2.1.2求曲线的方程
课件15：2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程
知识点2 曲线与方程关系的应用
讲一讲
2．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的
曲线上；
(2)若点M(
2
，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值；
(3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，
不是所给方程的曲线”时，主要依据就是“曲线的
方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，二
者缺一不可．即一方面要证明曲线上任意一点的
坐标都是方程的解，另一方面又要证明以这个方
程的解为坐标的点都在这条曲线上．
练一练
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的
解”是真命题，下列命题中正确的是(
(3)联立
将 x＋3＝0 化为 x＝－3，
x＋3＝0，
代入 x2＋(y－1)2＝10，解得 y＝0 或 y＝2，
x＝－3， x＝－3，
即方程组的解为
或
y＝0
y＝2.
因此两曲线的交点坐标是(－3，0)和(－3，2)．
类题通法
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验
该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适
曲线C上的充要条件是什么？
提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)
＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上
的充要条件是f(x0，y0)＝0
课堂互动
知识点1 曲线与方程的概念
思考
若方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，应满足
什么条件？
名师指津：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)
2.1.2.圆的参数方程
返回
返回
作业
x t 2 1、直线 cos 4与曲线 (t参数）相交于A, B两点，求|AB|. 3 y t
3 已知曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)，求
（1）x y的取值范围 y （2） 的取值范围 x
返回
3． 求原点到曲线
解： (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得 t 0 所以M 1在曲线C上。 5 3t 把点M 2 (5,4)代入方程组，得到 2 4 2 t 1 这个方程组无解，所以 点M 2不在曲线C上。
返回
(2)、因为点M 3 (6, a )在曲线C上，所以 6 3t 解得 t 2 , a 9 2 a 2t 1 所以，a 9
返回
换个角度看问题 .
y
v 100m/s
500
A 由物理知识, 物资投出机 M 舱后, 它的运动是下列两 种运动的合成: O x 沿Ox方向以100m / s的速 图2 2 度作匀速直线运动 ; 沿Oy的反方向作自由落体运 动. 物资出舱后 , 在时刻t ,它在水平方向的位移量 x 1 2 100t , 离地面的高度 y 500 gt , 即 2 x 100t 2 ① g是重力加速度 g 9.8m / s . 1 y 500 g t 2 2 返回
y
1、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标， 变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
2、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决 定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯 一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时， x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地 描绘出点的轨迹。 3、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有 序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)
解： 法一：待定系数法
设所求的方程是 （ − ) + ( − ) = ①
因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所
以它们的坐标都满足方程①.
（ − + − =
+ − − + =
02
圆的一般方程
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题 ？
提示：
确定直线位置的几何要素：点、
方向
直线的倾斜角和斜率
直线的点斜式方程、直线的两点
式方程等
直线的一般式方程
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
问题3
圆心O的坐标是方程组 + + = 的解.
半径是 =
圆心O（2，-3）
( − ) +( + ) =
所以，△ABC的外接圆的标准方程是（ − ) + ( + ) = .
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，
圆的标准方程是 (
)
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-5)2+y2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-5)2+y2=5
解析: 因为圆的一条直径的端点分别是 A(0,0),B(2,4),
所以利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),
2
2
从而可求得半径为 (0-1) + (0-2) = 5,
2.1.2求曲线方程
以该二直线为坐标轴.
以对称图形的对称轴为坐标轴.
3.已知长度的线段， 以线段所在直线为坐标· 轴，端点或中点为原点.
练习： 1.方程(x - 4) +(y - 4) = 0 表示的图形是 A.两条直线 C.两个点 B.四条直线 D.四个点
2 2 2 2
|x| 2.方程y = 2 表示的图形是 x
x 2y 5 0
交轨法
例4.两杆各绕点A(a,0），B(-a，0）旋转， 且它们在y轴上的截距乘积bb1 = a (a为常数） 求旋转杆交点的轨迹方程.
2
定义法
例5.已知点B（- 2, 1）和点C（3,2），直角三 角形ABC以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程.
