2020年上海市位育中学高三期中数学试卷及答案(2020.04)
上海市位育高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析
上海市位育高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 函数f(x)的图象关于点成中心对称C. 函数f(x)在单调递增D. 将函数f(x)的图象向左平移后得到的关于y轴对称参考答案：C【分析】根据条件求出c的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．【详解】解：根据函数（，）的部分图象以及圆C 的对称性，可得，两点关于圆心对称，故，则，解得：，函数的周期为，故A错误；∵函数关于点对称，∴函数的对称中心为，则当时，对称中心为，故B不正确；函数的一条对称轴为，在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，由图像可知，函数的单调增区间为，，当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；的一条对称轴为，∴函数的图象向左平移个单位后，此时，所得图象关于直线对称，故D错误.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解决问题的关键是由图象求出函数的性质，再根据图象变换的规则解决问题.2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略3. 曲线在点处的切线为．若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为A. B. C.2 D.参考答案：【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6A 解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0, )，∴△OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A 、B的坐标，进而用表示△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.4. 已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈．当1＜a＜2时，则函数f（x）极值点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合法；导数的概念及应用．分析：先判定该函数为偶函数，再通过运算得出x=0为函数的一个极值点，最后再判断函数在（0，）有一个极值点．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f （x）为偶函数，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0为函数的一个极值点，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），则f''（0）=2﹣a＞0，故函数f'（x）在x=0附近是单调递增的，且f'（）=1﹣a＜0，结合①，根据函数零点的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，显然，此时x=m就是函数f（x）的一个极值点，再根据f（x）为偶函数，所以f（x）在（﹣，0）也必有一个极值点，综合以上分析得，f（x）在共有三个极值，故选C．点评：本题主要考查了函数的极值，以及运用导数研究函数的单调性和函数零点的判定，属于中档题5. 双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略6. “0<x<1”是“log2(x＋1)<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：7. 函数的大致图象是参考答案：D因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.函数的导数为，由，得，所以，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，选D.8. 函数的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称参考答案：B略9. 已知点在曲线上，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则方程的实数根的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不确定参考答案：A10. 多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A． B．C．D．参考答案：【知识点】三视图求表面积.G2A根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,,,在三角形ABD 中，，,,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ） A.{}x x ≤1B. {}x x ≤≤01C. {}2x x ≤ D.{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．D ．3. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A.2B.4C.8D.164. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真.C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.5. 已知()21f x x =+，若()()10f x f a =⎰，则a 的值为（ ） A.12- B.32-C.12D.16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．327. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( )①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >. A ． B ． C ． D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5C. 6D ．79.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）ABCD10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．12B ．35C ．23D ．3411. 在ABC ∆中,16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )103D.20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k的最大值为（ ） A ．2B ．3C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知1,22cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-=。
位育中学第一学期期中考试高三年级
