高考数学压轴题跟踪演练系列五
上海高考数学函数压轴题解析详解
，
化简得 ．
当 时，上式恒成立．
因此，在 轴上存在定点 ，使 ．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ．
(1)求 ；
(2)试比较 与 的大小（ ）；
(3)求证： ，（ ）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即 ．（3分）
∴ ．（当且仅当 时取等号）．
综上所述， ，（ ）．（14分）
在①中令 ，可得 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．（4分）
(2)由(1)可得 ．
．
∴ ，（5分）
．
而 ，且 ，
∴ ， ．
∴ ，（ ）．（8分）
(3)由(2)知 ， ，（ ）．
∴当 时， ．
∴
，（10分）
（当且仅当 时取等号）．
另一方面，当 ， 时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当 时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ， 所以
直线QN的方程为 ，又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入（1）可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
高考数学精编预测压轴题145题及详解
高考数学精编预测压轴题145题1．设函数()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。
（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。
2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．个 个4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、 (111)⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .6、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案
高考理科数学选填压轴题训题型一：集合与新定义 (2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S中，则下列选项正确的是( )．BA ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉SB ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈SC ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈SD ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。
题型二：平面向量（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．AA ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12]解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO1，P ′O1，故选A ．(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP|＜12，则|OA |的取值范围是( )．D A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝ 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<≤所以|OA |的取值范围是⎝，故选D ．(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
专题05-1平面向量第一季 高考数学压轴题必刷题(解析版)
x
4
, 2 4
4
，所以
{ 2
4
k
k 1
，
k Z ，解得 k 1 4
k 5（ k Z ）， 28
4
因为 0 1，当 k 0 时，
1 5 ，当 k 1 时，
4
8
0
1 8
，所以
0,
1 8
1 4
,
5 8
，故选
D．
17．设 a1, a2 , a3, a4 R ，且 a1a4 a2a3 1，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
则
（当且仅当
即
故 的最小值为 .
时取“=”）.
14．已知非零向量 满足 取值范围为（ ）
ABC D 【答案】B
，若函数
在 R 上存在极值，则 和 夹角的
10
【解析】 设 和 的夹角为
∵
在 上存在极值
∴
有两个不同的实根，即
∵
∴
，即
∵
∴ 故选 B
15．已知向量 与 的夹角为 ，
，
围是（ ）
【解析】
由
在
中，
C．
， ，
D．
，
,若点 在线段 (端点
1
在 上，
,
，
，
，可得
，
，
即
的取值范围是
3．点
是函数
范围是（ ）
A．
B．
【答案】B
，故选 C. 图象上的点，已知点
C．
D．
， 为坐标原点，则
的取值
4．在 中，
，
值时，
（）
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 高考解答题专项突破(五) 定点、定值、定线问题
[考情分析]从近几年的新高考试题来看，解析几何是高考的重点，通常以一大两小的模式命题．对解析几何大题的考查综合性较强、难度较大，通常作为两道压轴题之一．下面我们重点讲解一下解析几何部分常考问题的解题方法．第1课时定点、定值、定线问题考点一定点问题(多考向探究)考向1直接推理法求定点问题例1(2023·浙江校考模拟预测)已知点A(2，0)，B －65，－45M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ的中点时，证明：直线l过定点．解(1)由题意知a＝2，又椭圆经过B －65，－45代入可得14×－65＋1b2－452＝1，解得b2＝1，故椭圆M的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由题意知，当l⊥x轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx ＋m，y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则Δ＝64k2m2－16(m2－1)(4k2＋1)＝16(4k2－m2＋1)>0，即4k 2＋1>m 2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.