代数式求值的几种方法

代数式求值的几种方法

代数式的求值问题，是初中代数基础知识与基本技能的重要内容。求代数式的值应对所给定的代数式加以具体情况具体分析，针对题设条件与所求代数式的本质特点及内在联系，灵活选用适当方

法与技巧，方能使求解过程简捷、科学、合理。

一、公式法

例1 :已知a + b = 1，a2 + b2 = 2 求a6 +b6的值

分析：本题若根据已知条件先求出a、b的值，然后代入所求式中计算，虽不失为一种思考途径，但求出的a、b的值均为复杂的无理数，而所求代数式中的a、b又均为高次幕，从而使运算非常复杂。若借助乘法公式先将所求代数式化为“ a + b ”与“ab”的结构形式，则问题的解答将简便得多。

解：由a + b = 1有（a + b）2 =1，即a2 2ab b2 1 又a 2 + b2 =2，二a b =—-

2

6

a b6 2 .2

a b 4 a b4 3 — a

b仏3

a b

2・・2 2 . 2 2 2 2 3

a b a ab b a b2a b ab a b

3

111

122221

242

8

71 8

x

另外考虑a 7 + b 7的值的求法 二、参数法 例2：若

a b c

，求

2a b c

的值

2

4

5

a b c

分析：本题题设给出a 、b 、c 的三个连比式，若引入一个参数,

求解。

数特点出发，本题使用“倒数法”较为简便。

再由未知式取倒数:

15

49

四、消元法

则所求代数式的分子、 分母均由三元转化为一元， 从而通过化简而

解：设a b

2

4

所以

a b c

三、倒数法 k ,由题意 k 工0,贝S a = 2k , b = 4k , c =5k 4k 4k 5k 2k 4k 5k

3k 3k

例3:已知

x x 2 x 1

分析：由已知式与所求式之间的结构及各自分子、

分母的幕次

解：由已知取倒数，则

x 2 x 1 x

所以

2 X 4

2

x x 1

49 15

例4已知x、y、z均不为零，且满足4x —3y —6z =0

2 2 2

x + 2y —7z = 0,求％3y> 6z r的值。x25y 7z2

五、整体代入法

例5:若x2—8x +13 =0，求"6x：4x 34x 23的值x 8x 18

六、利用根与系数的关系

例6 已知a^B 且a 2 +3 a—7 = 0 B 2 +3 p—7 = 0

求：=—的值

七、分子有理化法

例7已知2 5 .a 2 2 求a2 + 10a +25的值

分析：若通过解无理方程求出a的值，在代入求解，运算量很大，不见便，注意观察所求式是a —5的平方，而已知式里有a —5的平方根，若视a 5与.a 2为两个单元，即知其和，在利用分子有理化可得其差，从而得出-a 5的值，使问题得到解决。