北京大学量子力学课件
合集下载
北京大学量子力学课件_第31讲
散射总截面
2 l 1 ) sin δ T l k l 0
其中每一项
4 2 (2 l 1 )sin l 2 k
代表相应的角动量为 l 的分波对散射截面的贡献。
4 l 1 ) l 2 (2 k
当 极大。 因
（2） 散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒 子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况
薛定谔方程
2 [ V ( r )] ( r , t ) i ( r , t ) 2 t
其定态解为
2
( r , t ) ( r ) e
iE t
当位势为有心势
V ( r ) V ( r )
则
2 m ( 1 ) f θ ) 2 V ( r ) sin( qr ) rdr 0 p( q
或
1 ( 1 ) f ) ( r ) sin( qr ) rdr 0U p( q
2 m r 2 V r U
这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。
当入射粒子方向 k 取为z 轴，则入射（无 自旋）是对 对称，即与 无关. 而相互作用 势 V(r) 是各向同性。因此，经 V(r) 作用后也与 无关 ( r ) l Y ( , ) （k 在 z k l 0 方向） l 0 r 代入方程得
2 d l ( l 1 ) 2 ( r ) ( r ) k ( r ) U ( r ) ( r ) 0 l l l l 2 2 dr r 2 2mE 2 m k U (r) V (r) 2 2
4 ( 2 l 1 )2 e i e [ ( el 1 ) ] Y ( , ) l 0 ki r l 0 2
北京大学量子力学课件 第8讲
Ⅲ.方位阱穿透：这时只要将
B
S
2 2 2
V0 V0
即可。
i(k k1 ) sin k1a 2kk1 cos k1a i(k1 k ) sin i k1a
2kk 1e ika 2kk 1 cos k 1a i(k 1 k ) sin k 1a
2 1
2 2
2
A
A
讨论： A. 在 E V0 时，区域 x 0 有一沿x方向传播 的平面波 波数为 k1 但这并不是指粒子具有动 的平面波，波数为 量为 k 1，因这要全空间）。显然，
ji Re(* i ˆx p k1 2 k D 2 i ) = (1 ) m m 4 k
2 ˆ p k D k1 2 * x (1 ) jR Re( R R ) = m 4 k m ˆx k 1 2 * p jT Re( R ( T T ) = D 。 m m
2 ˆ p k D 2 * x ji Re( R ( i i= ) (1 ( ) ) x 0 m m 4 k iii 在区域 x 0 ，也有向左的几率流密度， iii. 也有向左的几率流密度
即反射几率流密度矢
jR Re(* R
ˆx p R ) = m
k D 2 2 (1 ( ) ) k m 4
S T A
对于 0 x a 区域，有方程 区域 有方程
2 d2 ( V ) u ( x ) Eu ( x ) 0 2m dx 2
0xa
有解
(
u E ( x ) De x Fe x
2m(V0 E) )1 2
其中 2 u E ( x ) 连续，得 由 x 0 ， x a 处，u E ( x ) ，
北京大学量子力学课件 第5讲
而 t t 0 时，它位于
[1 ( t 0 2m 2 ) ]
P0 t 0 x m
，宽度为
t 0 2m 2 ) 2 ]1 2
2 12
[1 (
也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 x0 x- x0 x 其中
P0 t 0 x0 m
x ( x x ) x x [1 (
这就是格林函数的含义： t 0 时刻，粒子处于 r 0 ， ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就是 G(r, t; r 0 , t 0 ) 。 由薛定谔方程我们可直接给出
1ˆ ˆ i H( r , P)( t t 0 ) G ( r , t; r 0 , t 0 ) e ( r r 0 )
G(r, t; r' , t' )称为 Green 函数，或称传播子。
如 t' t 0 时刻，粒子处于 r 0 ，即 由上式得
(r' , t 0 ) (r'r 0 )
( r, t ) G( r, t; r ' , t 0 )( r' , t 0 )dr ' G( r, t; r 0 , t 0 )
* ˆ (r, P ˆ , t )(r, t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
*
由 乘 * * ˆ * ˆ i ( r, t ) H ( r, P, t ) ( r, t ) t
* ˆ * (r, P ˆ , t ) * ( r , t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
d i 2 * ( r , t ) d r ( )d r dt 2m i * ( ) ds 2m
北京大学量子力学课件_第4讲
p c ( p , t )d p c ( p , t ) p c ( p , t ) d p p
2
*
(r, t) 去求 P ， 则 若用
P ( r , t )( i ) ( r , t ) d r
这表明，如果不用 c( p, t ) 去求动量平均值， (r, t)去求 P ，则需要引进算符 而用
2 ˆ P * r ,t ) ( r ,t ) d r ( 2 m 2 * 2 ( r , t ) ( r , t ) d r 2 m
所以动量
2
ˆ P P i
2 2 2 2 2 ˆ P 2 ˆ T T ( 2 2 2 ) 2 m 2 m 2 m x y z
Ⅱ . 位置和位能的平均值 A．位置平均值 ( x ,y ,z ,t )是归一化波函数，则 x的平 设： 均值为
x ( r , t ) x ( r , t ) d r
B．位能平均值（假设位能表示中不依赖 动量）
*
V ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) d r
dx x 0 2( a x ) e 0 4 a
a
B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 ① 波函数必须连续； 2 (r,t) dr 有界， ② 有界：我们讲有界是指 即使是在某些孤立奇点（对于(r, t)）也 可能不违背波函数这一性质； 2 ③ 单值：实际上仅需 ( r, t ) 单值，即(r, t) 单值； ④ 在位势有限大小的间断处，波函数导数 ' ( x 0 , t ) ' ( x 0 , t ) 仍连续 0 0
i
北京大学量子力学课件_第7讲
2 p 2 z mgz E mgz 2 2m 2mz
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2
B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2
B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。
北京大学量子力学课件
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
和光电效应理论
（ 1） （ 2） （ 3）
光子概念 光电效应理论 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认 为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根 据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间 以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
北京大学量子力学课件 第八章 自旋与全同粒子
右乘σy
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系:
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
