一类时滞双曲型偏微分方程组解的振动性

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云南师范大学学报 （ 自然科学版 ）
第２ ７卷
（ ５ ｃ（）Ｄ （） Ｃ ［ ， ；０ ｏ ） ｃ ） ｉｔ ， ｔ ∈ （ ０ ∞） ［ ， ） 。
定 义 ｌ 一个 定 义在 ×［ ∞ ） 的实值 可微 函数 Ⅱ ，） 为是 振 动 的 ， ０， 上 （ ｔ称 如果 对 每 一个 ａ＞ ， ０ 都
ｌ ｍ都 ≥
（ ） （ ０ （ ） ｆ（ ） （ ０ ，，， 并 且 存 在 常数 Ｍ ＞ 使 得 对 任何 ∈ “ ， “＞ ） “ － ｊ “ ，“＜ ） ∈， ＜ ， ０，
收 稿 日期 ：０ ６— ４— ４ ２０ ０ ２
基金项 目： 湖南省 自然科学基金 资助项 目（５Ｊ００ ） ０ Ｊ ０ ８ ４ 作者简介 － 高正 晖（９ ９ ） ， １５ 一 男 湖南省衡 阳市人 ， 副教授 ， 主要从 事微分方程教学与研究工作
引理 若有 函数 （） ￡：
一 ７
，
， 中， ￡ ∈ｃ ［ ， ；０ ∞） ，（） ０ Ｖ（）＞ ， ￡ 其 （） （ ０ ∞） （ ， ） 口 ￡ ＞ ， ，￡ ０ （ ＞
则存在 ｔ＞ 当 ￡ ￡时， （ ＞ 且 （ ≤ ｏ ， ＞。 有 ￡ ０ ） ￡ ）
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ｌ 三
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第 ２ 卷第 Leabharlann ７ 期 ２０ ０ ７年 ９月
云 南师 范大 学学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ａ ｏｍａ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒａ ｆＹｕ ｎ ｎ Ｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｔ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １２ ５ Ｓ ｐ．２ ０ ｅ ０７
一
类 时滞 双 曲型 偏 微 分 方 程 组解 的 振 动 性
高 正晖 罗李平
（ 阳师范学 院 数学 系 湖南 衡 阳 ４ １０ ） 衡 ２０ ８
摘 要 ： 获得 了一类非线性 时滞 双曲型偏 微分方程组解的振动性 的若干充分条件 。 关 键 词 ： 双曲型偏微分方程组 ； 线性 ； 非 时滞 ； 振动性 。 中图分类号 － Ｏ ７．７ １５２ ＭＲ（００ ：５０ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １０ ９９ （０７０ ０１ — ４ ２０ ）３Ｂ ５ ０７— ７３ ２Ｏ ）５— ０７ ０
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删
（ ２ ）
【 ，）∈力×［ ， ） （ ｔ ０ ∞ ；Ｇ，∈Ｉ ｉ ｍ＝｛ ，Ａ， １２ ， ｎ｝ 获得 了该 方程 组在 边值 条件
ｆ ｇ ， ，＝ ÷＋（ｚ（ｚ ０ 生 。 ） ） “
