多维随机变量及其分布习题答案
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第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案
3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：()1 在有放回抽样情形下
(),X Y 的可能取值为()()()()0,0,0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为
()1110,05525P X Y ===⨯=
，()144
0,15525P X Y ===⨯= ()4141,05525P X Y ===⨯=，()4416
1,15525
P X Y ===⨯=
即(),X Y 的联合分布律为：
()2 在不放回抽样的情形下
(),X Y 的可能取值为()()()0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为
()1410,1545P X Y ===
⨯=，()4111,0545P X Y ===⨯= ()433
1,1545
P X Y ===⨯=
即(),X Y 的联合分布律为：
2. 解：()1 由(),X Y 的联合分布律的性质：
11
1ij
i j p
+∞+∞
===∑∑可知
0.070.180.150.080.201a +++++=， 0.32a =得
()()()()(2)0,11,11,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===-+==-+==
0.070.080.32=++0.47=
()3X 的可能取值为0，1，则(),X Y 关于X 的边缘分布律为
00.070.180.150.40p =++=，10.080.320.200.60p =++= 即
Y 的可能取值为1-，0，1，则(),X Y 关于Y 的边缘分布律为
10.070.080.15p -=+=，
00.180.320.50
p =+=，
10.150.200.35p =+= 即
j
()
4X 与Y 不独立. 因为
()()()0,10.07010.400.150.06P X Y P X P Y ==-=≠==-=⨯=， 由定理3.1可知X 与Y 不独立. 3. 解：由题意知，()2,0.2X
B ，()2,0.5Y B ，则由X 与Y 独立可知
()()(),P X i Y j P X i P Y j ===== ()()
()()
22220.20.80.50.5i
i
j j
i
j C C --=，
,0,1,2i j =. 即(),X Y 的联合分布律为
4. 解：关于X 的边缘分布律为
关于的边缘分布律为
j
由和Y 相互独立，得
()()()()()()1111,2129391111,31318
318P X Y P X P Y a P X Y P X P Y b ⎧⎛⎫
=======⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪=======⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以 29a =
，1
9
b =. 3.2 二维连续型随机变量习题答案
1. 解：()1 由二维联合分布函数的性质得：
()()()()(),arctan 02,arctan 02,1
22F x A B x C F y A B C y F A B C ππππ⎧⎛
⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-∞=-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎛
⎫⎛⎫+∞+∞=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
解三个方程得2
12A B C ππ⎧=⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩.
()2 由二维联合密度函数的性质得：当,x y -∞<<+∞时,
()()2,,F x y f x y x y ∂=∂∂221111A x y ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()
222
111x y π=++. ()3 关于X 的边缘分布函数为
()()(),lim ,X y F x F x F x y →+∞
=+∞=21arctan 222x ππππ⎛⎫⎛⎫
=
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
1arctan 2x ππ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
， x -∞<<+∞ 关于Y 的边缘分布函数为
()()()21,lim ,arctan 222Y x F y F y F x y y ππππ→+∞
⎛⎫⎛⎫
=+∞==
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
1arctan 2y ππ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
， y -∞<<+∞ 2. 解：()1 由联合密度函数的规范性得： ()()320
1,x y f x y dxdy ke dxdy +∞+∞
+∞
+∞
-+-∞
-∞
==⎰⎰
⎰
⎰
，即
320
1x y k
e dx e dy +∞
+∞--=⎰
⎰，由定积分的知识得：
16
k
=，即6k = ()2()()()320
,6x y x
x y
P X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞
-+≤≤=
=⎰⎰
⎰⎰
320
6x y x
e dx e dy +∞+∞--=⎰⎰50
335
x e dx +∞
-==
⎰. ()3
X 与Y 相互独立.
关于X 的边缘密度函数为
()()()3206,0,0,x y X e
dy x f x f x y dy +∞-++∞
-∞
⎧>⎪=
=⎨
⎪⎩⎰⎰
其他33,00,x e x -⎧>=⎨⎩
其他 关于Y 的边缘密度函数为