综合方法提升： 1.已知方程y a | x |, 和y x a (a 0)所 确定的两条曲线有两个交点，则a的取 值范围是： A a 1 C 0 a 1或a 1 B 0 a 1 D a
y x6
2
练习1.已知A(-2,0),B(2,0),点C、D满足 1 |AC|= 2， AD = (AB + AC).求D点的轨迹方程. 2
x y 1
2 2
相关点法
例2.Δ ABC的顶点坐标分别为B(0.0),和C(4,0), AB边上的中线的长为3, 求顶点A的轨迹方程.
1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知 识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何 是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. 说明：本节主要讨论求曲线方程的一般步骤.
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案
第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4， 所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ， 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册2.2.1双曲线及其标准方程(带答案)
§2 双曲线2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练知识点一 双曲线的定义1.动点P 到点M (1，0)及点N (5，0)的距离之差为2a ，则当a ＝1和a ＝2时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线 2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 知识点二 双曲线的标准方程3.“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m －y 2m －1＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)； (2)焦点在y 轴上，且经过点(2，－5)，a ＝25 ；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，10 )；(4)经过点A (2，233)，B (3，－22 )；(5)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且经过点(32 ，2).知识点三 双曲线的定义及方程的应用5.若双曲线E ：x 29 －y 2160＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝15，则|PF 2|＝( )A ．9B ．21C ．9或21D ．186．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．207．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.关键能力综合练一、选择题1．已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．双曲线x 225 －y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5 ，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x22－y23＝1 D ．x23－y 22＝1 4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5 ，0)和(－5 ，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1C ．x24 －y 2＝1 D ．x 2－y24＝15．[易错题]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12二、填空题6．[双空题]若方程y 24 －x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是____________；若表示椭圆，则m 的取值范围是____________．7．已知双曲线与椭圆x 227 ＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.8．[探究题]已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点Q (0，23 )，P 是双曲线C右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为________.三、解答题9．在①m >0，且C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ；②C 的焦距为43 ；③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C ：x 23m －y 2m＝1，________，求C 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．学科素养升级练1.[多选题]已知点P 在双曲线C ：x 216 －y 29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π32.[情境命题——生活情境]某地发生地震，为了援救灾民，救援员在如图所示的P 处收到一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练1．解析：由题意，知|MN |＝4，当a ＝1时，|PM |－|PN |＝2a ＝2<4，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝2时，|PM |－|PN |＝2a ＝4＝|MN |，点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C2．解析：由题意两定圆的圆心坐标分别为O 1(0，0)，O 2(4，0)，半径分别为1，2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则|CO 1|＝r ＋1，|CO 2|＝r ＋2，∴|CO 2|－|CO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案：C3．解析：若方程x 22－m －y 2m －1 ＝1表示双曲线，则(2－m )·(m －1)>0，解得1<m <2.当1<m <2时，可推出“方程x 22－m－y 2m －1 ＝1表示双曲线”，故“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m－y 2m －1＝1表示双曲线”的必要不充分条件．答案：B4．解析：(1)∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0).由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4 ①.又∵点(2，3)在双曲线上， ∴22a 2 －32b2 ＝1 ②. 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0).由a ＝25 ，点(2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1， 解得b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝22 .设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)，由点(3，10 )在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(4)可设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0).因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233 ，B (3，－22 )在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 24＝1.(5)易知双曲线x 216 －y 24＝1的焦点在x 轴上，且c 21 ＝16＋4＝20，则待求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 22＝c 21＝20.设其标准方程为x 2a 22 －y 220－a 22＝1(a 22 <20) ①，因为点(32 ，2)在双曲线上，所以将(32 ，2)代入①中，得18a 22 －420－a 22＝1，得a 2＝12或a 2＝30(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x 212 －y 28＝1.5．解析：由于|PF 1|＝15<c ＋a ＝13＋3＝16，所以点P 在双曲线E 的左支上，所以由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，即|PF 2|－15＝6，故|PF 2|＝21.答案：B6．解析：由已知，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.因为|AB |＝4，所以|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，知2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.答案：B 7．解析：由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝22 ，a ＝b ＝2 .∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22 ，|PF 1|＝42 ，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝32＋8－162×42×22＝34 .