反比例函数知识点总结与练习题

反比例函数

知识点1反比例函数的定义

k

一般地，形如y （k为常数，k 0 ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几

x

个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数值的取值范围是y 0；

⑶比例系数k 0是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

—k , 小

①y （k 0），

x

1

②y kx （k 0），

③x y k （定值）（k 0）；

k k

⑸函数y —（k 0 ）与x -（k 0 ）是等价的，所以当y是x的反比例函数

x y

时，x也是y的反比例函数。

k

（k为常数，k 0 ）是反比例函数的一部分，当k=0时，y ，就不是反比例函数了。

x

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

k

由于反比例函数y （k 0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，

x

就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或

第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x 0，函数

值y 0,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：

⑴列表；

⑵描点；

⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画

成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表:

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……” 否则，笼统地说，当k 0 时，y 随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，

k

由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。女口y -

x 在第一、第三象限，则可知k 0。

k

☆反比例函数y ( k 0)中比例系数k的绝对值k的几何意义。

如图所示，过双曲线上任- 一

占

P (x , y)分别作x轴、y轴的垂线，

E、F分别为垂足，则1xy x|y PF PE S矩形OEPF

k

☆反比例函数y -

x(k0) 中，k越大，双曲线

k

y —越远离坐标原点；1

x

k越

小,

k

双曲线y 越靠近坐标原点。

x

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y= —x。

例题

【例1】如果函数y kx2^ k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？

【答案】由反比例函数的定义，得:

2k2k 2

1解得k 0

例2 :水产公司有一种海产品工艺 2i04千克，为寻求合适的销售价格，公司进行了 8天

k 1

1

【例2】在反比例函数y

的图像上有三点 X ! , y i , x , Y 2 , X 3 ,旳3 。若

x

X ! X 2 0 X 3则下列各式正确的是(

A )

A - y 3 y i

y 2 B • y 3 y 2 y i C • y i

y 2 y 3 D • y i y y ?

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 知识点一：反比例函数的定义

例i ：在下列函数中，是反比例函数的是 _________________ 。

X

i 彳

2

d i 2

3 (i )

y — ；(2) y

i ;(3) y

_ • (4) y i -x ；

(5) y —

3

3x

X

2

2x

(6) xy

i ; (7) y

8 2 ；

(8) y x

i ;

(9) -

2 ；

2

X

X

例

2 : 当m 取何值时, y

2

m m 2 m i

2m x

是关于 x 的反比例函数？并求出其表达式。

知识点二：反比例函数表达式的确定

例3 :由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度

I 与电阻R 成反比例。已知电压保持不变，

电阻R=i2.5欧姆，电流强度1=0.2安培。（i ）求I 与R 的函数关系式；（2）当R=5 欧姆时，求电流强度。

重点一：反比例函数与其他函数的综合应用

例i ：已知y y i y 2 , y i 与X 成正比例，y ?与X 成反比例，并且当X =2时，y 4 ;

当X i 时，y 5.求y 与X 的函数表达式。

重点二：反比例函数的实际应用