一元函数微分学综合练习题

第二章 综合练习题

一、 填空题

1. 若21lim 11x x x b x →∞⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭

，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin

2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x =

-的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1|

x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0,

x x f x x

a x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x

=在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1

1x e -是无穷小量

8 设21,10(),

012,12x x f x x x x x ⎧--≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩

，()f x 在 处间断 9 当0x →时，arctan x 是x 的 阶无穷小量

10 极限2352lim sin 53x x x x

→∞+=+ 二、 选择题

1. 设数列1,1,1

n n n u n n -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数,为偶数, 则当n →∞时，n u 是（ ） A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量

2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的（ ）

A. 充分条件但不是必要条件

B. 必要条件但不是充分条件

C. 充要条件

D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x

ββ→+-的值是 （ ） A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在

4. n ）

A. 1

B. 0

C. 12

D. 因为当n →∞时，分母为0，因此极限不存在 5. 下列极限正确的是 （ ） A. 01sin

lim 11x x x →= B. 1sin lim 11x x x →∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 0x x x

→∞= 6. 设函数在点处连续，则下列陈述中不正确的是（ ）

A. ()f x 在点0x 处有定义

B. ()f x 在点0x 处的左极限存在

C. ()f x 在点0x 处可导

D. ()f x 在点0x 处的值与0

lim ()x x f x →相等 三、 计算题

1. 求下列极限：

（1

）n →∞ （2）41sin 2lim

1cos 4x x x π→

+- （3

）0

x → （4

）01lim x x

→ （5）11lim x x x -→

（6

）201lim 1x x e →-

2.

设1;()4,1x f x x ≠==⎩

，求,a b ，使()f x 在1x =处连续。

3. 求k

k x 为当0x →时的等价无穷小。

4. 求函数tan()4()(1)

x

x f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判断其类型。

证明题

1. 证明：方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭

内至少有一个实根。 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，,0p q >，证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.

3. 设()f x 在[,]a b 上连续，且恒为正，证明：对于任意1212,(,)()x x a b x x ∈<，在12[,]

x x

上至少存在一点ξ，使得()f ξ=

第三章 综合练习题

一、选择题

1.若'()f a k =存在，则1lim (()())h f a f a h h --=→+∞

（ ） （A ）k - (B)k (C)0 (D)不存在

2. 若()(),lim f x f a A A x a x a

-=-→为常数，则以下结论不正确的是： （A ）()f x 在点x a =处连续 （B ）()f x 在点x a =处可导

（C ）()lim f x x a

→存在 (D) ()()()f x f a A x a -=-

3.函数1()1x y f x +=-

满足'()arctan f x =2

dy dx x == （A

）

(B) - (C)0 (D)3

4.设)(x f 在0x 的附近有定义，则下列选项中与命题“'()0

f x 存在”不等价的是： （A ）()()00lim 0

f x kx f x x x +-→存在（01k ≠或） (B) (())()00lim ,()0

f x a x f x a x x +-→其中()0,lim ()00a x a x x >=→且 (C) 1lim [(()())]000

x f x f x x x --→存在 (D)()()00lim sin 0

f x x f x x x --→ 存在 5.若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数'()0f x >，二阶导数"

()0f x <，则函数()f x 在此区间内

(A)单调减少，曲线是凹的 (B)单调减少，曲线是凸的

(C)单调增加，曲线是凹的 (D)单调增加，曲线是凸的

6.设()f x 在(,)-∞+∞有定义，0x 是()f x 的极大值点0(0)x ≠，则

(A)0x -必是()f x --的极小值点 (B)0x 是()f x 的驻点

(C)0x -是()f x -的极大值点 (D)对一切x 有0()()f x f x ≤