解析法在中学几何题中的应用
解析法在中学几何题中的应用
1. 解析法在中学几何题中应用的简介
解析法，又称为几何分析法，是一种求解几何问题的数学方法，它是依据元素、定理、定律和46种基本图形几何定性表达，结合解题过程中的分析、推理和转化，最终将几何图形、概念及表达结构与数学计算、推理相结合，通过用计算出来的量解出几何图形、关系，以达到求出几何问题答案的过程。在中学几何实际题目中，解析法及其方法也同样受到重视，它既可以用来求得几何图形、关系的证明及定性，又可以将其转化成数字问题，从而定性地解决定量问题，能够有效地解决复杂的几何问题。
2. 解析法在中学几何题中的应用
（1）求解图形的定性性质：中学几何实际应用题目中，有许多要求学生确定具体的图形的性质的题目，在数学上的定性表达可以采用解析法来解答，它以理性的思维来推导结果，锻炼学生的数学思维和认知能力；
（2）证明图形的性质：在几何实际应用题目中，解析法能够将直观的图形数学推理联系起来，将若干复杂的定理和结论整合利用起来给出正确的证明，能够更全面深入地深入理解几何定理和结论；
（3）求解图形的定量性质：解析法将几何图像转化成数学模式，可以解决定量的几何问题，它利用简单的几何知识将直接确定的量和间接求得的量解出几何形式，有效地实现了几何思想和数学理论的统一。
3. 解析法在中学几何题中能带来的好处
（1）熟悉几何定理及其证明：通过解析法用思维推导和证明，对几何
图形的概念、性质、习题的解法等可以建立较为深刻的认知；
（2）灵活应用经典定理：用解析法推导、证明和理解问题，可以灵活
运用所学经典定理；
（3）锻炼抽象和归纳能力：解析法通过从具体的事例向一般的规律抽象、归纳，引导学生分析图形关系，提高学生的抽象思维能力和归纳
能力；
（4）提升数学解题能力：解析法将几何知识和数学思维有机结合，提
高数学解题能力，提供了一种更加科学有效地解决几何问题的新思路。
几何解析法
几何解析法 几何解析法是一种通过数学几何的方法来解决问题的技术。它将几何问题转化为代数问题，通过运用代数的性质和技巧来求解。几何解析法在数学、物理等领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析问题。 一、几何解析法的基本原理 几何解析法的基本原理是将几何图形中的点用坐标表示，通过坐标的运算和代数的方法来研究几何问题。在平面几何中，我们可以用直角坐标系来表示一个点的位置，其中x轴和y轴分别代表了水平和垂直的方向。在空间几何中，我们可以用三维直角坐标系来表示一个点的位置，其中x轴、y轴和z轴分别代表了水平、垂直和深度的方向。 二、几何解析法的应用 1. 几何定理的证明：通过几何解析法，我们可以更直观地解释和证明各种几何定理。例如，我们可以通过坐标的运算来证明平行线的性质，或者证明相似三角形的性质。 2. 图形的性质分析：通过几何解析法，我们可以分析和研究各种图形的性质。例如，我们可以通过坐标的运算来计算图形的面积、周长和中心点的位置，从而更好地理解和描述图形的特征。
3. 几何问题的求解：通过几何解析法，我们可以求解各种几何问题。例如，我们可以通过坐标的运算来求解两条直线的交点、两个图形的重叠部分或者一个图形的对称图形。 三、几何解析法的优缺点 几何解析法的优点是可以通过代数的方法来求解几何问题，使问题更具有普遍性和一般性。几何解析法还可以通过坐标的运算和代数的技巧来解决复杂的几何问题，提高问题的求解效率。 然而，几何解析法也有一些缺点。首先，几何解析法需要使用坐标系和代数运算，对于一些几何问题来说可能会增加一定的复杂性。其次，几何解析法的应用范围相对有限，对于一些非线性和非平面的几何问题可能无法有效地求解。 四、几何解析法的案例分析 为了更好地理解几何解析法的应用，我们可以通过一个案例来进行分析。假设我们需要求解一个平面上的三角形的面积。我们可以将三角形的三个顶点用坐标表示，然后通过坐标的运算来计算三角形的面积。具体的步骤如下： 1. 假设三角形的三个顶点分别为A、B和C，它们的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。
解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座
【高中数学竞赛讲座2】 解析法证明平面几何 解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范． 解析法的主要技巧： 1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式； 2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算． 例1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍． 例2、给定任一锐角三角形ABC 及高AH ，在AH 上任取一点D ,连结BD 并延长交AC 与E ,又连CD 且延长交AB 于F .证明：∠AHE =∠AHF ． 例3、在ABC ∆的边AB 上取点1B ,AC 取点1C ,使 1AB AB λ=，1AC u AC =．再在11B C 上取点1D ,使1111B D m D C n =（λ，u ，m ，n 都是实数）．延长1A D 交BC 于D ，求BD DC ．
