量子力学.ppt
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量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
n
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
另一幺正性关系是
l
'' '' lm lm l0 ml
l
Ylm* , Ylm ','
1
sin
'
'
l0 ml
(8.70)
这也是函数形式的球谐函数的完全性关系.
第18页/共30页
任何函数 r,, 都可以展开成为
l
r, , clmRlmrYlm , l 0 ml
Ylm* 1,1 Ylm 2,2
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
mm！ ！eim
sinm
d
d
cos
lm sin 2l
(8.64)
Ylm* , 1mYl,m,
全部球谐函数构成完全函数组 。
第13页/共30页
§8-5 lm 表象和 表象
在以单粒子的位置 x, y, z 或 r,, 为自变量的函数空间中,
我们建立了与抽象的希尔伯特空间一一对应的态矢量和算符,而且 把这一函数空间分解为两个较小的函数空间的直积空间:一个是以 r 为自变量的函数所组成的空间,以算符 Rˆ 的本征矢量为基矢;另一
jm jm jj mm
（8.16）
此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量均成立。
第10页/共30页
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
第22章量子力学基础知识课件
px x h px x / 2
——测不准关系是微观 粒子波动性的结果。
The Nobel Prize in Physics 1932
Werner Karl Heisenberg
b.1901 d.1976 Leipzig University Leipzig, Germany
§22-2 波函数
1．波函数的概念：描述微观粒子波动性的数学表达式。
平面简谐波函数
y Acos 2 (t x / )
y Aei2 (tx/ )
自由粒子波函数
E / h h / p
i ( Et px)
0e
一般波函数： (x, t)
波长短，用于电子显微镜.
2. U 150V 0.9785106U 1
1.225 0.10nm
U
与X射线波长相近，同样采用晶体作光栅实现衍射。
例22.2 计算质量m=0.001kg,速率v=500m ·s-1的 子弹的德布罗意波长。
h h 6.626 1034 m=1.331034m
这说明，电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在 一起时相互作用的结果，而是单个电子就具有波动性。 换言之，干涉是电子“自己和自己”的干涉。
底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性。 随着电子增多，逐渐形成衍射图样 来源于
“一个电子”所具有的波动性而，不是电子间相
互作用的结果。
Double-Slit Experiment with a machine gun!
§22-1 波粒二象性
一．德布罗意波假设（1924 年 ）
de Broglie
整个世纪以来，在辐射理论上， 相对于波动的研究方法，我们过于 忽视了粒子的研究方法；而在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢？ 是不是我们关于粒子的图象想得太 多，而忽略了波的图象呢？
——测不准关系是微观 粒子波动性的结果。
The Nobel Prize in Physics 1932
Werner Karl Heisenberg
b.1901 d.1976 Leipzig University Leipzig, Germany
§22-2 波函数
1．波函数的概念：描述微观粒子波动性的数学表达式。
平面简谐波函数
y Acos 2 (t x / )
y Aei2 (tx/ )
自由粒子波函数
E / h h / p
i ( Et px)
0e
一般波函数： (x, t)
波长短，用于电子显微镜.
2. U 150V 0.9785106U 1
1.225 0.10nm
U
与X射线波长相近，同样采用晶体作光栅实现衍射。
例22.2 计算质量m=0.001kg,速率v=500m ·s-1的 子弹的德布罗意波长。
h h 6.626 1034 m=1.331034m
这说明，电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在 一起时相互作用的结果，而是单个电子就具有波动性。 换言之，干涉是电子“自己和自己”的干涉。
底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性。 随着电子增多，逐渐形成衍射图样 来源于
“一个电子”所具有的波动性而，不是电子间相
互作用的结果。
Double-Slit Experiment with a machine gun!
§22-1 波粒二象性
一．德布罗意波假设（1924 年 ）
de Broglie
整个世纪以来，在辐射理论上， 相对于波动的研究方法，我们过于 忽视了粒子的研究方法；而在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢？ 是不是我们关于粒子的图象想得太 多，而忽略了波的图象呢？
量子力学课件(9)(氢原子)
（2）波函数及其能级的简并度
1.氢原子的波函数
n =1
2 R10 = a3/ 2 e−r / a
n=2 R20 (r) = 2( R21(r) = ( n =3 R30 (r) = 2( R31(r) = (
1 3/2 3a 1 3/2 2a
)
(2 − r)e
1 a
− 21a r
1 1 3/2 1 r − 2a r 2a 3 a
F1
1.0
0.8
0.6
w(r)
0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10
r/a
0.6
F1 F2
0.5
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
r/a
0.6
0.5
1s 2s 3s
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
线系的理论解释。 即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
电子在原子内部运动形 成了电流， 成了电流，其电流密度 代入 球坐标 中梯度 表示式
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
原子处 于定态
r r ih J e = − eJ = − e [ψ nlm ∇ ψ nlm * −ψ nlm * ∇ ψ nlm ] 2µ
)
e
)
[1−
2 r 3a
r + ( ) ]e
2 r 2 27 a
−31a r
量子力学课件(曾谨言)第一章
(
r
)
2
d
3r
1
(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)
d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.