答案：34关键能力综合练1．解析：因为|PM |－|PN |＝4＝|MN |，所以动点P 的轨迹是一条射线．故选C. 答案：C2．解析：因为a 2＝25，所以a ＝5.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点为P . 由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设|PF 1|＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝±10， 所以|PF 2|＝22或2.故选A. 答案：A3．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5 ，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2 －y 25－a2 ＝1，因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5 ，4)，将P (5 ，4)代入双曲线方程，得5a 2 －165－a2 ＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B4．解析：由题可得⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，得(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又因为c ＝5 ，所以b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选C.答案：C5．解析：不妨在双曲线右支上取点P ，延长PF 2，F 1H ，交于点Q ，由角平分线性质可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |＝1.故选A.答案：A6．解析：若表示双曲线，则应有m ＋1>0，即m >－1；若表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ＋1≠－4，解得m <－1且m ≠－5.答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)7．解析：椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝9，因为双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，所以该点的坐标为(15 ，4)或(－15 ，4)，故16a 2 －15b2 ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.答案：y 24－x 25＝18．解析：设双曲线的右焦点为F 2，如图，连接PF 2，QF 2.根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2，所以|PF 1|＋|PQ |＝|PF 2|＋|PQ |＋2≥|QF 2|＋2，而Q (0，23 )，F 2(2，0)，所以|QF 2|＝22＋（23）2 ＝4，所以|PF 1|＋|PQ |的最小值为6.9．解析：选①：因为m >0，所以a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ， 则a ＝3m ，c ＝2m ，因为C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ，所以3m ＋2m ＝(3 ＋2)m ＝3＋23 ，解得m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1.选②：若m >0，则a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ，c ＝2m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4m ＝43 ，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，b 2＝－3m ，c 2＝a 2＋b 2＝－4m ，c ＝2－m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4－m ＝43 ，m ＝－3，C 的方程为y 23－x 29＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 23－x 29＝1.选③：若m >0，则a 2＝3m ，a ＝3m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝23m ＝6，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，a ＝－m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝2－m ＝6，m ＝－9，C 的方程为y 29－x 227＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 29－x 227＝1.学科素养升级练1．解析：因为在双曲线x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝16＋9 ＝5，因为S △PF 1F 2＝12·2c ·|y P |＝5|y P |＝20，所以|y P |＝4，所以P 到x 轴的距离为4，故A 错误；不妨取P (203 ，4)，又因为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则|PF 1|＝（203＋5）2＋16 ＝373，|PF 2|＝ （203－5）2＋16 ＝133 ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝503 ，故B 正确；因为kPF 2＝4－0203－5 ＝125>0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；因为S △SS 1S 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2，即12 ×133 ×373 sin ∠F 1PF 2＝20，则sin ∠F 1PF 2＝360481 ，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．2．解析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，因为|AB|＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，易知a＝25，c＝257，所以b2＝c2－a2＝3 750.故双曲线的标准方程为x2625－y23 750＝1.注意到点C的坐标为(257，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，0≤y≤60).。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
互动探究 1 → → OP·QF， 其他条件不变， 的方程． 其他条件不变， 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
→ → 若本例中的等式关系改为QP 若本例中的等式关系改为 ·FP ＝
解：设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． ， ， － ， ． → → → → 由QP·FP＝OP·QF， ，－y)， 得(x＋1,0)·(x－1，y)＝(x，y)·(2，－ ， ＋ － ， ＝ ， ，－ 2 2 2 2 ∴x －1＝2x－y ，∴x ＋y －2x－1＝0. ＝ － － ＝ 2 2 即轨迹 C 的方程为 x ＋y －2x－1＝0. － ＝
定义法求曲线方程 如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲 线的定义， 线的定义 ， 则可直接利用这些已知曲线的方 程写出动点的轨迹方程． 程写出动点的轨迹方程． 例2 长为 的线段的两个端点分别在 轴 、 y 长为4的线段的两个端点分别在 的线段的两个端点分别在x轴 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 思路点拨】 【 思路点拨 】 利用直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半， 求出中线长， 等于斜边的一半 ， 求出中线长 ， 再利用圆的 定义求中点的轨迹方程． 定义求中点的轨迹方程．
动点M在曲线 上移动， 和定 动点 在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定 在曲线 上移动 连线的中点为P， 点的轨迹方程． 点B(3,0)连线的中点为 ，求P点的轨迹方程． 连线的中点为 点的轨迹方程
设M，P点坐标 → 由中点坐标公式列方程 ， 点坐标
例3
【思路点拨】 思路点拨】
点坐标表示M点坐标 点坐标代入曲线x → 用P点坐标表示 点坐标 → 把M点坐标代入曲线 2＋y2＝1 点坐标表示 点坐标代入曲线 → 得P点的轨迹方程 点的轨迹方程
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所以|M1A|＝|M1B|，即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上． 由①②可知，方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程．
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2.1.2
问题 2
你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一
般步骤吗？
答 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标；
2.1.2
2.1.2
求曲线的方程
1．了解求曲线方程的步骤． 2．会求简单曲线的方程．
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用 和数形结合思想.
