高数第四章 不定积分

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

1. 若()2

1x +为()f x 的一个原函数，则下面哪些也是()f x 的原函数？

答：2

+2x x 是。因为它与()2

1x +只差一个常数，而另外三个函数与()2

1x +不是相差常数.

2. 求下列不定积分

(1) 解 211

dx C x x

=-+⎰ (2) 解

11

10

1011.10111x x dx x C C +=+=++⎰

(3) 解

14

13

313.14

13

x

C x C +=

+=++

(4) 解

335

12

2

212.35

12

x dx x

C x C +==

=++⎰⎰

(5) 解

5

3

2

22.3x dx x C -

-==-+⎰

(6) 解

arcsin .x C =+

3. 已知函数()y f x =是导数等于1x +,且该函数过点()2,5,求这个函数. 解 由题目条件可得

()()2

11,2

y f x x dx x x C ==+=

++⎰ 且()215222C =

++,故1C =,所以()2

112

f x x x =++. 4. 已知曲线上任一点的切线斜率为2

3x ,且曲线过点()1,1,求此曲线方程. 解 由题目条件得233y x dx x C ==+⎰

,且11C =+,故0C =,所以3

y x =.

5. 求下列不定积分.

(1) 解 102510.ln10

x

x

x

x

dx dx C ==

+⎰⎰ (2) 解

715

8

88.15

x dx x C ==+⎰

(3) 解

2

11335222222282

44.35x x dx x dx x dx x x C --==-+=++⎰⎰⎰

(4) 解

()2

sec sec tan sec sec tan tan sec .x x x dx xdx x xdx x x C +=+=++⎰⎰⎰

(5) 解 2222111

tan cot .cos sin cos sin dx dx dx x x C x x x x =+=-+⎰⎰⎰

(6) 解

()cos tan sec sin cos .x x x dx xdx dx x x C -=-=--+⎰⎰⎰

第二节 换元积分法

1. 求下列不定积分

(1) 解

()

()()()2

23

1123232323.26

x dx x d x x C -=

--=-+⎰⎰ (2) 解 ()()()()101011

13333.11

x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰

(3) 解

()()3

212

4343.39

x x C =+=++

(4) 解

()(

)1

211212.2x d x C -

=++=⎰

(5) 解

()11sin 5sin 55cos5.55

xdx xd x x C =

=-+⎰⎰ (6) 解

sin 52sin 552cos 5.2222x x x x dx d C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎰⎰ 2. 求下列不定积分. (1) 解

令t =

()2

112

x t =

-，dx tdt =。所以

()2112t t tdt =-⋅⋅⎰⎰()

42

12

t dt t dt =-⎰⎰ 5311106t t C =-+()()()533

2221112

22121+21.10625

15x x C x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭

(2) 解

令t =

，则3x t =，23dx t dt =.所以

2

313111t dt t t t ⎛

⎫==-+ ⎪++⎝⎭

⎰⎰ 213ln 12t t t C ⎛⎫

=-+++ ⎪⎝

⎭23

3ln 1.2x C ⎛ =+ ⎝⎭

(3) 解

令t =

，则2x t =，2dx tdt =.所以

(2222ln 1+t 2ln 1.1tdt dt

C C t t t ===+=++++⎰⎰

(4) 解

令t =

22x t =-，2dx tdt =.所以

2111221111t t dt dt dt t t t -+⎛

⎫==+

⎪---⎝⎭

⎰⎰⎰()2ln 1t t C =+-

+)

21.C =+

3. 求下列不定积分.

(1) 解 当1x >时，令sec ,0,

2x t t π⎛⎫

=∈ ⎪⎝

⎭

tan t =, sec tan .dx t tdt =所以

sec tan 1

arccos .

sec tan t t dt dt t C C t t x ===+=+⎰

⎰

当x <0时，令x=-t,可得

11arccos arccos C C t x ==+=+-，

所以

1

arccos

.C x

=+ (2) 令sin ,,22x t t ππ⎛⎫

=∈-

⎪⎝⎭

cos ,cos t dx tdt ===.

2

22sin 1cos 2cos sin cos 2t t tdt tdt dt t -=⋅==⎰⎰⎰

(11111

sin 2sin cos arcsin 24222

t t C t t t C x C =-+=-+=-+ 4. 求下列不定积分.

(1) 解()sin sin sin cos sin .x x x e xdx e d x e C ==+⎰⎰

(2) 解

()sin sin sin cos sin .x x

x x dx e d x e C e --=--=-+⎰⎰

(3) 解 (

)

()3

2

2

3

1

sin sin 1cos sin cos cos cos cos .3

xdx x x dx xdx xd x x x C =-=+=-+⎰

⎰

⎰⎰

(4) 解

()33

41sin cos cos cos cos .4

x xdx xd x x C =-=-+⎰⎰ 5. 求下列不定积分. (1) 解

t =,则()2

11,2

x t dx tdt =

+=.所以

(

)2222arctan 2arctan .1112

t dt

dt t C C t t t ===+=++⎰⎰

(2) 解

,t =则4

3

,4x t dx t dt ==,所以