人教八年级数学上册垂直平分线

A N
A N
A N
B
CM B
M CBM
C
拓展提升 2
（1）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M， ∠A=50°，求∠NMB的大小.
解：∵AB的垂直平分线交AB于N，
∵∠B= 1（180°-∠A）=65°， 2
A
N
N
∴∠MNB=∠MNA=90°. ∴∠NMB=90°-∠B=25°.
随堂练习 3
如图，在3×3的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余
小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法
有（
）
A.5种
B.6种
C.4种
D.7种
图中是3×3的正方形网格，已经涂上2个阴影，还 剩下7个，选择合适的对称轴，根据轴对称图形的 概念找出正确的图法，保证不重不漏.
P
符号表示：如图，直线l⊥AB，垂足为 O，AO=BO，点P在l上，则有PA=PB.
┐
A
B
O
l 反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平
分线上呢？
新知探究
如图，线段AB外任意一点P1到点A，点B的距离相等.求证：点P1在线段AB 的垂直平分线上.
证明：过点P1作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
作法：如图所示：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 1 AB的长为半
2
径作弧（想一想为什么），两弧线相交于C，D两点；
∙
A
（2）作直线CD，即是所求作的直线.
2、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的
垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为
此作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的
∙
A
∙
B
垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平
分线.
新知探究
2、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
12345 23456 34567 45678 56789
拓展提升 1
如图，在正方形中均匀分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常简便 的方法，迅速地将这些数字的和求了出来，你知道他是怎么求出来的吗？
12345 23456 34567 45678 56789
5 5 10 5 10 10 5 10 10 10 5 10 10 10 10
BE=B'E，∠MEB=∠MEB'=90°； CF=C'F'，∠MFC=∠MFC'=90°. 因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且 垂直于这条线段.
M
A
A'
B
B'
C C' N
新知探究
知识点1
线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线.
l
几何语言：如图所示，直线l是线段AB 的垂直平分线. 则：AO=BO，l⊥AB.
拓展提升 1
如图，在正方形中均匀分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常简便 的方法，迅速地将这些数字的和求了出来，你知道他是怎么求出来的吗？
从正方形中数字的排列可以看出，其中一条对角线 上的数字都是5，若把对角线所在的直线当作对称 轴，把正方形翻折一下，则除对称轴以外的其他对 称位置的两数之和都是10.
解：∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称， ∴将△ABC沿着MN折叠后能和△A'B'C'完全重合. ∴点A和点A'，点B和点B'，点C和点C'是对称点.
M A
B
A' B'
C C' N
课堂导入
设AA'，BB'，CC'分别交直线MN于点P，E，F， 则有AP=A'P，∠MPA=∠MPA'=90°；
┐
A OB
新知探究 知识点1
1、线段的垂直平分线必须满足两个条件： ①经过这条线段的中点；②垂直于这条线段.这二者 缺一不可. 2、线段的垂直平分线是一条直线. 3、线段垂直平分线也可以称为“中垂线”.
l
┐
A OB
新知探究
知识点2
图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.
P
符号表示：如图，已知线段AB， ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上.
┐
A
B
O
l
新知探究
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的 距离相等.
符号表示：∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段
BC，AB，AC，
∴直线MN，EF，PQ相交于点O，
且OA=OB=OC.
B
A M
B
C
N
新知探究 知识点2
1、轴对称图形被对称轴分成的两个部分全等，成轴对称的两个图形 也全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称. 2、成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在同一条直线上）， 或相交于一点，并且如果相交，交点一定在对称轴上.
新知探究
跟踪训练
如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是（ A ）
∵l⊥AB，
∴∠P1OA=∠P1OB=90°，
∵在Rt△P1AO和Rt△P1BO中，P1A=P1B，
P1O=P1O，
∴Rt△P1AO≌Rt△P1BO（HL）. ∴AO=BO.
∵AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°，
∴P1在线段AB的垂直平分线上.
P1
┐
A
OB
l
新知探究
知识点2
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上.
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D. 等边三角形
课堂小结
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线
线段垂直 平分线
轴对称 图形的性质
பைடு நூலகம்
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线
图形轴对称 的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
E
Q
O
PN F C
新知探究
小结：从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平 分线l上的点与点A，B的距离都相等，反过来，与A，B 的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A， A B的距离相等的所有点的集合.
P
┐ B
O
l
新知探究 知识点3
1、经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
A.AB//DF C.AB=DE
B.∠B=∠E D.AD的连线被直线MN垂直平分
M AD
∵△ABC和△DEF关于直线MN轴对称， ∴△ABC和△DEF全等. ∴∠B=∠E ，AB=DE ，AD的连线被直线MN垂直平分.
B
E
C
F
N
随堂练习 1
如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有（ ①④ ）.
正方形的数字之和 10×10+5×5=125
拓展提升 2
（1）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，
∠A=50°，求∠NMB的大小.
（2）如果将（1）中∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
（3）你发现有什么规律？请尝试证明.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题发现的规律是否需要加以修改？
C
拓展提升 2
（3）规律为：∠NMB的大小为∠A大小的一半，即AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐
角等于∠A的一半.
证明：设∠A=a，
∵AB的垂直平分线交AB于N， ∴∠MNB=∠MNA=90°.
∵∠B= 1（180°-a） , 2
A
∴∠NMB=90°-∠B= 1 a. 2
A
A
N
N
N
B
CM B
M CBM
观察下列图形，你能找到轴对称图形吗，能说出它们的对称轴分 别有几条吗？
是，1条
是，2条
是，1条
不是
学习目标
1、理解并掌握线段垂直平分线的定义. 2、熟悉轴对称图形和轴对称图形的性质. 3、综合运用轴对称图形的性质、线段垂直平分线来解决实际 问题.
课堂导入
思考：如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B'，C'分别是点A，B， C的对称点，线段AA'，BB'，CC'与直线MN有什么关系？
①AB⊥MN
②MD=ND
③AB是MN的垂直平分线 ④AD=BD
M
MN是线段AB的垂直平分线，则①④是正确的； 垂直平分线是直线，③是错误的； MN是一条直线，②是错误的.
┐
A DB
N
随堂练习 2
如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误
的是（ B ）
A.AM=BM
B.AP=BN
学习目标
1、理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容. 2、探究线段垂直平分线的性质和判定的过程. 3、熟练运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.
课堂导入
思考：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，……是l上的点，分别量一量 点P1，P2，P3，……到点A和点B的距离，你有什么发现？
证明：∵直线l垂直平分线段AB, ∴AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°. ∵在△P1AO和△P1BO中，AO=BO，