例4、如图，菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，在弧EF 与GH 上分别作圆O 的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ，求证： MQ ∥NP ． 例5、[29届IMO ]在Rt ABC ∆中，AD 是斜边上的高，M 、N 分别是ABD ∆与ACD ∆与的内心，连接MN 并延长分别交AB 与AC 于K 及L ．求证明、：2ABC AKL S S ∆∆≥．
课后拓展训练与指导 钻研《教程》293~302 例1、例2、例3、例7、例8 思考并完成《高二教程》303练习题 补充几道题目，请尝试用解析法研究 1、（2005全国联赛二试）在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长． 2、（全国高中联赛二试）如图，圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证直线P A 与BC 垂直． 3、（20届IMO ）在ABC ∆中，AB AC =，有一圆内切ABC ∆的外接圆，与AB 与AC 分别相切于点P 和Q ．求证：P 和Q 连线中点是ABC ∆的圆圆心． E A B C G H P O 1。 。O 2 E F B C D A G H K
浅析解析法在立体几何中的妙用
浅析解析法在立体几何中的妙用 立体几何中的三视图可以有两种画法，即轴测图和解析图，这二者之间是相互关联的，只能是其中一个，而不可能有两个。那么，解析几何为什么不能用轴测图呢？因为轴测图是一个封闭图形，它无法看到立体图形的每一个面，即不能全面反映立体图形的形状特征。 解析几何是在平面几何的基础上发展起来的一门学科，它主要研究平面图形经过旋转、平移、对称变换到平面后的性质。通过将三视图与投影图相结合，找出各点的位置及线段的长度，这样就可以解决问题了。如果采用轴测图，必须根据视图画出物体的实际大小再由物体的大小推算出物体的具体位置。这样虽然我们在立体几何问题中计算简便了，但是我们忽略了一些比较重要的东西，比如三视图不同于轴测图，轴测图的任何一个视图都不能完整的表达出立体图形的特征，这是为什么呢？ 此外，在解决立体几何问题时，采用轴测图的视图进行分析，那么势必会使线段的数量增加很多，当分析问题的某些条件不符合要求时，其不足之处就更明显了。比如当一条线段是直线时，用轴测图的视图，线段将变得弯曲，在画线段时必须加粗，而用解析图时，这条线段就不必再用加粗的方式表示了。有些简单问题也可以直接用解析法分析，但是难度较大的就需要先用轴测图的视图进行分析，然后再利用解析法分析，这样才能最终得出正确答案。所以，三视图相对于轴测图，是比较符合客观事实的。 4、三视图要正确。解析三视图的画法，对于平面图形和空间图
形来说，都是一致的。只不过在画法上有些差别，轴测图和解析图是一般来讲不要求标准画法，所以轴测图的各个视图的长度、角度、大小等并没有统一的标准。平面图形的三视图一般来讲都是正确的。但解析图的各个视图与轴测图的各个视图要按照正规方法画，尽管轴测图和解析图都有一定的局限性，但是轴测图和解析图的缺陷不是普遍性的。 5、还应注意的是三视图也是相对的，是一个比较大的概念。因为它不仅仅涉及空间几何，也牵扯到数学、物理等领域。因此，学习解析几何的关键是抓住其内涵和本质，深刻认识到“解析几何”四个字的内涵，这样才能真正地认识和掌握它。而不能被眼前所看到的表象所迷惑，从而失去信心。在日常生活和工作中，三视图的意义和作用非常广泛，如机械零件、模型制造等等。
解析法证明平面几何经典问题--举例
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？ 例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） （例1图） （例2图） 例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【部分题目解答】 例1、(难度相当于高考压轴题) ； ，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B
希望杯数学竞赛题，解析法在解题中的应用（1）
希望杯数学竞赛题，解析法在解题中的应用（1） 解析法将数和形有机地结合在一起 •数和形结合往往可以使看似无从着手的问题变得十分简单 •面对几何问题借助坐标（或网格）引入相应参数就可以用方程、不等式或函数等方法轻易解决问题 •而一些代数问题利用已知的数量或关系式在坐标系上构造几何图形也能取得事半功倍的效果 1、已知一个三角形的三边长分别是√2，√13，√17，求此三角形的面积(希望杯试题) 分析：已知三边长度可以利用海伦公式或其它方法求出相应边上的高，但是略显复杂，观察2，13，17都是平方数之和，我们联想 的几何意义，所以可以考虑运用勾股定理构造三角形解决问题，将题中长度当作三个直角三角形的斜边构图，如图： •结合图形计算面积
小结：此法要求我们对数字比较敏感（平方数），不过只要想着放在坐标系(或网格中)，运用模型多试几次总能解决 2、(希望杯试题)已知a、b、c均为正数，且 是一个三角形的三边，则这个三角形的面积是多少？ 分析：观察三边的情况，这题和上题类似，但这里未给出确定的数，不过我们还是可以通过同样的方式解决 •如图：以2a，2b为边构造矩形AOBC，分别取AO、BO边的中点D、E