量子力学钱伯初答案ppt
量子力学量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。
本课程是物理学专业的专业必修课程之一。
设置量子力学课程的主要目的是：⑴使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。
⑵使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。
钱伯初，江苏无锡人。
1950年考入清华大学物理系；1952年全国高等院校院系调整后转入北京大学物理系学习；1953年9月提前攻读北京大学理论物理专业硕士研究生，师从杨立铭先生；1956年1月留校任教；1957年响应国家支援西北建设号召，调至当时人才紧缺的兰州大学工作。
荣获“2003年全国高校教学名师奖”，以及“宝钢教育奖”“国家级优秀教学成果奖”“甘肃省教学成果奖”等奖项。
量子力学是描述微观物质的理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础所进行的。
量子力学是描写原子和亚原子尺度的物理学理论。
该理论形成于20世纪初期，彻底改变了人们对物质组成成分的认识。
微观世界里，粒子不是台球，而是嗡嗡跳跃的概率云，它们不只存在一个位置，也不会从点A通过一条单一路径到达点B。
根据量子理论，粒子的行为常常像波，用于描述粒子-1-行为的“波函数”预测一个粒子可能的特性，诸如它的位置和速度，而非确定的特性。
物理学中有些怪异的概念，诸如纠缠和不确定性原理，就源于量子力学。
19世纪末，经典力学和经典电动力学在描述微观系统时的不足越来越明显。
量子力学是在20世纪初由马克斯·普朗克、尼尔斯·玻尔、沃纳·海森堡、埃尔温·薛定谔、沃尔夫冈·泡利、路易·德布罗意、马克斯·玻恩、恩里科·费米、保罗·狄拉克、阿尔伯特·爱因斯坦、康普顿等一大批物理学家共同创立的。
量子力学课件(9)(氢原子)
类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也 都适用，只要把核电荷 +e 换成 Ze，μ 换成相应 的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：
En
e4 Z 2
2
2
n
2
n 1, 2,3,
即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
21a r
3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei 3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei
假设存在
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入上式，可以化解为一个径向的常微分 方程：
1 2 l (l 1) 2 e2 [ r ]R(r ) ER(r ) 2 2 2me r r 2me r 4 0r
2
对于E〈0的情形，常微分方程的本征函数 和本征值有解析解，详细见附录C
Z
z
y
x z
例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大； 在 =π/2时，等于零。
y
x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
11.5 波函数
T=0时，氢原子被制备在本征态：
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
量子力学课件-定态方程
ˆ 2 H x 2 2 ˆ H y 2 2 ˆ H z 2
d2 2 dx d2 dy2 d2 dz2
1 2
2 x 2 2 y 2 2 z 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
1 2
En1n2n3 En1 En1 En1 (n1 n2 n3 3 2 )
注：当能级和波函数呈对应关系时，我们称 ⑴ n ( x) 是能级 En 上的波函数或态； ⑵粒子态 n ( x) 具有（或对应）的能量是 En 能级 En 上的归一化的定态波函数是 n ( x)
n ( x)
2 n sin x. a a
最后得：
n 2 2 2 En , 2 2 a
e -iEt / 所以 E (r ) 所描写的这种粒子状态称为定态， -iEt / 波函数 E (r )e 称为定态波函数。
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 空间波函数ψ(r)可由方程 2 和具体问题的边界条件得出。 2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 称为定态薛定谔方程， 2
E n1 n2 n3 E n1 E n1 E n1
n1 ( x ) n2 ( y ) n3 ( z )
解得能量本征值为：
Eni (ni 1 2 ) (N 3 2 ) 其中 N n1 n2 n3 i 1, 2,3 EN (n1 n2 n3 3 2 )
n1n2 n3 ( r ) n1 ( x ) n2 ( y ) n3 ( z )
N n1 n2 n3
当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多 种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：