直线AB 的方程为y ＝14(x －2)，令x ＝x 1，得1直线AD 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝x 1，得1，x 1－2x 2－2y 由P 是CQ 的中点，得x 1－22＝y 1＋x 1－2x 2－2y 2，即y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝12，即(kx 1＋m )(x 2－2)＋(kx 2＋m )(x 1－2)＝12[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]，即(1－4k )x 1x 2＋(4k －2m －2)(x 1＋x 2)＋4＋8m ＝0，即4m 2＋(16k ＋8)m ＋16k 2＋16k ＝0，所以(m ＋2k )(m ＋2k ＋2)＝0，得m ＝－2k －2或m ＝－2k .当m ＝－2k －2时，由4k 2＋1＞m 2，得k <－38，符合题意；当m ＝－2k 时，直线l 经过点A ，与题意不符，舍去．所以直线l 的方程为y ＝kx －2k －2，即y ＝k (x －2)－2，所以直线l 过定点(2，－2)．探索直线过定点时，注意讨论直线的斜率是否存在．若直线的斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋m ，然后利用条件建立m ，k 之间的等量关系，消元后借助于直线系的思想找出定点．1.(2023·福建名校联盟模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 的坐标为(3，－2)．已知点P 是抛物线C 上的动点，|PA |＋|PF |的最小值为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线PA 与C 交于另一点Q ，经过点B (3，－6)和点Q 的直线与C 交于另一点T ，证明：直线PT 过定点．解(1)若A 和F 在抛物线y 2＝2px 的同侧，则(－2)2<3×2p ，解得p >23.设点P 在准线上的射影为H ，于是|PF |＝|PH |.过A 作AH ′与准线垂直，垂足为H ′，故|PF |＋|PA |＝|PH |＋|PA |≥|AH ′|＝3＋p2＝4，当且仅当A ，P ，H 三点共线时取等号，由此得p ＝2>23，符合题意；若A 和F 在抛物线的异侧或A 在抛物线上，则p ≤23.由|PF |＋|PA |≥|AF |4，当且仅当A ，P ，F 三点共线(或A 与P 重合)时取等号，得到p ＝6±43(舍去)．综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设y直线QP 的斜率k QP ＝y 0－y 1y 20－y 214＝4y 0＋y 1，则其方程为yy 0＝4x ＋y 0y 1y 0＋y 1.同理可得直线QT 的方程为y ＝4x ＋y 0y 2y 0＋y 2，直线PT 的方程为y ＝4x ＋y 1y 2y 1＋y 2.将A (3，－2)，B (3，－6)分别代入直线QP ，QT 的方程，2＝12＋y 0y 1y 0＋y 1，6＝12＋y 0y 2y 0＋y 2，消去y 0，可得y 1y 2＝12，代入直线PT 的方程y ＝4x ＋y 1y 2y 1＋y 2，化简得y ＝4x ＋12y 1＋y 2＝4y 1＋y 2(x ＋3)，故直线PT 过定点(－3，0)．考向2逆推法求定点问题例2(2024·辽宁锦州一模)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ≥1)的离心率为22，其上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P l 交椭圆C 于A ，B 两点．试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解(1)由题意得，e ＝c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2b ，c ＝b .又|2ac －2|b 2＋4a 2＝23，a ＞b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2，故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB ＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.可得两圆交点为Q (－1，0)．由此可知，若以线段AB 为直径的圆恒过定点，则该定点为Q (－1，0)．下证Q (－1，0)符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，其方程为y ＝代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2），所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 12(1＋k 2)·x 1x 2＋－13k x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)k 2－189（k 2＋2）＋－13k 1＋19k 2＝0，故QA →⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上．综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0)．定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时．找出定点，再证明该点符合题意(运用斜率相等或者三点共线)或证明与变量无关．2.(2023·湖南长沙模拟)已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12，不在x轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交l 于点M ，N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．解(1)设P (x ，y )，依题意有（x －2）2＋y 2＝2|x －12|，化简可得E 的方程为x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上．若BC ⊥x 轴，则B (2，3)，直线AB 的方程为y ＝x ＋1，所以点M同理可得点N此时以MN为直径的圆的方程＋y2＝94，该圆与x轴交于点D1(2，0)和D2(－1，0)．