根据勾股定理可得图中阴影三角形即为所求三角形 3、(美国数学邀请赛试题)当x，y，z为任意实数时，代数式 的最小值为________
分析：这是任意实数的情况，且代数式为四项，先观察代数式的第一项，可以看作平面直角坐标系上点(x，1)到原点的距离 根据代数式中各项的关系考虑利用两点间的距离公式 继续在坐标系上构造图形解决 如图，根据各项之间的关系，在坐标系上构造点C(x,1),D(y,3),E(z,4),F(10,7) 所求代数式之值其实是图中OC、CD、DE、EF四条线段长度之和，
初三平面几何的解析法
初三平面几何的解析法 几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间和图形的性质以及它 们之间的关系。解析几何是几何学的一种方法，它通过代数方法研究 几何问题，使得复杂的几何推理转化为简单的代数计算。在初三阶段 学习平面几何时，解析法可以为我们提供一种更加直观、清晰的思考 方式。本文将介绍初三平面几何的解析法及其应用。 1. 点的坐标表示 在解析几何中，我们使用坐标系来表示点的位置。常见的是二维坐 标系，也就是笛卡尔坐标系，其中有一个水平的x轴和一个垂直的y 轴，它们的交点称为原点，通常表示为O。我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表水平方向上的位置，y代表垂直方 向上的位置。例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A在x轴上距离原点2 个单位，y轴上距离原点3个单位。 2. 直线的方程表示 在解析几何中，我们可以用方程表示直线。常见的直线方程有斜截 式和一般式两种形式。 2.1 斜截式方程 斜截式方程的一般形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直 线与y轴的截距。我们可以通过两个已知点的坐标来确定直线的斜率，并利用其中一个点的坐标代入方程，求解出直线与y轴的截距b。
2.2 一般式方程 一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。我们可以通过两个已知点的坐标，利用直线的 斜率公式和垂直平分线的性质，得到直线方程的一般式表示。 3. 直线与直线之间的关系 3.1 平行 当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。我们可以通过斜截式方 程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。 3.2 垂直 当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们是垂直的。我们可以通过斜 截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。 4. 直线与圆的关系 4.1 判断点是否在圆上 一个点在圆上，当且仅当点到圆心的距离等于圆的半径。我们可以 计算点到圆心的距离，与圆的半径进行比较。 4.2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要有相离、相切和相交三种情况。 当直线与圆没有公共点时，它们是相离的；当直线与圆只有一个公 共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个不重合的公共点时，它们
解析法在中学几何题中的应用
解析法在中学几何题中的应用 1. 解析法在中学几何题中应用的简介 解析法，又称为几何分析法，是一种求解几何问题的数学方法，它是依据元素、定理、定律和46种基本图形几何定性表达，结合解题过程中的分析、推理和转化，最终将几何图形、概念及表达结构与数学计算、推理相结合，通过用计算出来的量解出几何图形、关系，以达到求出几何问题答案的过程。在中学几何实际题目中，解析法及其方法也同样受到重视，它既可以用来求得几何图形、关系的证明及定性，又可以将其转化成数字问题，从而定性地解决定量问题，能够有效地解决复杂的几何问题。 2. 解析法在中学几何题中的应用 （1）求解图形的定性性质：中学几何实际应用题目中，有许多要求学生确定具体的图形的性质的题目，在数学上的定性表达可以采用解析法来解答，它以理性的思维来推导结果，锻炼学生的数学思维和认知能力； （2）证明图形的性质：在几何实际应用题目中，解析法能够将直观的图形数学推理联系起来，将若干复杂的定理和结论整合利用起来给出正确的证明，能够更全面深入地深入理解几何定理和结论； （3）求解图形的定量性质：解析法将几何图像转化成数学模式，可以解决定量的几何问题，它利用简单的几何知识将直接确定的量和间接求得的量解出几何形式，有效地实现了几何思想和数学理论的统一。
3. 解析法在中学几何题中能带来的好处 （1）熟悉几何定理及其证明：通过解析法用思维推导和证明，对几何 图形的概念、性质、习题的解法等可以建立较为深刻的认知； （2）灵活应用经典定理：用解析法推导、证明和理解问题，可以灵活 运用所学经典定理； （3）锻炼抽象和归纳能力：解析法通过从具体的事例向一般的规律抽象、归纳，引导学生分析图形关系，提高学生的抽象思维能力和归纳 能力； （4）提升数学解题能力：解析法将几何知识和数学思维有机结合，提 高数学解题能力，提供了一种更加科学有效地解决几何问题的新思路。