位育中学第一学期期中考试高三年级数学试卷(理科)一、填空题(每题4分，共计56分)1、已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则=m __________2、不等式3|2|<-x 的解集是__________3、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则)2(-f =__________4、已知+∈R y x ,，且满足143=+yx ，则xy 的最大值为__________ 5、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是__________6、若函数x a x y 2cos 2sin +=的图像关于直线6π-=x 对称，则a =__________7、函数||log )(b x x f a -=(0>a 且1≠a )是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，则)3(-a f 与)2(-b f 的大小关系是______________8、定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤=0),2()1(0,23sin)(x x f x f x xx f π，则)2010(f 的值为__________ 9、某种商品，若定价为p 元，则每月可卖出n 件，设定价上涨x 成(一成即%10)，卖出数量将减少32x成，为了使售货金额有所增加，则x 的取值范围是__________ 10、无论m 取何值，函数)43sin(2π+=kx y 在区间))(43,32[R m m m ∈++上至少有一个最大值和最小值，则正整数k 的最小值为11、若关于x 的方程x x k =++2有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是__________12、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为13、若关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和)1,1(ab ，则称这两个不等式为对偶不等式。
2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
上海市2020〖人教版〗高三年级第二学期期中练习数学理 - 副本
上海市2020年〖人教版〗高三年级第二学期期中练习数学（理）一、选择题（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =（ ）（A ）[2,)-+∞ （B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）(,)-∞+∞【难度】1【考点】集合的运算 【答案】A 【解析】2{|4}{|2}B x x x x =∈=∈-R R ≤≤≤2,1{|}A x x >=∈R所以，{}2A B x R x =∈≥-故选A（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）12【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】抛物线2=4x y 的焦点为(0,1)，准线方程为：1y =- 又因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为坐标原点到准线的距离 故选C（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ）（A ）3 （B （C ）2（D ）1【难度】1【考点】平面向量的线性运算【答案】D 【解析】2222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅222cos ,a b a b a b =+-⋅⋅<>1=故选D（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【难度】1【考点】充分条件与必要条件 【答案】B 【解析】 先考察充分性： 当sin 0α>时，取23πα=，则不满足“角α是第一象限的角” 所以，充分性不成立； 再考查必要性：当“角α是第一象限的角”时，由正弦函数的定义知，sin 0α> 所以，必要性成立。
故选B（5）圆1,1x y ⎧=-θ⎪⎨=+θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ） （A）2（B ）π（C ）（D ）4π【难度】2 【考点】A【答案】参数和普通方程互化 【解析】由1,1x y ⎧=-+θ⎪⎨=+θ⎪⎩得，22(1)(1)2x y ++-=圆心C (1,1)-，半径为2，设圆与0y =交于A B 、两点， 令0y =得：2x =-或0x =，即(2,0)A -，(0,0)B 显然，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90A ∠= 故所求劣弧长为圆周长的14，即1224r ππ=故选A（6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥（D ）210x y -+≥作出可行域如图：对于选项A ：故选项A 不正确；对于选项B ：【难度】2【考点】线性规划 【答案】D 【解析】由题意得，题干表示的平面区域必须全部在选项表示的平面区域内部，故选项B不正确；对于选项C：故选项C不正确；对于选项D：所以选项D符合题意故选D（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【难度】3【考点】空间几何体的三视图与直观图 【答案】C 【解析】由正视图可知该三棱锥的顶点一定是在右侧， 而选项C 的俯视图表示的三棱锥的顶点在左侧， 故选C（8）某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）（A ）第一年到第三年（B ）第二年到第四年 （C ）第三年到第五年（D ）第四年到第六年 【难度】3【考点】函数图象 【答案】A 【解析】年增长率是指当年比去年多出的产量与去年产量的比值， 比如第一年产量100，第二年产量103，则年增长率为1031003100100-=所以，由图可知，第二年与第三年的年增长率的和最大， 所以，第一年到第三年的年平均增长率最大。
上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数
2020届上海市上海中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案. 【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.【考点】等比数列的性质3．若存在[1,2]x ∈，使得2120xa ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,24⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13,44⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据绝对值不等式得212x a ⋅->或212x a ⋅-<-，再因为20x >，得32xa >或12xa <-， 由[1,2]x ∈时，得242x <<，得333422x <<或111224x -<-<-，要存在[1,2]x ∈，使得32x a >或12xa <-成立，则需min 32x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭或max12x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，可得a 的取值范围. 