下面进行验证：设直线BC的方程为x＝my＋2，＝my＋2，2－y23＝1，消去x，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，由题意，知3m2－1≠0，Δ>0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－12m3m2－1，y1y2＝93m2－1.因为直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)，所以点M同理可得，点N因为D1M→－32，D1N→－32，所以D1M→·D1N→＝94＋9y1y24（x1＋1）（x2＋1）＝94＋9y1y24[m2y1y2＋3m（y1＋y2）＋9]＝94＋813m2－1－36m23m2－1＋＝0.同理可得，D2M→·D2N→＝0.所以以线段MN为直径的圆过定点(2，0)和(－1，0)．考点二定值问题(多考向探究)考向1直接消参法求定值问题例3(2024·武汉调研)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．解(1)由题设知ca＝22，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝2，所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知x1x2≠0，则x1＋x2＝4k（k－1）1＋2k2，x1x2＝2k（k－2）1＋2k2，从而直线AP，AQ的斜率之和为k AP＋k AQ＝y1＋1x1＋y2＋1x2＝kx1＋2－kx1＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)1x1＋1x22k＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k＋(2－k)4k（k－1）2k（k－2）＝2k－2(k－1)＝2(为定值)．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．3.(2024·山西太原联考一)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与双曲线x22－y23＝1有相同的焦点，且C 的一条渐近线与直线x －2y ＋2＝0平行．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于点A ，B ，O 为坐标原点，试判断△AOB 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，请说明理由．解(1)设双曲线C 的焦距为2c (c >0)，＝2＋3＝5，＝a 2＋b 2，＝12，＝2，＝1，＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于直线l 与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，kx ＋m ，y 2＝1，得(4k 2－1)x 2＋8kmx ＋4m 2＋4＝0，则Δ＝64k 2m 2－4(4k 2－1)(4m 2＋4)＝0，可得1－4k2＝－m 2.设l 与x 轴的交点为－m k ，则S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12|OD |·|y A －y B |＝12|－mk|·|k |·|x A －x B |＝|－m |2·|x A －x B |，又双曲线两条渐近线的方程为y ＝±12x ，＝kx ＋m ，＝12x ，＝2m1－2k ，＝m1－2k，不妨令同理可得则S △AOB ＝|－m |2x A －x B |＝|－m |2·|2m 1－2k ＋2m 1＋2k |＝|－m |2·|4m 1－4k 2|＝|－m |2·|4m－m 2|＝2(定值)．考向2特殊转化法求定值问题例4(2023·张家口模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ，Q 位于y 轴两侧)，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值．解(1)由题意，a ＝4，＝b ，2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设点P 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，点Q 的坐标为(x Q ，y 0)，＋y 202＝1，y 20＝2，20＝4－2y 20，2Q ＝2－y 20.由直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，得点M由直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，得点N ，所以QM →x Q ，2y 0x 0＋2－y x Q ，QN →x Q ，－2y 0x 0－2－x Q ，所以QM →·QN →＝x 2Q ＋x 20y 20x 20－4＝2－y 20＋（4－2y 20）y 20－2y 20＝0，所以QM ⊥QN ，即∠MQN ＝90°，为定值．将一般问题转化为特殊问题的特征，比如角转化为斜率或向量的夹角，线段比转化为坐标比，然后利用题设条件解决问题．4.(2024·北京房山模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴的两个端点分别为A (－2，0)，B (2，0)，离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)M 为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，直线AM 交直线x ＝4于点N ，O 为坐标原点，过点O 且与直线BN 垂直的直线记为l ，直线BM 交y 轴于点P ，交直线l 于点Q ，求证：|BP ||PQ |为定值．解(1)由已知，得a＝2，又e＝ca＝c2＝32，所以c＝3，所以b＝a2－c2＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，y1≠0，则x214＋y 21＝1，x21＋4y21＝4，直线AM的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，令x＝4，得y＝6y1 x1＋2，即k BN＝6y1x1＋24－2＝3y1x1＋2，因为l⊥BN，所以k l＝－x1＋23y1，直线l的方程为y＝－x1＋23y1x.因为直线BM的方程为y＝y1x1－2(x－2)，令x＝0，得y＝－2y1x1－2，即，＝－x1＋23y1x，＝y1x1－2（x－2），及x21＋4y21＝4，＝－6，＝2（x1＋2）y1，即6所以|BP||PQ|＝|x P－x B||x Q－x P|＝|0－2||－6－0|＝13，为定值．