2 用解析法求解初等平面几何问题
2 用解析法求解初等平面几何问题 在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析. 平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对),(b a 建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系, 平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程. 例8 证明：三角形的三条高交于一点[3]. AD 已知, EF , CF 分别是ABC ?的三边上 的高, 求证：AD , BE , CF 相交于一点. 证明 如图4所示, 以BC 边为x 轴, BC 边 上的高AD 为y 轴建立直角坐标系.不防设A , B , C 三点的坐标分别为(0,)A a , (,0)B b , (,0)C c .根 据斜率公式得, AB b K a =-, CA a K c =-, 0BC K =,
又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为 :0AD x =, :0BE cx ay bc --=, :0CF bx ay bc --=. 这三个方程显然有公共解, 0x =, bc y a =- , 从而证明了三角形的三条高相交与一点. 例9 一个面积为232cm 的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为cm 16试确定另一个对角线的所有可能的长度[3]. 解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 )0,(a A -, (,)B b b '-, (,0)C c , (0,).D d 根据已知条件有 11()3222 ABCD S c a d c a b '=+++=（）, ||||||AB CD AC + += ()16a c +=.即有 ?????+-=++++='++) (16)(64)(2222c a d c b b a b d a c ）（ )2()1( 根据图5可知 2b d '+≤ )3( 由(1), (2), (3)得()[16()]64a c a c +-+≥, 即2[()8]0c a +-≤, 所以.8=+a c 且上述不等式只能取等号, 于是得 8b d '+=, 0c =, 0a b +=.由此可知, 8a =, 8b =-.所以, 另一条对角线BD 的长度为||BD = )cm =. 从上述两题的解题过程不难看出, 其解 法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系, 以次来实现几X Y 图5
（二）用三角法解几何问题（三）用解析法解几何问题用复数法解几何问题
（二）用三角法解几何问题（三）用解析法解几何问题用复数 法解几何问题 (二)用三角法解几何问题 用三角法解几何问题，常将线段和角的关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换、解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答． 例3 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E(如图3)．求证：∠AME=∠CMB． 思路分析这类问题，用几何法会困难重重，而转化为用三角法则柳暗花明． 设∠AME=α，∠CMB=β，则∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=45°＋β．在△AME和△ACE中，由正弦定理，得 ②÷①且由AC＝2AM，得 又α、β∈(0°，90°)，所以α＝β，即∠AME=∠CMB．
例4(蝴蝶定理)过⊙O的一条弦AB的中点C任作两条弦DE和GF，连结DG和EF分别交AB于M、N(如图13－4)．求证：CM=CN． 思路分析设AB=2a，AC=CB=a，CM=x，CN=y，各角假设如图4所示． 由相交弦定理有AM·MB=GM·MD，即(a-x)(a＋x) 所以x=y，即CM=CN． 在上一讲中我们用对称变换证过蝴蝶定理，方法很轻盈．此处的三角法给我们又一种灵巧感 (三)用解析法解几何问题 解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答． 例5 在△ABC中，已知AD是BC边上的高，P是AD上任一点，BP、CP延长线交AC、AB于E、F．求证：∠ADE=∠ADF．
解析几何十一种方法