【 ｔ ×［ ， ，∈， （ ）∈ ， ０ ∞） ｉ ＝｛ ，Ａ， １２ ， ｎ｝ 下解 的振 动性 的一个 充分 条件 ， 中 Ⅳ是 ａ 的单 位 法 向量 ， 且 ｇ（ ｔ是 ×［ ， 上 的非 负 其 并 ） ， ０ ∞） 连续 函数 。 对 于方 程组 （ ）假 定成 立 下列 条件 ： １， （ １ Ａ（ ｔ ∈Ｃ（ ；０， ） ，。ｔ￣ ｎ Ａ（ ｔ， 力｝ ０ ∈Ｉ ｃ ） ，） ［ ∞ ）Ａ（） ｍｉ｛ ，） ∈ ＞ ， ｍ＝｛ ，， ，｝ ＿ １２ Ａ， ｎ （２ Ｂ （ ｔ ｃ ） ， ）∈Ｃ（ ；０， ） ， ｔ￣ｍｎ Ｂ ｔ ， 力｝并 且 ［ ∞ ）Ｂ （） ｉ｛ ｉ ，） ∈ ， ＿ （
２ 主要 结果 及 证 明
足理 对 于方程 组 （ ） 边值 条 件 （ １及 ２）， 件 （ ） （ ５ 成 立 ， 满 足 （ ＇ ｏ 存 在 函 数 （ ）∈Ｃ 条 Ｃ・ 一 Ｃ ） 看 ６ ６） ｔ
（０ ∞） （ ， ）使得 ｛ （） （ ） ［ ， ；０ ∞） ， ｓ Ｑ 一
存在一点（。ｔ ∈ ×［ ， ， ，） 。 ａ ∞）使得 ｕ ｘ， ） ０ 否则 Ⅱ ， 称为是非振动的。 （。ｔ ＝ ， 。 （ ｔ ）
定 义 ２ 一个 定 义在 ×［ ， ） ０ ∞ 上具有 可微 分 量 的 Ｒ 一实值 向量 函数 ｕｘｔ （ ，）＝｛。 ，） Ⅱ（ ｔＡ， ，） 称 为是 振 动 的 ， Ⅱ（ ｔ ， ，） Ⅱ （ ｔ 如果 在定 义 １的意义 下 ， 至少 有一 个 ｕ ｘ （， ｔ的分量是 振 动 的 ， ） 否则 Ⅱ ，） 为是非振 动 的 。 （ ｔ称
『 ＋（） ）差（） （－） ＿ ‘ Ａ ，。ｚ Ｘ ＇ 兰 ｚ（ ＋ ，（ ，／ “， ｚ ｔ＂ ）
ｊ
Ｉ Ｃ ｔ ｕ ｚ＋ Ｄ（ａ ， ＝ ） ， ， ） （ ｚ （ａ （ ） ｔ ｕ 一
【 ，） （ ｔ ∈力×［ ， Ｇ，∈Ｉ ０ ∞） ｉ ｍ＝｛ ，以， １２ ｍ｝ 解 的振 动性作 一些 研究 ， 中 其
１ 引 言
由 于泛 函微 分方 程在 自然科学 和 工程技 术 方 面的广 泛应 用 ， 对泛 函微 分方 程 的研究 发展 非常迅 速 。 时滞 双 曲型偏微 分方 程解 的振 动 性 ， 很 多学 者 作 了大量 的研 究 ， 得 了许 多 成 果 ［＿４］然 而 ， 时 有 获 １＿ ， 对 滞双 曲型偏 微分 方程 组解 的振 动性 的研 究 成 果 却不 多 见 ［ ， 文 将 对一 类 非 线性 时滞 双 曲型偏 微 分 ６］本 方 程组
船 （） ｚ－
ｊ
（） ＞ ，∈ ｚ｝ ０ ，
≠ｉ －
（ ３ （ ）∈Ｃ （ ， ） （ ， ） ， （ ）＞ ， “ ｃ） “ （ ０ ∞ ；０ ∞ ） “ ０ （ ≠０）并 且 （ ） 区间 （ ， ） 正 的单 调增 加 ， “是 ０∞ 上
的凸 函数
（ ４ （ ） Ｃ ） “
｝ ：∞， （ ０ 。其 中 Ｑ ￡ ： ｉｍ ＞ ） （） Ｍ
， ｍ
ｉ ） ｎ ￡喜 一 ｔ Ｂ
（） ， ｆ ｝则方 程组 （ ） １ 在边值 条 件 （ ） 的所 有解 在 Ｇ内振 动 。 ２下 证明 （ 反证 法 ） 设 Ⅱ ，） Ⅱ （ ，） ，） Ｕ （ ｔ ｝ 方 程 组（） 假 （ ｔ ：｛。戈 ｔⅡ （ ｔＡ，ｍ ，） 是 １的非振 动解 ， 不妨 设 ￡ ≥ ａ＞ ， ８ ：ｇ ｕ（ ｔ ， ，）： ｉｉ ｔ ，∈ ｍ 贝 （ ｔ ０ ０ 令 ｓｎ ｉ ） （ ｔ ８Ⅱ（ ）ｉ ｌ ，０ ，）＞ ， ， 对方程 组 （ ） １ 在 上关 于 积分 ， 于是 当 ｔ ≥口＞ ０时可得