数学建模典型例题
一、人体重变化
某人的食量是10467焦/天，最基本新代要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析
人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间体重W的变化值列出微分方程。
二、模型假设
1、以脂肪形式贮存的热量100%有效
2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存
3、假设体重的变化是一个连续函数
4、初始体重为W0
三、模型建立
假设在△t时间：
体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；
身体一天的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））
将其乘以△t即为一小段时间剩下的热量；
转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；
四、模型求解
d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686
W(0)=W0
解得：
5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)
即：
W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)
当t趋于无穷时，w=81;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数a ij的由下面的表给出：
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、问题分析
本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。
三、条件假设
除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；
四、模型建立
二
5
11 7 三 6
4
16
6 13 8 四
一 9
12 8 11
20
五
10
六
运用Dijikstra算法
1 2 3 4 5 6 0 4 6 9 12 20
6 9 12 20 9 12 20 12 20
20 可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现
即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮的最优策略
一、问题重述：
红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？
二、问题分析
该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。
1、对策参与者为两方（红蓝两方）
2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。
三、问题假设：
（1）红蓝双方均不知道对方的策略。
（2）蓝方可以在一个区域布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。
（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。
四、模型建立
由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B
A= 1 0
0.75 0.50
0.50 0.83
B= 0 0.25 0.5
1 0.5 0.17
没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动i 的概率为 xi(i=1，2，3)，红方采取行动j 的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为：
S1=｛x=（x1，x2，x3）0< xi<1,∑xi=1｝， S2=｛y=（y1，y2）0< yi<1,∑yi=1｝。
五、模型求解
下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x* Max v1
0*x 1+0.25*x 2+0.5*x 3 >v1 x 1+0.5*x 2+0.17*x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 =1 xi<=1
下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y* Min v2 y 2 0.25*y 1+0.5*y 2 四、雷达计量保障人员分配 开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。 现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示： 说明：1．保障任务分区域进行保障； 2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务，分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、 L2，其它雷达为一个保障任务； 3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成。 雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）： 该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示： 问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？ 一、问题分析： 该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。 二、模型假设 1．保障任务分区域进行保障； 2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务，分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2，其它雷达为一个保障任务； 3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成。 三、模型建立 根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵： ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ?????????????????=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08 .03.07 .02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.00 5.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.0 6.03.0 7.06.07.0 8.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.000000 9 .005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003 .08.0A 根据题目，设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =，bi 表示第i 个任务 的重要性。列出保障任务重要性向量： []7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B 我们用二者的乘积表示效益矩阵： T *=B A R 。 我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务，如果是，其值为1，否则为0。 利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程： ∑∑===m j n i ij ij x r Z 11 *max ∑==m i j ij x 1 ∑=<=n i ij x 1 1,m<=n model: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowed(M,N):b,r,x; endsets data: a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7; b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.5 0.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.7 0.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.2 0.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.2 0.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0; enddata max=sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j)); for(M(i):for(N(j):r(i,j)=a(j)*b(i,j))); for(M(i):sum(N(j):x(i,j))=1); for(N(j):sum(M(i):x(i,j))<=1); for(M(i):for(N(j):bin(x(i,j)))); End 解得最大效益为6.63， 分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，5、7号承担B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号G型，1、3号承担H1，H2型，4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3，6号F型、10号J型。