解析几何11种方法 解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。 以下是11种解析几何的方法： 1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转 化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。 2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入 参数，将问题转化为参数的求解问题。 3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几 何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。 4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。通 过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。 5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以 通过复数的方法简化计算。 6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、 长度等几何量，并解决相关问题。 7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例 如在解决三角形问题时。 8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通 过代数运算解决几何问题。 9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程 的求解，可以解决许多几何问题。 10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，
例如在解决关于对称点、对称线的问题时。 11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何 相结合，可以更方便地解决许多问题。 以上就是解析几何的11种方法。需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
关于一道平面几何问题的多种解法及思考
关于一道平面几何问题的多种解法及思考 问题描述： 如图，在平面直角坐标系中，若 $\triangle ABC$ 的坐标分别为 $A(0,0)$， $B(5,0)$，$C(2,6)$，$P$ 为第 $x$ 轴上一点，且满足 $AP+BP+CP$ 最小，求 $x$ 取值。 解法一：几何法 1.显然可以发现 $\triangle ABC$ 是个等腰三角形，且底边 $BC$ 是第 $x$ 轴。 2.设 $AP=x$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,0)$。 3.设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $CH$ 是 $\triangle ABC$ 的高， $CH=3$。 5.根据余弦定理可得： $$\cos\angle BPC=\frac{(5-x)^2+36-25}{2(5-x)\cdot 3}=\frac{(x-5)^2+9}{6(x-5)}$$ 6.根据三角形三边和公式可得：$AP+BP+CP=AP+BP+CH$。 7.设 $F$ 为线段 $BP$ 上一点使得 $PF\perp BC$，则 $BF=5-x$，$FP=h$。 8.则 $AP+BP+CH=AP+BF+FP+CH=x+(5-x)+\sqrt{h^2+9}=5+\sqrt{h^2+9}$。 9.由勾股定理可知 $BF^2+FH^2=BH^2$，即 $(5-x)^2+h^2=36$。 10.代入式子中可得： 11.观察式子后可得 $AP+BP+CP$ 的最小值为 $2\sqrt{21}$，此时 $x=3$。 解法二：解析法 1.设线段 $AP$ 的方程为 $y=mx$。 4.通过求两条直线之间的距离可得 $AP$ 与 $BP$ 的交点为 $(\frac{5m}{1+m^2},\frac{5m^2}{1+m^2})$。 6.根据距离公式可得 $AP+BP+CP=\sqrt{m^2+1}(\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}+\sqrt{(5- \frac{5m}{1+m^2})^2+(3-\frac{5m^2}{1+m^2})^2}+\sqrt{(2-\frac{6m}{1+m^2})^2+(6- \frac{6m^2}{1+m^2})^2})$。 8.由于 $\sqrt{m^2-2m+34}$ 为常数，故只需求 $m$ 的极值。 10.故 $x=\frac{5}{m}=3$，答案正确。
解析法解决几何问题的研究