【详解】由2120xa ⋅-->得212x a ⋅->或212x a ⋅-<-，即23x a ⋅>或21x a ⋅<-，因为20x>，所以32x a >或12xa <-， 当[1,2]x ∈时，242x <<，所以333422x <<或111224x -<-<-，所以要存在[1,2]x ∈，使得32x a >或12xa <-成立，则需min 32x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭或max12x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 所以34a >或14a <-，故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式、指数函数的值域以及不等式的存在性的问题，属于中档题，在解决不等式的存在性的问题时，常有以下情形：（1）0 x D ∃∈，使不等式()0f x A >成立，则max f ()x A >； （2）0 x D ∃∈，使不等式()0f x B <成立，则()min f x B <；（3）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x >成立,则max ()()(),()0F x f x g x F x =-∴>； （4）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x <成立,则min ()()(),()0F x f x g x F x =-∴<； （5）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f g x x >恒成立，则max min f ()()x g x >； （6）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x <恒成立，则min max f ()()x g x <. 4．给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断： （1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数：（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性；其中正确论断的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于论断举反例，可得结论. 对于（1），设()f x x =-，()g x x =，所以,0(),0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩，可判断（1）；对于（2），设()1f x x =+，()1g x x =-+，则1,0()1,0x x h x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，可判断（2）；对于（3）设()f x x =，2()g x x =，则22,0(),01,1x x h x x x x x ⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩，可判断（3），可得选项.【详解】对于（1），设()f x x =-，()g x x =，所以,0(),0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩，()f x 和()g x 都是奇函数，而()h x 是偶函数不是奇函数，故（1）不正确；对于（2），设()1f x x =+，()1g x x =-+，则1,0()1,x x h x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，而()h x 是偶函数，故（2）不正确；对于（3）设()f x x =，2()g x x =，则22,0(),01,1x x h x x x x x ⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩，()f x 是奇函数,()g x 是偶函数，而()h x 是非奇非偶函数，故（3）不正确。
上海市西南位育中学2020届高三上学期期中考试 数学(含解析)
上海市西南位育中学2020届高三上学期期中考试数学一. 填空题1.已知全集U =R ，若集合01xA x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA________.【答案】(]0,1 【分析】解出集合A ，然后利用补集的定义可得出集合UA .【详解】解不等式01xx ≥-，得0x ≤或1x >，则集合(](),01,A =-∞+∞，因此，0,1UA .故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查补集的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.数列{}n a 的通项公式()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=________. 【答案】12【分析】由题意得出1lim lim23n n n n a n →∞→∞+=-，然后在分式和分母中同时除以n ，于是可计算出所求极限值.【详解】()1,110021,10023nn n a n N n n n *⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎪>⎪-⎩，111101lim lim lim 3232022n n n n n n a n n →∞→∞→∞+++∴====---. 故答案为：12. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.3.若函数()y g x =图像与函数2(1)(1)y x x =-≤的图像关于直线y x =对称，则(4)g =_____.【答案】1-【详解】解：因为两个函数互为反函数，因此2(4),()4,141g t f t t t ==-=∴=-那么（） 4.函数()()2sin 22cos f x x x x R =+∈的最大值为________.21 【分析】利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此可得出函数()y f x =的解析式.【详解】()21cos 2sin 22cos sin 22sin 2cos 2122124x f x x x x x x x π+⎛⎫=+=+⋅=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =21. 21.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时要将三角函数的解析式进行化简，再结合三角函数的有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.5.在无穷等比数列{}n a 中，若此数列的前n 项和n S 满足1lim 2n n S →∞=，则1a 的取值范围为_______. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，由等比数列的前n 项和公式得出11lim 12n n a S q →∞==-，得出()1112a q =-，由此可得出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-，则()1111lim lim112n n n n a q a S qq →∞→∞-===--，可得出()1112a q =-.当10q -<<时，112q <-<，此时()1111,122a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；当01q <<时，011q <-<，此时()11110,22a q ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.因此，1a 的取值范围为110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，本题中要得出数列的公比()()1,00,1q ∈-，同时根据极限得出1a 与q 所满足的关系，考查计算能力，属于中等题.6.已知向量()1,1a =，()8,6b =-，则a 与b 的夹角大小为________. 【答案】2arccos 10π- 【分析】利用平面向量的数量积计算出cos ,a b ，由此可得出a 与b 的夹角,a b 的大小. 【详解】()222218162cos ,101021186a b a b a b⨯-+⨯⋅====-⋅+⨯-+，2,a b π∴=-，因此，a 与b 的夹角大小为2π-. 