考点三定线问题例5(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．解(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝25，则由e＝ca＝5可得a＝2，b＝c2－a2＝4，故C的方程为x24－y216＝1.(2)证法一：由(1)可得A 1(－2，0)，A 2(2，0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然直线MN 的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为x ＝my －4，且－12<m <12，与x 24－y 216＝1联立可得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0，且Δ＝64(4m 2＋3)>0，则y 1＋y 2＝32m 4m 2－1，y 1y 2＝484m 2－1，直线MA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线NA 2的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，联立直线MA 1与直线NA 2的方程可得，x ＋2x －2＝y 2（x 1＋2）y 1（x 2－2）＝y 2（my 1－2）y 1（my 2－6）＝my 1y 2－2（y 1＋y 2）＋2y 1my 1y 2－6y 1＝m ·484m 2－1－2·32m 4m 2－1＋2y 1m ·484m 2－1－6y 1＝－16m 4m 2－1＋2y 148m 4m 2－1－6y 1＝－13，由x ＋2x －2＝－13可得x ＝－1，即x P ＝－1，据此可得，点P 在定直线x ＝－1上．证法二：由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 214－y 2116＝1，即4x 21－y 21＝16.如图，连接MA 2，k MA 1·k MA 2＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝4x 21－16x 21－4＝4.①由x 24－y 216＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16[my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)·16[my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83(x －2)my －83(x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43＋8m 3·y x －2－y x －2＝0，即y x －2－8m 3·y x －2－43＝0.k MA 2＝y 1x 1－2，k NA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得k MA 2·k NA 2＝－43.②由①②可得k MA 1＝－3k NA 2.l MA 1：y ＝k MA 1(x ＋2)＝－3k NA 2(x ＋2)，l NA 2：y ＝k NA 2(x －2)．y ＝－3k NA 2（x ＋2），y ＝k NA 2（x －2），解得x ＝－1.所以点P 在定直线x ＝－1上．定线问题的求解思路定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题．这类问题的核心在于确定点的轨迹，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标的关系．5.(2024·江西赣州模拟预测)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AM ，AN ，BC ，BD 分别垂直于坐标轴，垂足依次为M ，N ，C ，D .(1)若矩形ANOM 和矩形BDOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的值；(2)求证：直线MN 与直线CD 的交点在定直线上．解(1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为x ＝my ＋1，＝my ＋1，2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，矩形ANOM 和矩形BDOC 的面积分别为S 1＝|x 1y 1|＝|y 31|4，S 2＝|x 2y 2|＝|y 32|4，所以S 1·S 2＝|y 31|4·|y 32|4＝|（－4）3|16＝4.(2)证明：由(1)得M (x 1，0)，N (0，y 1)，C (x 2，0)，D (0，y 2)，于是得直线MN 的方程为y ＝－y 1x 1x ＋y 1，直线CD 的方程为y ＝－y 2x 2x ＋y 2，＝－y 1x 1x ＋y 1，＝－y 2x 2x ＋y 2，消去y ，整理得＝y 1－y 2，而y 1x 1－y 2x 2＝y 1y 214－y 2y 224＝4（y 2－y 1）y 1y 2＝y 1－y 2，因此有x ＝1，即直线MN 与直线CD 的交点在直线x ＝1上．所以直线MN 与直线CD 的交点在定直线x ＝1上．课时作业1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，P 为椭圆上一动点，△PF 1F 2面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点．证明：OM →·ON →为定值．解(1)当P 为短轴端点时，△PF 1F 2的面积最大，即bc ＝2，＝22，＝2，＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝c ＝2，故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由(1)知，C (－2，0)，D (2，0)，设直线CM ：y ＝k (x ＋2)，N (x 1，y 1)，因为MD ⊥CD ，所以M (2，4k )，＋y 22＝1，k （x ＋2），整理，得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，由根与系数的关系，得－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，则x 1＝2－4k 22k 2＋1，y 1＝k (x 1＋2)＝4k 2k 2＋1，所以OM →·ON →＝2×2－4k 22k 2＋1＋4k ×4k 2k 2＋1＝4，故OM →·ON →为定值4.2．