解析法解决几何问题的研究 作者：王淳 来源：《新一代》2018年第02期 摘要：在数学中，几何问题是多种多样的。解决几何问题有很多种方法，其中解析法是借助坐标系，再运用代数知识来解决几何图形的一种方法。运用解析法就可以将几何问题代数化，图形性质坐标化，使问题由难变简。本文在概述了解析法涵义的基础上，通过具体的实例分析了解析法如何进行几何问题的解答，以期深化解析法在几何中的应用。 关键词：解析法；几何问题 一、解析法 解析法指的是将几何问题通过坐标系转化成代数运算的一种方法。具体来说，解析法就是在平面上建立坐标系，把已知点轨迹的几何条件转化成相对应的代数方程，之后运用代数的运算进行几何问题的解答，最后再将代数方程的性质用几何语言来表达求出最终的答案。 二、解析法与几何问题 在数学中，我们会遇到形式各样的几何问题，而解析法把几何问题变成了相对应的代数问题，再把代数问题归结到方程式的解答，将问题由难变简。因此，解析法在解决几何问题上发挥着不可忽视的作用。接下来，我们通过具体的实例，主要从平面几何、解析几何和立体几何这三个方面分析解析法与几何之间的联系。 （一）解析法与平面几何 平面几何中的很多问题都要从平面几何中的定理、公理出发，再运用推理证明其真实性。甚至有的解题过程是多种定理、公理的结合，相对较难。而运用解析法，根据题设条件建立适合的坐标系就可以使论证变得简单。 1.证明线段相等 例1：已知AB是半圆上的直径，CA、CD是切线，A、D是切点，而且DE AB，CB交DE于H点，求证DH=HE。 根据题设条件，以AB为x轴，以圆心为y轴建立坐标系，设A（-a，0），B（a，0），D（m，n），那么CD的直线方程是mx+ny=a2，CA的直线方程是x=-a，两个方程结合得到x=-a，y= ，那么C（-a，）。又因为CB： = ，DE：x=m，求得x=m，y= n，所以H（m，n），即DH=HE。
第56讲 解析法证几何题
第56讲 解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题 例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边AB 及直角边BC 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥F A ． 分析 只要证k CD ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标． 证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0 ，
a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| a2＋b2 ＝a2＋b2， 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a ，而k AF·k CD＝－1．所以DC⊥F A． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F． 试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)， H(0，h)，于是
解析法在几何中的应用
解析法在几何中的应用 【摘要】解析法彻底改变了数学的研究方法，它把几何的问题变换成一个相应的代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。本文将从平面几何、立体几何、平面解析几何和空间解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用。 【关键词】解析法；几何；轨迹；对称 笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来，他设想把数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式，于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x和y的不同数值可以确定平面上不同的点，即平面上的点和实数对(x,y)建立了一一对应关系，这就是解析几何的基本思想，也是代数和几何的第一次完美结合。 一、解析法的概念 平面解析几何的基本思想有两个点： 第一，在平面建立坐标系，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一实数对(x,y)建
立起一一对应的关系，除了直角坐标系外，还有斜坐标系，极坐标系，空间直角坐标系等等，在空间直角坐标系中还有球面坐标系和柱面坐标系。 第二，坐标系将几何对象和数，几何关系和函数之间建立了密切联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了，用这种方法研究几何学通常就叫做解析法。 二、解析法的意义 这种解析法不但对于解析几何是重要的，而且对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的．应用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来．正如笛卡尔的数学格言：“一切问题可以化成数学问题，一切数学问题可以化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题。” 三、解析法在平面解析几何中求轨迹问题的应用 根据形成曲线的几何条件，在适当的坐标系下求出曲线的方程，这是解析几何的基本问题，也是代数方法研究几何问题的基础。轨迹求法的步骤是根据题设条件，分析、推导出动点所满足的几何性质，然后根据圆锥曲线的定义，以及所熟悉的各种曲线的定义，写出轨迹方程，并说明其图形的形状和位置。
解析几何中平面几何知识的相关应用(定)
