高等数学第五章习题答案

第五章 不定积分与定积分 第一节 定积分的概念及性质

1．=

S 6

1 2．（1）1；（2）4

π

． 3．（1）

⎰

10

2dx x ＞⎰1

2dx x ；

（2）⎰1

2

dx e x ＜⎰1

dx e x ． 4．利用积分中值定理证明．

5．利用定积分估值定理证明．

第二节 微积分基本公式

1．（1）0； （2）0； （3）2cos x ； （4）2

e x

-； （5）24sin sin 2x x x -.

2．2

2

32y x

e x y --='

3．（1）1； （2）42π； （3）0； （4）1sin ； （5）1

1+p .

4．（1）

6

π； （2）1； （3）4； （4）35

．

5．利用双曲函数表达式及原函数的定义证明．

第三节 不定积分的概念与性质

1．（1）x x cos 2ln 2+； （2）2

3x ； （3）C x +-sin ．

2．（1）C x +36； （2）C x

+3

ln 3； （3）C x ++1e ； （4）C x x +-cos sin ； （5）C x +arctan 3； （6）C x +arcsin 2；

（7）C t t

+-

3

4

4

3

3e ； （8）C x x +--tan cot ； （9）C x +1588

15； （10）

C t +20

ln 20； （11）C e x x x ++e -33ln 313； （12）C x x +--arctan 1

； （13）C x x +-sin ； （14）C x x ++arctan ； （15）C x x ++arctan 2

12

； （16）C x x x +--cot 9tan 4． 3．x x y +=3

．

第四节 换元积分法

1．（1）C x +-32ln 21

； （2）C e x

+--22； （3）C x a a

+)22arctan(21；

（4）C x +--22121； （5）C x ++)4ln(2

1

2； （6）C x +4)(arcsin 41；

（7）

C x +)arctan(sin 2

1

2； （8）C x x ++cos ln sin ln ； （9）C x ++14； （10）C x x x ++-53sin 51sin 32sin ； （11）C x x ++sin cos ln ； （12）C x x +-ln 1

．

2．（1）0； （2）31； （3）2； （4）1； （5）2

)2(ln 21； （6）23

3

2a ．

3．（1）C x a x a x a +--2222arcsin 2； （2）C x +1arccos ； （3）C x

x

++21；

（4）C x x ++-)21ln(2； （5）C e e x x

+++-+1

111ln

； （6）C x

a x a +--

3

22

32

23)

(． 4．（1）

2

π； （2）3322-； （3）61； （4）32ln 22+； （5）e e

+12ln ．

5．2ln ．

6．（1）0； （2）3ln ．

第五节 分部积分法

1．（1）C x x x +-2ln ； （2）C x x x ++-)41ln(4

1

2arctan 2； （3）

C x x x ++-)21(e 2122； （4）C x x x ++)3cos 23sin 3(e 13

1

2； （5）C x x x ++-2sin 41

2cos 21； （6）

C x x x x ++-2arctan 8

142arctan 22； （7）C x x x ++-]2ln 2)[(ln 2

； （8）C x x e

x

++-)22(33323

；

（9）)1()

1(11

2

+++n ne n ； （10）)11(2e -； （11）5e ； （12）463ππ-． 第六节 有理函数的积分及应用

1．（1）C x x +++

-111ln 2

1

2

； （2）C x x x x +-++--+3

12arctan 3)1ln(211ln 2

； （3）C x x x ++--1ln 2)2(ln ；

（4）

C x x x x x x ++---+++1ln 41ln 3ln 82

1312

3； （5）

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+5

12tan 3arctan 51x ； （6）C x x ++)2tan 3(2tan ln 312； （7）C x ++-

tan 11

； （8）C x x +-+-32)1

1(43．

第七节 广义积分

1．答：不正确．因为该积分是以0=x 为瑕点的广义积分，且该积分是发散的． 2．答：不正确．奇函数在对称区间上的定积分为零是以积分存在为前提的，而dx

x

x ⎰

∞+∞

-+2

1是发散的． 3．1>k 时

dx x)x(k

⎰

∞+2

ln 1收敛，1≤k 时dx x)x(k ⎰∞+2ln 1

发散．

4．（1）4π； （2）82π-； （3）π5

5

； （4）38； （5）91-； （6）23．

总复习题五

1．（1）A ； （2）A ； （3）C ； （4）C ； （5）D ； （6）D ． 2．（1）C x x +-cos ； （2）6

1

； （3）0； （4）1-； （5）2

)

1(2

--

x ； （6）c x x x +-sin cos ． 3．（1）

C x

+20

ln 20； （2）C x x x x ++-arctan arctan ； （3）2； （4）

)1(4

11

--e ； （5）π； （6）1． 4．C x x dx x +-+=⎰

1ln 2)(ϕ． 5．1=α，1=β．

6．提示：利用闭区间上连续函数的最值定理、定积分的估值定理、闭区间上连续函数的介值定理证明．