高中数学立体几何常考证明题汇总
高中数学立体几何常考
证明题汇总
Revised at 2 pm on December 25, 2020.
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1
//,2
EH BD EH BD =
同理,
1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE;
(2)平面CDE ⊥平面ABC 。
证明:(1)BC AC CE AB AE BE =?
?⊥?=?
同理,
AD BD DE AB AE BE =?
?⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。
证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO ,
A
E
D 1
C
B 1
D
A
A H G
F E D
C
B A E
B
C
∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定
4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC
又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定
5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.
求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1
AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设11111
A C
B D O ?=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B
C
D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC =
又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴?
∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
(2)1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111
A C
B D ⊥∵, 1111B D A
C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥, 又1111
D B AD D ?=
∴1A C ⊥面11AB D
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
6、正方体''''ABCD A B C D -中,求证:(1)''AC B D DB ⊥平面;(2)
''BD ACB ⊥平面.
考点:线面垂直的判定
S
D
C
B A
D 1
O D B
A C 1
B 1
A 1
C
N M P
C
B
A
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD . 证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥, 又BD 平面B 1D 1C ,B 1D 1?平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C . 同理A 1D ∥平面B 1D 1C .
而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .
(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .
从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,且2
2
EF AC =
, 90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD
证明:取CD 的中点G ,连结,EG FG ,∵,E F 分别为,AD BC 的中点,∴EG 12
//AC = 12//FG BD =,又,AC BD =∴12FG AC =,∴在EFG ?中,222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥,∴BD AC ⊥,又90BDC ∠=,即BD CD ⊥,AC CD C ?= ∴BD ⊥平面ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
9、如图P 是ABC ?所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N
是AB 上的点,3AN NB =
(1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的
长。
证明:(1)取PA 的中点Q ,连结,MQ NQ ,∵M 是PB 的中点,
∴//MQ BC ,∵ CB ⊥平面PAB ,∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,∵
,PA PB =∴PD AB ⊥,又3AN NB =,∴BN ND = ∴//QN PD ,∴QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥
A 1 A
B 1
B
C 1 C
D 1
D
G E F
(2)∵90APB ∠=,,PA PB =∴1
22
PD AB =
=,∴1QN =,∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥,且1
12
MQ BC =
=,∴2MN = 考点:三垂线定理
10、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .
证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ,BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G
EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形,1D E ∥GB
又1D E ?平面BDG ,GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG
1EF D E E
?=,∴平面1D EF ∥平面BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点. (1)求证:1//A C 平面BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE . 证明:(1)设AC BD O ?=,
∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点,∴1A C ∥EO
又1
AC ?平面BDE ,EO ?平面BDE ,∴1A C ∥平面BDE (2)∵1AA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥,1AC AA A
?=,∴BD ⊥平面1A AC ,BD ?平面BDE ,∴平面BDE ⊥平
面1A AC
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,
4PA AD ==,E 为BC 的中点.
(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成的角.
证明:在ADE ?中,222AD AE DE =+,∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ,DE ?平面ABCD ,∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=,∴DE ⊥平面PAE (2)DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ?,42PD =Rt DCE ?中,22DE =在Rt DEP ?中,2PD DE =,∴030DPE ∠= 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD PB ⊥;
(3)求二面角A BC P --的大小.
证明:(1)ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点,∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴BG ⊥平面PAD
(2)PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥,PG BG G ?=,∴AD ⊥平面PBG ,
PB ?平面PBG ,∴AD PB ⊥
(3)由AD PB ⊥,AD ∥BC ,∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥,AD ∥BC ,∴BG BC ⊥
∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角
在Rt PBG ?中,PG BG =,∴045PBG ∠=
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求
证:1A O ⊥平面MBD .
证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥1A A ,DB ⊥AC ,
1A A AC A
?=,
∴DB ⊥平面11A ACC ,而1
AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =
,223
4
MO a =. 在Rt △11A C M 中,2219
4A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴
1
AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD .
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面
BCD .
证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥. 又CF
DF F =,∴AB ⊥平面CDF .
∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B ?=, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E ?=,
∴ AH ⊥平面BCD .
考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D 证明:连结AC
BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影 考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC ⊥平面BSC .
证明∵SB=SA=SC ,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ,连AO 、SO ,则AO ⊥BC ,SO ⊥BC ,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a ,又∠BSC=90°,∴
BC=2a ,SO=22
a ,
AO 2=AC 2-OC 2=a 2-21a 2=21
a 2,∴SA 2=AO 2+OS 2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC ⊥平面BSC .
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)