(2023·广东茂名五校联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，不过原点的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，点M 在准线l 上的射影为N ，当AF →＝FB →时，|AN |＝22.(1)求抛物线C 的方程；(2)当NA →·NB →＝1时，求证：直线AB 过定点．解(1)当AF →＝FB →时，AB ⊥x 轴且AB 过点F ，不妨设A在x轴上方，则此时－p 2，因为|AN|＝22，＋p2＝8，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n，M(x0，y0)，2＝4x，＝my＋n，化简，得y2－4my－4n＝0，Δ＝16(m2＋n)>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，y0＝y1＋y22＝2m，N(－1，2m)，NA→1，y1－2 NB→1，y2－2NA→·NB→(y1－2m)(y2－2m)＝y21y2216＋（y1＋y2）2－2y1y24＋1＋y1y2－2m(y1＋y2)＋4m2＝n2＋16m2＋8n4＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1，若NA→·NB→＝1，则n2－2n＋1＝1，解得n＝0(舍去)或n＝2，所以直线AB过定点(2，0)．3．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率是53，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．解(1)＝2，2＝b2＋c2，＝ca＝53，＝3，＝2，＝5，所以C的方程为y29＋x24＝1.(2)证明：由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ ：y ＝k (x ＋2)＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y ＝k （x ＋2）＋3，y 29＋x 24＝1，消去y 得(4k 2＋9)x 2＋8k (2k ＋3)x ＋16(k 2＋3k )＝0，则Δ＝64k 2(2k ＋3)2－64(4k 2＋9)(k 2＋3k )＝－1728k >0，解得k <0，可得x 1＋x 2＝－8k （2k ＋3）4k 2＋9，x 1x 2＝16（k 2＋3k ）4k 2＋9，因为A (－2，0)，则直线AP ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝0，解得y ＝2y 1x 1＋2，即M 0，2y 1x 1＋2同理可得N0，2y 2x 2＋2，则2y 1x 1＋2＋2y 2x 2＋22＝k （x 1＋2）＋3x 1＋2＋k （x 2＋2）＋3x 2＋2＝[kx 1＋（2k ＋3）]（x 2＋2）＋[kx 2＋（2k ＋3）]（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝2kx 1x 2＋（4k ＋3）（x 1＋x 2）＋4（2k ＋3）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝32k （k 2＋3k ）4k 2＋9－8k （4k ＋3）（2k ＋3）4k 2＋9＋4（2k ＋3）16（k 2＋3k ）4k 2＋9－16k （2k ＋3）4k 2＋9＋4＝10836＝3，所以线段MN 的中点是定点(0，3)．4．(2024·山东泰安模拟)已知曲线C 上的动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，且F 1(－2，0)，F 2(2，0)．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线AB与C交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，两切线交于点P′.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立．①直线AB经过定点M(4，0)；②点P′在定直线x＝14上．解(1)因为|PF1|－|PF2|＝2<4＝|F1F2|，所以曲线C是以F1，F2为焦点，2为实轴长的双曲线的右支，所以2a＝2，即a＝1，又因为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以c＝2，得b2＝3，所以曲线C的方程为x2－y23＝1(x≥1)．(2)若选择①，证明②成立．依题意，点A，B在双曲线右支上，此时直线AB的斜率必不为0，设直线方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为x2－y23＝1(x≥1)，所以y21＝3x21－3，且y＝3x2－3，求导得y′＝3x3x2－3，所以过点A的切线方程为y－y1＝3x13x21－3(x－x1)，化简得yy1＝3x1x－3，(ⅰ)同理yy2＝3x2x－3，(ⅱ)联立方程(ⅰ)(ⅱ)，＝y2－y1x1y2－x2y1，＝3x2－3x1x1y2－x2y1，所以P因为点A，B在直线AB上，所以x1＝my1＋4，x2＝my2＋4，所以x1y2＝my1y2＋4y2，x2y1＝my1y2＋4y1，所以点P′的横坐标为y2－y1x1y2－x2y1＝y2－y14（y2－y1）＝14，点P′的纵坐标为3x2－3x1x1y2－x2y1＝3m（y2－y1）4（y2－y1）＝3m4.即点P′在定直线x＝14上．若选择②，证明①成立．不妨设A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为x2－y23＝1(x≥1)，所以y21＝3x21－3，且y＝3x2－3，求导得y′＝3x3x2－3，所以过点A的切线方程为y－y1＝3x13x21－3(x－x1)，化简得yy1＝3x1x－3，(ⅰ)同理yy2＝3x2x－3，(ⅱ)联立方程(ⅰ)(ⅱ)得，交点P′的横坐标为y2－y1x1y2－x2y1，由题意，知y2－y1x1y2－x2y1＝14，即x1y2－x2y1＝4y2－4y1＝4(y2－y1)．(ⅲ)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以直线AB的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，整理得x1y2－x2y1＝(y2－y1)x＋(x1－x2)y.