解析几何中平面几何知识的相关应用 在解析几何中经常会碰到一些问题，如果用解析法去一步步解决，计算量比较大，如果用平面几何的相关知识把其中的一部分图象问题加以转换，就可以达到简化计算和过程的目的。 一、利用对称性来解决相关问题 例1：已知圆O ：122=+y x ，圆外有一点P (2,4)，过点P 作圆的两条切线，与圆O 相切于点M 、N ，求直线MN 的方程。 【分析】如果利用切点MN 的坐标去找直线MN 的方程，需要解 一个二元一次的方程和二元二次的方程联立 求解。如果从︒=∠=∠90ONP OMP 入手，注意 到四边形OMPN 是以OP 中点Q 为圆心的圆 的内接四边形这一特殊性，那直线MN 就转 化成了圆O 和圆Q 的交点弦问题。 解：MOP ∆Θ和NOP ∆为全等的直角三角形 ∴MPNO 四点共圆，圆以Q 为圆心，以OP 为直径，则圆Q 的方程为5)2()1(22=-+-y x 即04222=--+y x y x ，所以直线MN 的方程为0)1()42(2222=-+---+y x y x y x ，即0142=-+y x . 例2：：已知圆O ：122=+y x ，圆外有一点P (4,0)，过点P 任意引圆的一条弦交圆O 于点M 、N ，求MN 的中点Q 的轨迹方程。 【分析】因为Q 点在过定点的动弦 上，可以设直线PN 的斜率为k ，在保 证直线PN 和圆O 相交的情况下，用k
来表示M 点和N 点，然后消去参数k ，从而得到点M 的轨迹方程。但是如果注意到MN 为定圆的动弦，可利用OQ 垂直于MN 的性质得到︒=∠90OQM ，而O 、P 都为定点，所以Q 点的轨迹为以OP 为直径的圆在圆Q 的内部的部分。 解：设),(y x Q ，以OP 为直径的圆的方程为4)2(22=+-y x 联立方程⎩⎨⎧=+-=+4 )2(12222y x y x 结合图象可知Q 点的轨迹方程为 4)2(22=+-y x )410(≤≤x . 例3：已知直线l ：x+y=8，点)0,4(1-F ，)0,4(2F ，在l 上取一点M ，过点M 以21F F 为焦点作椭圆，问：M 在何处时，点M 到两个焦 点距离之和最小？并求此时椭圆方程。 【分析】如果直接设点计算就比较复杂，而利用对称性找到F 1关于直线l ：x+y=8的对称点F 3，得到3221MF MF MF MF +=+，由两点之间线段最短，线段F 2F 3与直线l ：x+y=8的交点M 即为所求，这样就可以达到减小计算量，过程简化的目的。 解：设F 1关于直线l ：x+y=8的对称点为F 3(x,y)，则点F 3(x,y)满足{14 8224=-=++x y y x ，解得)4,8(3F ∴ 直线F 2F 3的方程为：x -3y +4=0 联
以解析几何为载体的应用题
以解析几何为载体的应用题 数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问 例题：如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处， 点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4 3 . (1)求新桥BC 的长； (2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 变式1如图所示，为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分)．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．景观湖的边界曲线符合函数y ＝x
＋1x (x ＞0)模型，园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝4 3 百米． (1)若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； (2)若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短．
变式2如图所示，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，已知AB＝4米，AD＝2米． (1)如图所示建立直角坐标系．求边缘线OM的轨迹方程； (2)①设点P(t，m)为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程(用t表示)． ②求AF的值，使截去的△DEF的面积最小． 串讲1如图，相距14 km的两个居民小区M和N位于河岸l(直线)的同侧，M和N距离河岸分别为10 km和8 km.现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道，设PQ段长为t(0 解析几何的解题思路、方法与策略 高三数学复习的目的， 一方面是回顾已学过的数学知识， 进一步巩固基础知识， 另一方面， 随着学生学习能力的不断提高， 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复， 而是有对所学知识进一步理解的需求， 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等， 所以高三数学复习既要“温故” ， 更要“知新” ， 既能引起学生的兴趣， 启发学生的思维, 又能促使学生不断提出问题, 有新的发现和创造, 进而培养学生问题研究的能力． 