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2.1.2
引言
上一节，我们已经建立了曲线的方程来自方程的曲线的概念．利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标 表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲 线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x， y)＝0 表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质． 这就是我们反 复提到的坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何．从前面的学习中可以看到，解析几 何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲 1 2 线，所以曲线的方程应是 y＝ x (x≠0)． 8
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2.1.2
小结
①求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程
也不同． ②求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上 点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上 的点应注意剔除．
由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为
如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且
垂直于直线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系
动画演示
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2.1.2
①
x2＋ y－22－y＝2， 将①式移项后两边平方，得 x2＋(y－2)2＝(y＋2)2， 1 2 化简得 y＝8x . 因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0.
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2.1.2
问题 3 求曲线方程要“建立适当的坐标系”， 这句话怎样 理解．
答案 坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程 也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的 繁杂程度．
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2.1.2
结论
建立坐标系的基本原则
(1)让尽量多的点落在坐标轴上． (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图 形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建 系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角， 可将两直角边作为坐标轴建系等．
(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤 (5) 可以省 略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根 据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
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2.1.2
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距 离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的 距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求 这条曲线的方程．
解 xOy.
设点 M(x， y)是曲线上任意一点， 作 MB⊥x 轴， 垂足为 B， 那么点 M 属于集合 P＝{M ||MF|－|MB |＝2}．
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2.1.2
跟踪训练 1 在正三角形 ABC 内有一动点 P，已知 P 到三 顶点的距离分别为 |PA|、|PB|、 |PC|，且满足 |PA|2＝ |PB|2 ＋|PC|2，求 P 点的轨迹方程．
解
以 BC 的中点为原点，BC 所在的直
线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建 立直角坐标系(如图所示)，设点 P(x，y)， B(－a,0)，C(a,0)，A(0， 3a)．
答案 (1)能直接写出点的条件进而代入坐标写出方程的 求法，可称为直接法，常用的曲线方程求法还有：
上式两边平方并整理得 x＋2y－7＝0. ①
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2.1.2
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程． ①由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐 标都是方程①的解；
②设点 M1 的坐标(x1，y1)是方程①的解， 即 x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.
点 M1 到 A，B 的距离分别是 |M1A|＝ x1＋12＋y1＋12 ＝ 8－2y12＋y1＋12＝ 5y2 1－6y1＋13； |M1B|＝ x1－32＋y1－72
∵|PA |2＝|PB |2＋|PC|2，
有 x2＋(y－ 3a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2， 化简得 x2＋(y＋ 3a)2＝(2a)2， 即所求的轨迹方程为 x2＋(y＋ 3a)2＝4a2 (y>0)．
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2.1.2
探究点二 求曲线方程的常用方法 问题 求曲线方程时，有时点的条件比较明显，也有些点 的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖 于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？
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2.1.2
探究点一
求曲线方程的一般步骤
问题 1 设 A、B 两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，如 何求线段 AB 的垂直平分线的方程？
解 如图所示，设点 M(x，y)是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，也就是点 M 属于集合 P＝{M||MA|＝|MB|}． 由两点间的距离公式，点 M 适合的条 件可表示为 x＋12＋y＋12＝ x－32＋y－72.