联立(ⅲ)式可得(y2－y1)(x－4)＋(x1－x2)y＝0，易知x＝4，y＝0，即直线AB经过定点M(4，0)．5.(2023·河南郑州统考二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y －1＝0上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆(x－1)2＋y2＝1交于点P，Q(异于点O)，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2.①求证：k1·k2为定值；②求证：直线PQ恒过定点．解(1)易知直线2x＋4y－1＝0与x所以p2＝12，p＝1，则抛物线的标准方程为y2＝2x.(2)证明：①设直线MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，＝my＋4，2＝2x，得y2－2my－8＝0，所以y1y2＝－8，21＝2x1，22＝2x2，所以y21y22＝4x1x2＝64，即x1x2＝16，则k1·k2＝y1x1·y2x2＝－816＝－12.②设直线PQ的方程为x＝ty＋n，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，＝ty＋n，x－1）2＋y2＝1，得(t2＋1)y2＋2t(n－1)y＋n2－2n＝0，所以y3＋y4＝－2t（n－1）t2＋1，y3y4＝n2－2nt2＋1，k1·k2＝y3x3·y4x4＝y3y4（ty3＋n）（ty4＋n）＝y3y4t2y3y4＋nt（y3＋y4）＋n2＝－12，整理得n－2n＝－12，n＝43，所以直线PQ6．(2023·山西阳泉统考二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)经过点D(4，3)，直线l1，l2是双曲线C的两条渐近线，过D分别作l1和l2的平行线l1′和l2′，直线l1′交x轴于点M，直线l2′交y轴于点N，且|OM|·|ON|＝23(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)设A1，A2分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点F的直线交双曲线C于P，Q两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 交于点G ，证明：点G 在定直线上．解(1)由题意，得16a 2－9b 2＝1，所以16b 2－9a 2＝a 2b 2，不妨设直线l 1的方程为y ＝b a x ，则直线l ′1的方程为y －3＝b a(x －4)，在直线l 1′的方程中，令y ＝0，可得x ＝4－3a b ，即点－3a b ，同理可得，3所以|OM |·|ON |＝＝|16b 2－9a 2ab |＝ab ＝23，b 2－9a 2＝a 2b 2，＝23，2＝4，2＝3.因此双曲线C 的方程为x 24－y 23＝1.(2)证明：由(1)得A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F (7，0)，若直线PQ 与x 轴重合，则P ，Q 为双曲线的顶点，不符合题意．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋7，＝my ＋7，x 2－4y 2＝12，可得(3m 2－4)y 2＋67my ＋9＝0，m 2－4≠0，＝36×7m 2－36（3m 2－4）＝144（m 2＋1）>0，解得m ≠±233，所以y 1＋y 2＝－67m3m 2－4，y 1y 2＝93m 2－4，直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线A 2Q 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，联立直线A 1P 与A 2Q 的方程，可得y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)，所以x ＋2x －2＝y 2（x 1＋2）y 1（x 2－2）＝y 2（my 1＋2＋7）y 1（my 2＋7－2）＝my 1y 2＋（2＋7）y 2my 1y 2＋（7－2）y 1＝9m 3m 2－4＋（7＋2－67m 3m 2－4y 9m 3m 2－4＋（7－2）y 1＝－33m ＋127m 3m 2－4－（7＋2）y 19m 3m 2－4＋（7－2）y 1＝－（11＋47）3m 3m 2－4－（11＋47）7＋211＋47y 13×3m2－4＋3×7－2y 1＝－11＋473，解得x ＝477，因此点G 在定直线x ＝477上．。
高考数学新定义压轴题模仿
高考数学新定义压轴题模仿一、新定义压轴题的特点高考数学里的新定义压轴题那可真是个神奇的存在呢。
它呀，就是那种会突然给你个新的概念或者规则，然后让你根据这个来解题。
就像是突然把你丢到一个陌生的数学小世界里，你得先搞清楚这个世界的规则，才能在里面畅游解题。
比如说，它可能会定义一种新的函数关系，或者一种奇特的几何图形关系。
这种题目的难点就在于要快速理解这个新定义，然后把它和咱们学过的老知识结合起来。
二、模仿出题思路1. 函数类新定义题目：设函数f(x)有一个新定义：对于任意的实数x，若f(x + 1) - f(x)的值恒为一个固定常数k，且f(0)=1，求f(5)的值。
(10分)解析：因为f(x + 1) - f(x)=k，那么f(1) - f(0)=k，已知f(0)=1，所以f(1)=1 + k。
同理，f(2) - f(1)=k，即f(2)=f(1)+k = 1 + 2k。
以此类推，f(5)=1+5k。
2. 几何类新定义题目：在平面直角坐标系中，定义一种新的图形“类菱形”，它满足四条边长度相等，但相邻两边的夹角不为90度。
已知点A(0,0)，B(3,3)，C(6,0)，判断三角形ABC是否能构成“类菱形”的一部分，如果能，求出需要补充的点坐标。
(15分)解析：首先计算AB的长度，根据两点间距离公式可得AB =√[(3 - 0)²+(3 - 0)²]=3√2。
同理BC = 3√2，AC = 6。
因为AB = BC，所以三角形ABC有可能是“类菱形”的一部分。
要构成“类菱形”，可以在AC的垂直平分线上找一点D，设D的坐标为(x,y)，根据垂直平分线的性质和AD = AB，列出方程求解得到D的坐标。
3. 数列类新定义题目：定义一个新数列{an}，满足a1 = 1，an+1 = an + 2n，求数列{an}的前5项和。
(10分)解析：先根据递推公式求出数列的前几项。
a1 = 1，a2 = a1+2×1 = 3，a3 = a2+2×2 = 7，a4 = a3+2×3 = 13，a5 = a4+2×4 = 21。
2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(学生版)
