2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三(下)月考数学试卷(2021.03)(含解析)

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（下）月考数学试卷

（3月份）

一、填空题（共12小题）.

1．抛物线x2＝12y的准线方程为．

2．若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝

3．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为．

4．在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为．

5．若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为．

6．某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）

7．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且有，则首项a1的取值范围．

8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为9．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种．

10．设θ∈[0，2π），若圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝r2（r＞0）与直线2x﹣y﹣10＝0有交点，则r的最小值为

11．已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为．

12．已知正方形ABCD边长为8，，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使，则λ的取值范围为．

二、选择题（共4小题）.

13．下列函数是奇函数的是（）

A．f（x）＝x+1B．f（x）＝sin x•cos x

C．f（x）＝arccos x D．f（x）＝

14．若已知极限，则的值为（）

A．﹣3B．C．﹣1D．

15．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（）

A．BG⊥DE B．CH∥BE C．DG⊥BH D．AE∥CD

16．设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（）

A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）

B．的最大值为

C．与的夹角的最大值为

D．ad+bc的最大值为1

三、解答题

17．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．

（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；

（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．

18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．

（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；

（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．

19．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝2（km），BC＝3（km）．CD＝1（km）．

（1）求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；

（2）因地理条件限制，边界AD，DC不能更变，而边界AB，BC可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．

20．已知函数f（x）＝，x∈R．

（1）证明：当a＞1时，函数y＝f（x）是减函数；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）当a＝2，且b＜c时，证明：对任意d∈[f（c），f（b）]，存在唯一的x0∈R，使得f（x0）＝d，且x0∈[b，c]．

21．设数列{a n}（n∈N*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n≥3，均存在正整数k （1≤k≤n﹣1）使得a n＝，则称数列{a n}为“Ω数列”．

（1）若数列{a n}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，当n≥3时，试问：a n与

是否相等，并说明数列{a n}（n∈N*）是否为“Ω数列”；

（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{a n}是否为“Ω数列”，并说明理由；

（3）已知数列{a n}为“Ω数列”，且a1＝0，a2＝1，记S（n，k）＝a n﹣1+a n﹣2+…+a n﹣k，（n≥2，n∈N*），其中正整数k≤n﹣1，对于每个正整数n≥3，当正整数k分别取1、2、…、n﹣1时的最大值记为M n、最小值记为m n．设b n＝n•（M n﹣m n），当正整数n 满足3≤n≤2020时，比较b n与b n+1的大小，并求出b n的最大值．

参考答案

一、填空题（共12小题）.

1．抛物线x2＝12y的准线方程为y＝﹣3．

解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．

故答案为：y＝﹣3．

2．若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝

解：f（x）是奇函数；

∴f（﹣x）＝﹣f（x）；

即；

∴﹣x﹣2m+1＝﹣x+2m﹣1；

∴﹣2m+1＝2m﹣1；

∴．

故答案为：．

3．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，

若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，

则函数g（x）的零点为；

故答案为：．

4．在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为．

解：∵（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，

∴由余弦定理可得：2bc cos A•tan A＝bc，可得：sin A＝，

∵A为锐角，

∴A＝．

故答案为：．