高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第九节 曲线与方程)

第九节 曲线与方程

一、基础知识

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；

(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.

(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.

坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．

考点一 直接法求轨迹方程

1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→

，则动点P 的轨迹C 的方程为( )

A ．x 2＝4y

B ．y 2＝3x

C ．x 2＝2y

D ．y 2＝4x

解析：选A 设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，

∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，

∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .

2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－1

3

.则动点P 的轨迹方程为________________．

解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)．

设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－1

3，

化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．

故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)

3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．

解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫

x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y

22＝9， 即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，

∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)

考点二 定义法求轨迹方程

[典例精析]

已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．

[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .

因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，

所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2

3

＝1(x ≠－2)．

[解题技法]

定义法求曲线方程的2种策略

(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．

(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．

[题组训练]

如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．

解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q|＋|AP |＋|B Q|＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)． 设曲线M ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，

则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22

＝3， 所以曲线M 的方程为x 24＋y 2

3＝1(y ≠0).

考点三 代入法(相关点)求轨迹方程

[典例精析]

如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .

(1)求p 的值；

(2)求动点M 的轨迹方程．

[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，

设C ⎝⎛⎭⎫y 2

12，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 2

22，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 2

1

2， 代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 1

2，

同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 2

2

.