2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。
高考数学压轴题精选精编附详细解答试题
2021年高考数学压轴题精选精编附详细解答1、〔本小题满分是14分〕如图，点(4,0)N p -〔p >0,p 是常数〕，点T 在y 轴上，0MT NT ⋅=，MT 交x 轴于点Q ，且2TM QM =.〔Ⅰ〕当点T 在y 轴上挪动时，求动点M 的轨迹E 的方程；(4分) 〔Ⅱ〕设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点，过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线，垂足分别为12,,A A 求证：OF 是1OA 和2OA 的等比中项；〔5分〕(Ⅲ) 对于该轨迹E ，能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分？假设存在，求出直线CD 的方程；假设不存在，试说明理由。
〔5分〕2、〔本小题满分是14分〕设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有).()()(y f x f y x f =+ 〔Ⅰ〕求)0(f ；〔2分〕(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，假设存在，求出该最大值，假设不存在说明理由；〔5分〕〔Ⅲ〕设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--又设1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ，试比拟S n 与 n T 的大小.〔7分〕3、〔此题满分是13分〕椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如下图). 〔I 〕务实数t 的值；〔II 〕假设3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S =-⋅∠求直线l 的方程.4、〔此题满分是14分〕数列{}n a 的前n项和nS 满足11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式34().n b n n N *=-∈〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕试比拟n a 与n b 的大小,并加以证明；〔III 〕是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.5、(本小题满分是14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经历，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛完毕．设全局比赛互相间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数〔不计甲负乙的局数〕，求ξ〕．6、(本小题满分是14分)数列{}n a 的前n 项和为S n *()n N ∈，点〔a n ，S n 〕在直线y =2x -3n 上．〔1〕假设数列{}的值求常数成等比数列C c a n ,+；〔5分〕〔2〕求数列}{n a 的通项公式；〔3分〕〔3〕数列{}请求出一组若存在它们可以构成等差数列中是否存在三项,?,n a 合适条件的项；假设不存在，请说明理由．〔6分〕7、〔本小题14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 〔1〕问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；(5分) 〔2〕求n S 和n a ；(5分)〔3〕求证：nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++ (4分)8、〔本小题满分是14分〕函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. 〔Ⅰ〕假设b ＝2，且h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(7分) 〔Ⅱ〕设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. (7分)9、〔本小题满分是14分〕设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P . 〔Ⅰ〕当1m =时，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，假如弦长12A A 等于三角形12PF F 的周长，求直线l 的斜率.〔Ⅱ〕求最小实数m ，使得三角形12PF F 的边长是自然数．10、〔本小题满分是14分〕〔Ⅰ〕函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;〔Ⅱ〕证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；〔Ⅲ〕定理:假设123,,ka a a a 均为正数,那么有123123()n n nn n kka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．11、本小题满分是14分〕如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．〔Ⅰ〕求双曲线M 的HY 方程；〔Ⅱ〕假设直线y kx m =+〔0k ≠，0m ≠〕与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，务实数m 的取值范围．12、本小题满分是14分函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+〔其中e 为自然对数的底，a ∈R 〕．〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式； 〔Ⅱ〕设ln ||()||x g x x =〔[,0)(0,]x e e ∈-〕，求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； 〔Ⅲ〕试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？假如存在，求出实数a 的值；假如不存在，请说明理由．13、〔小题满分是14分〕锐角α、β满足sin cos()m βαβ=+〔0m >，2παβ+≠〕，令tan y β=，tan x α=。
