江苏省宿迁市高中数学 第3章 导数及其应用 第2课时 曲

第2课时 曲线上一点处的切线学习目标：1. 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法；2. 掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法. 问题情境：1. 什么叫做平均变化率？2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近） Ⅱ.建构数学1.割线逼近切线2.割线斜率逼近切线斜率合作探究：展示点拨：例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率．练习：已知2()f x x =+1，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率.例2：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程．练习：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．思考：已知()f x =()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？学以致用：1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2，1)处的切线方程是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝14Δx ＋1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，∴k ＝f ′(2)＝1，∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝02．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14， 116)D ．(12，14)解析 由导数的定义，知y ′＝2x ，∴tan π4＝1，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，则y 0＝14，故选D. 答案 D3．某物体走过的路程S (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：S ＝t 2－1，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．【解析】S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝（Δt ）2＋4Δt ＋4－1－4＋1Δt＝Δt ＋4，当Δt →0时，S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝Δt ＋4→4，即所求瞬时速度为4 m/s. 【答案】 4 m/s4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14答案 C5．已知曲线y ＝x 2的切线分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.【解】 设切点坐标为P(x 0，y 0)，则Δy ＝(x 0＋Δx)2－x 20＝2x 0·Δx ＋(Δx)2， ∴Δy Δx ＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →2x 0，∴f ′(x 0)＝2x 0，即过点P(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，得P(2，4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·26＝－1，得x 0＝－32，即P(－32，94)．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即P(－12，14)．同步训练2．如图3－1－5所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________．【解析】f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝k切线＝－1.【答案】 3 －17．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________．【解析】由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】 13．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析 由导数的定义知y ′＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ＝2. ∴a ＝1. 答案 A4．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0 D ．h ′(a )的符号不定答案 A6．(2013·陇西高二检测)如图3－1－5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝________，f ′(5)＝________．图3－1－5 【解析】 f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k 切线＝－1. 【答案】 3 －17．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线x －y ＋2＝0平行，则f ′(2)等于________．【解析】 由题意知k ＝1，∴f ′(2)等于1. 【答案】 18．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 【解析】 ∵点P (1，12)在曲线y ＝x 3＋11上，∴曲线在点P 处的切线斜率等于y ＝x 3＋11在x ＝1处的导数．∴Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）3＋11－（13＋11）Δx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3， 当Δx →0时，ΔyΔx →3，∴k ＝f ′(1)＝3.又∵过点P 的切线方程为y －12＝3(x －1)， 即3x －y ＋9＝0，令x＝0，则y＝9.【答案】9Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P62 1,2,3,41.已知()3x x f =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．3．(2013·烟台高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ＋1.【答案】 y ＝3x ＋12. 5．已知曲线y ＝x 6在点P 处的切线与直线y ＝16x ＋3垂直，则此切线的方程为________．【解析】 ∵y ′＝6x 5，设切点为(x 0，x 60)，则6x 50×16＝－1，∴x 0＝－1，∴切点为(－1，1)，切线斜率为－6，∴切线方程为y －1＝－6(x ＋1)，即6x ＋y ＋5＝0. 【答案】 6x ＋y ＋5＝06．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为________．【解析】 y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－（cos x －sin x ）sin x（sin x ＋cos x ）2＝1（sin x ＋cos x ）2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.【答案】 127．(2013·杭州高二检测)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵y ′＝3x 2－3，又∵k ＝f ′(x )＝3x 2－3， ∴k ≥－ 3.结合正切函数图象可知： 0≤α<π2或2π3≤α<π.【答案】 [0，π2)∪[2π3，π)8．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和为________．【解析】 y ′＝(x n－x n ＋1)′＝nxn －1－(n ＋1)x n ，曲线在x ＝2处的切点为(2，－2n)，则切线方程为y ＝y ′|x ＝2(x －2)－2n，当x ＝0时，a n ＝2n(n ＋1)，则a nn ＋1＝2n， ∴S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－210．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵y ′＝2x ＋1， ∴直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， ∵l 1⊥l 2，∴y ′|x ＝b ＝2b ＋1＝－13，∴b ＝－23，∴点B 的坐标为(－23，－209)，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)；又l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)，(－223，0)，∴所求三角形的面积S ＝12×[1－(－223)]×|－52|＝12512.11．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ＞0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．【解】 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ， ∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12且a ＞0，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2，综上可知，a ＝2，b ＝－12，c ＝0.曲线的切线一、学习目标1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情. 二、教学重点曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用. 三、教学难点理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率. 四、教学过程1．新课引入，创设情景①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线. 2．概念形成，提出问题①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线. ②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.3．转换角度，分析问题①引入增量的概念，在曲线C 上取P （x 0、y 0）及邻近的一点Q （x 0+△x ，y 0+△y ），过P 、Q 两点作割线，分别过P 、Q 作y 轴，x 轴的垂线相交于点M ，设割线PQ 的倾斜角β，tan y xβ∆=∆. ②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示） 改变P 的邻近点Q 的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tan βy x ∆=∆表示的形式始终不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.4．归纳总结，解决问题①（大屏幕显示）由于△x 可正可负，但△x ≠0，研究△x 无限趋近于0，用极限的观点导出曲线切线的斜率.②讨论问题：引导学生将这一运动过程 转化为已学的代数问题.k ==0000()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤5．例题剖析，深化问题例：曲线的方程f (x )=x 2+1 求此曲线在点P （1,2）处的切线的方程6．学生演板，落实问题①已知曲线y =2x 2上一点A(1,2)，求（1）点A 处的切线的斜率；（2）点A 处的切线的方程.②求曲线y =x 2+1在点P (－2,5)处的切线方程.7．课堂小结8．作业P125 第6、7、8、9题。