以“圆锥曲线与方程"内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容， 也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题， 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用， 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用, 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查． 解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位,这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头" ．所以研究解析几何的解题思路,方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中,在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略． 一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式 例1 已知直线l 过点(2,1)M - ,若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点. （1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）求OA OB +最小值； (3)求M MA B ⋅最小值． 解：方法一:∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l 的方程 为 (2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,1 2k k A -- )12,0(+k B ， （1）∴4221 22)12(2≥++=+= k k k k S , ∴当 1)22=k （时,即412=k ,即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为22 1 +=x y 。 （2）322321 1221+≥++=+++= +k k k k OB OA ,当且仅当22k =时取等号； 高中数学解析几何中的解题技巧总结 作者：李轩宇 来源：《消费导刊》2018年第03期 摘要：在高中数学的几何问题的处理过程中，有人将解析法比喻为一把锋利的快刀，这是有一定的道理的。而在运用解析法的过程中，如果使用不当，就会使运算过程非常复杂。因此，我们有必要总结出一些解题技巧。本文根据高中数学学习过程中的总结的经验，例谈高中数学解析几何中的解题技巧。 关键词：高中数学解析几何解题技巧 前言 在整个高中数学知识系统中，解析几何这部分内容非常重要。然而，当我们在学习这些这部分内容时，往往感觉难度不小。从历年高考试题解析几何部分的得分情况来看，不容乐观。随着新课程改革的到来，其对我们学生的分析问题能力和解决问题的能力提出了越来越高的要求。对于这部分内容的学习，我们有必要重视起重要性，并总结出一些解题技巧，从而为我们以后解析几何的解题提供参考。 一、高中数学引入解析几何的重要性分析 纵观高中数学课程的整个体系，解析几何这部分内容占据了重要的地位，该部分内容对于我们学生的顺序思维和能力的培养有较大的帮助。具体而言，可以从下面三个角度来分析。首先，高中解析几何这部分内容有着承上启下的功能，这部分内容不仅能够对初中所学的平面几何内容进行了补充，还是为我们进入大学之后的《空间解析几何》等课程的学习打下坚实的基础。其次，在高中数学所有知识点中，解析几何这部分内容是一个交叉点。这部分内容往往要将已经学习过的代数和向量部分的内容结合起来。如果缺乏这部分内容的基础，那么就很难真正学好解析几何。因此，我们要在基于学习和掌握这部分数学知识之后，灵活加以运用，从而提升自己的数学能力。再次，解析几何这部分内容注重方法论。总体来看，其特点不仅抽象，而且系统性也很强，知识体系比较完善。因此，解析几何这部分内容的深入学习，不但能够培养我们是数学思维，而且能够增强我们对其他学科或领域的应用。 二、高中数学解析几何中的解题技巧总结 （一）紧密结合代数知识解题 通过大量几何试题的求解经验可知，在解析几何问题中，使用坐标系，根据代数的方法来研究几何问题，这种方法是非常普遍。很多时候，当我们直接求解解析几何问题没有头绪的时候，使用代数方法往往能够有“柳暗花明又一村”的感觉。高中解析几何中作为一般点的轨迹的直线、圆、圆锥曲线的研究都运用了坐标这一工具：根据直线、圆、圆锥曲线的图形特征或定 中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形 写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：(完整word版)解析几何的解题思路、方法与策略
高中数学解析几何中的解题技巧总结
中考数学压轴题解题方法大全及技巧