2011级《多元统计分析》复习题

1.已知12x X x ??= ???的密度函数为()221212121211(,)exp 2222146522f x x x x x x x x π??=-++--+????

试求X 的均值向量和协方差阵。

2.设(),p X N μ∑，p p A ?为对称阵，试证明

（1）、()EX X

μμ''=∑+ （2）()()E X AX tr A A μμ''=∑+ 3.设()12,X x x '=有密度函数

()221212121211(,)exp 256284610622f x x x x x x x x π??=-++--+????

求,cov()EX X μ=∑=。

4.设随机向量有密度函数 223122212()2(,)(2)()x y f x y x y e π---+=+，

证明：相关系数(,)0x y ρ=，但,x y 不独立

5.设有总体(),p X N μ∑，设()1(,,)i i i p X x x '=，(1,2,,)i n =为元正态总体的简单随机样本，试求总体均值向量μ的极大似然估计。

6. 设随机向量'12

3()X x x x =,且协方差矩阵4434923216-?? ?∑=-- ? ?-??,试求

'123()X x x x =中各分量两两之间的简单相关系数以及偏相关系数。

7.设{}()1,1,

,X N αα=为来自(,)p N μ∑的随机样本，设{}()2,1,,Y N αα=为来自(,)p N υ∑的随机样本，而且两个样本相互独立，∑是正定阵，12,N N p > 试求

（1）,,μυ∑的极大似然估计量???,,μ

υ∑ （2）,,μυ∑的无偏估计量。

8.设1(,,),1,2,,N p X x x αααα==（）是来自参数为'12B=(,,,)p b b b 及n 的多项式分布的随机样本，试求B 的极大似然估计量。

9.人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了20名健康成年女性的出汗量（）钠的含量和钾的含量，由样本值计算得

(4.64,45.4,9.965)X =及样本离差阵的逆阵

10.030850.001160.013580.001160.000310.000080.013580.000080.02115L --?? ?=- ? ???

试检验00:(4,50,10)H μμ==。

10. 设线性模型

11

(1)1N N N k Y X βε???+?=+，()0,()0E D εε==∑> 要求'1()()Q Y X Y X ββ-=-∑-达到最小。

试写出其正规方程，并求的最小二乘估计及残差平方和e Q 。

11.设两个总体12,G G 的分布密度分别为：12(),()f x f x 。且两个总体的先验概率分别为120.2,0.8p p ==，错判损失分别为(2|1)=50(1|2)=100L L ，

（1）、建立Bayes 判别准则

（2）、设有新样品0x 满足1020()=6.3,()=0.5f x f x 。 判断新样品0x 应判为哪一

类？

12. 设随机向量()'1

23X x x x =的协方差阵为1-20250002?? ?∑=- ? ???，求X 的各主成分。

13. 设 ()()144,,0,T X X X N =∑ ，1111ρρρρρρρρρρρρ?? ? ?∑= ? ???

，01ρ<< (1) 试从Σ出发求X 的第一总体主成分；

(2) 试问当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。

14. 设()'123X x x x =的相关系数矩阵通过因子分析分解为

121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013

R ??

- ????? ?-?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???ρ

则1X 的共性方差=________，1X 的方差11σ=______________，第一公因子1F 对X 的贡献=_____________________________________________________。

1、

15. 设随机向量()'1234,,,X x x x x =的因子载荷阵为4172A -1618?? ? ?= ? ???

，求X 的各分量1x 的共同度2(1,2,3,4)i h i =和公共因子(1,2)j F j =对X 的各分量1x 的总影响即j F 对X 的贡献j S 。

16. 在单因变量的多元线性回归分析中。（1）说明逐步回归分析中的主要思想和方法。（2）多元回归分析中，多重共线性是指什么？指出其成因、后果及消除共线性的主要方法。

17.分别叙述距离判别、Fisher 判别、Bayes 判别分析的基本思想和方法。

18.举例说明主成分分析和因子分析原理、方法的异同及适用条件。

19.简述对应分析的思想。

20.针对典型相关而言，简述典型变量和典型相关系数的概念。