（二）光谱线精细结构
3p3/2 D1
58 93 Å 58 96 Å
钠原子光谱中的 一条亮黄线 5893Å， 用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其 实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中 也可以发现这种谱线由更 细的一些线组成的现象， 称之为光谱线的精细结构。 该现象只有考虑了电子的 自旋才能得到解释
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子) (CGS
四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
则，轨道回转磁比率为：
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆ x c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ ˆ F ( r , p) ˆ F
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系:
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
（二）光谱线精细结构
3p3/2 D1
58 93 Å 58 96 Å
钠原子光谱中的 一条亮黄线 5893Å， 用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其 实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中 也可以发现这种谱线由更 细的一些线组成的现象， 称之为光谱线的精细结构。 该现象只有考虑了电子的 自旋才能得到解释
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子) (CGS
四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
则，轨道回转磁比率为：
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆ x c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ ˆ F ( r , p) ˆ F
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
北京大学量子力学课件 第三章 一维定态问题
( 3) ( 4)
由（4）式
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
I.
sin 0 0
n a
2 E 2
2
则
cos 1
( n 0 , 1, 2 , )
sin a 0
因
a n
（4）由归一化条件定系数 A
| m | dx
2
a
a
| | dx
I 2 II | m |2 dx
a
a
| | dx
II 2 m
a
| III |2 dx
a
a 2 2 m a | A | sin 2a xdx 1 a | A |2 cos 2 m xdx 1 a 2a
II (a ) III (a )
•
l
A sin(a ) 0,
A sin(a ) 0 .
I -a
II 0 a
III
2）波函数导数连续：
l l
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是 因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连 续。
2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 2 dx [ d V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 2 dy
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. Wien 公式
能 量 密 度
Wien 线
0
5
10
(104 cm)
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
(2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（二）经典物理学的困难
但是这些信念，在进入20世纪以后， 受到了冲击。经典理论在解释一些新 的试验结果上遇到了严重的困难。
（1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
目录
第一章 量子力学的诞生 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 第三章 一维定态问题 第四章 量子力学中的力学量 第五章 态和力学量表象 第六章 近似方法 第七章 量子跃迁 第八章 自旋与全同粒子
附录 科学家传略
第一章 量子力学的诞生
• §1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
黑体：能吸收射到其上的全部辐
射的物体，这种物体就
能
称为绝对黑体，简称黑体。 量
密
度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发 出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔 壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所 吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
0
实验发现：
5
10
(104 cm)
RH
C
1 22
1 n2
n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：
RH
C
1 m2
1 n2
nm
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处
于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子 的能量分布就应有一种对应。作为辐射原 子的模型，Planck 假定：
（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
（三）Compton 散射 ——光的粒子性的进一步证实
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观 察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研 究导致了量子物理学的诞生。
总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使 人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在
这场物理学的危机中诞生。
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
（三）Compton 散射 ——光的粒子性的进一步证实
热平衡时，空腔辐射的能量密度， 与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和 材料无关。
能 量 密 度
Wien 线
0
5
10
(104 cm)
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
1. Wien 公式
从热力学出发加上一些 特殊的假设，得到一个 分布公式：
能 量 密 度
•该式称为 Planck 辐射定律
0
Planck 线
5
10
(104 cm)
对 Planck 辐射定律的
三点讨论：
d
8h
C3
3
exp(h
1 /
kT
)
1
d
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
d
8h 3
C3
exp(h
1 /