ax ∴?????≤2001402a a a a a 等价于 练习： 322log +-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围； 3 复合函数定义域的求法 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+ =x f y )4 1(-?x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须： 43434543434514111411≤≤-??????≤≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为：??????≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。 分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 （注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。 答案：－1≤x2≤1? x2≤1?－1≤x ≤1 练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：223≤-≤ -x 得： 221+≤≤-x ∵x ≥0 ∴220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{} 2460|+≤≤x x 例7 已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域 因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。 练习： 1 已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[2,2 5-） （提示：定义域是自变量x 的取值范围） 2 已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域 3 若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（ ） Ａ．[]1,1-Ｂ??????- 21,21Ｃ．??????1,21Ｄ．10,2?????? 4 已知函数()11x f x x += -的定义域为Ａ，函数()y f f x =????的定义域为Ｂ，则（ ） Ａ．A B B =Ｂ．B A ∈Ｃ．A B B =Ｄ．A B = 求值域问题 利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，