理科高考数学立体几何选择填空压轴题专练
立体几何选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD【答案】A【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE ，所以该正六边形的面积为26434⨯⨯=，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为4，故选A ． 2．如图，矩形ABCD 中， 2AB AD =， E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连BF,MF,如下图：可知面MBF// 1A DE ,所以A 对。
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备战高考数学――压轴题跟踪演练系列五
1．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，
满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF
2
的正切值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用
数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为).,(yx
由P),(yx在椭圆上，得
.)()()(||222222221xacaxabbcxycxPF
由0,acxacaax知，所以 .||1xacaPF………………………3分
证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF
则.)(,)(222221ycxrycxr
由.||,4,211222121xacarPFcxrrarr得
证法三：设点P的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0xaca
由椭圆第二定义得accaxPF||||21，即.||||||21xacacaxacPF
由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为).,(yx
当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
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当|0||0|2TFPT且时，由0||||2TFPT，得2TFPT.
又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，aQFOT||21||1，所以有.222ayx
综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx…………………………7分
解法二：设点T的坐标为).,(yx 当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|0||0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.
又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（yx,），则.2,2yycxx
因此.2,2yycxx ①
由aQF2||1得.4)(222aycx ②
将①代入②，可得.222ayx
综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是
.||221,2022020byc
ayx
由③得ay||0，由④得.||20cby 所以，当cba2时，存在点M，使S=2b；
当cba2时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当cba2时，),(),,(002001yxcMFyxcMF，
由2222022021bcaycxMFMF，
212121
cos||||MFFMFMFMFMF
，
2
2121
sin||||21bMFFMFMFS
，得.2tan21MFF
解法二：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是
③
④
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.||221,2022020byc
ayx
由④得.||20cby 上式代入③得.0))((2224220cbacbacbax
于是，当cba2时，存在点M，使S=2b；
当cba2时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，
由,2||21aFF知9021MFF，所以.2|1|tan212121kkkkMFF…………14分
2．（本小题满分12分）
函数)(xfy在区间（0，+∞）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf 设
mkxyx),,0(0是曲线)(xfy在点（)(,00xfx
）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg
（Ⅰ）用0x、)(0xf、)(0xf表示m；
（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0xfxgx时；
（Ⅲ）若关于x的不等式),0[231322在xbaxx上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大
小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：).()(000xfxxfm…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00xhxfxfxhxfxgxh则
因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0xhxx时；
当0)(,0xhxx时.所以0x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的
最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg…………………………6分
（Ⅲ）解法一：10b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
0)1(,122baxxbaxx即
对任意),0[x成立的充要条件是
.)1(221ba
③
④