故答案为：2arccos10π-. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，解题时要充分利用平面向量数量积的定义来进行计算，考查计算能力，属于基础题. 7.若3sin 5α=且α是第二象限角，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】7- 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出tan α的值，然后利用两角差的正切公式可求出tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】α第二象限角，则2234cos 1sin 155αα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，sin 3tan cos 4ααα∴==-.因此，3tan tan144tan 7341tan tan 1144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++-⨯ ⎪⎝⎭. 故答案为：7-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.8.已知数列{}n a 的通项公式为()12nn n a n =-⋅+，*n ∈N ，则这个数列的前2n 项和2n S =________.【答案】2122n n ++- 【分析】利用并项求和法求出数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2n T ，并利用等比数列的求和公式求出数列{}2n 的前2n项和，相加可得出2n S . 【详解】设数列(){}1nn -⋅的前2n 项和2n T ，则()()()()212342121234212n T n n n n =-+-+---+=-++-+++--+⎡⎤⎣⎦1n n =⨯=，因此，()221222122212n n n n S T n +-=+=+--.故答案为：2122n n ++-.【点睛】本题考查数列求和，考查并项求和与分组求和，解题时要根据数列通项的结构选择合适的方法求和，考查计算能力，属于中等题.9.某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式()250131() 1.53x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨⋅⎪⎩，，＞《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时） 【答案】4 【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升时，才能开车，因此只需由()0.02f x ≤，求出x 的值即可.【详解】当01x ≤≤时，由()0.02f x ≤得250.02x -≤，解得5520.020.50x log log ≤+=<，舍去； 当1x ＞时，由()0.02f x ≤得31()0.0253x⋅≤，即130.1x -≤，解得3310.1110x log log ≥-=+，因为331104log <+<，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.故答案为4【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 10.如图，在ABC ∆中，若3AB AC ==，3BAC π∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅=________.【答案】32- 【分析】将AD 、BC 利用向量AB 、AC 表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出AD BC ⋅的值. 【详解】2DC BD=，13BD BC∴=，()1133AD AB BD AB BC AB AC AB ∴=+=+=+-2133AB AC =+，BC AC AB =-.由平面向量数量积的定义得219cos 3322AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯=.因此，()221211233333AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭22119233333232=⨯+⨯-⨯=-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就选择合适的基底表示问题中涉及的向量，同时也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题. 11.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k kk +=+，得2k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.12.已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n nn n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin 3n n a =）. 二. 选择题13.若a 、b ∈R ，那么11a b>成立的一个充分非必要条件是（ ） A. a b > B. ()0ab a b -<C. 0a b <<D. a b <【答案】C 【分析】 利用作差法得出11a b >的等价条件，然后可找出11a b >成立的一个充分非必要条件. 【详解】11a b >，110b a a b ab -∴-=>，即0a b ab-<，等价于()0ab a b -<. 对于A 选项，若a b >，则0a b ->，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成立； 对于B 选项，()0ab a b -<是11a b>成立的充要条件； 对于C 选项，当0a b <<时，0a b -<，0ab >，此时()0ab a b -<， 则()00a b ab a b <<⇒-<，另一方面，()00b a ab a b >>⇒-<.则()00ab a b a b -<⇒<</，则0a b <<是11a b>成立的充分非必要条件； 对于D 选项，若a b <，0a b -<，由于ab 的符号不确定，则()0ab a b -<不一定成立. 因此，11a b>成立的一个充分非必要条件是0a b <<. 故选：C.【点睛】本题考查充分非必要条件的寻找，解题时应充分考查不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题.14.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．15.关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. (],8-∞-C. (][),80,-∞-+∞D. 以上都不对【答案】B 【分析】换元30x t =>，问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根，利用参变量分离法得出()44a t t -+=+，转化为()4a -+的取值范围即为函数()40y t t t=+>的值域，然后利用基本不等式求出该函数的值域，即可求出实数a 的取值范围.【详解】令30x t =>，则29x t =，由()94340xxa ++⋅+=，得()2440t a t +++=.则问题转化为关于t 的二次方程()2440t a t +++=在0t >时有实数根.由()2440t a t +++=，可得()44a t t-+=+， 由基本不等式得()44424a t t t t-+=+≥⋅=，当且仅当2t =时，等号成立， 所以，()44a -+≥，解得8a ≤-. 因此，实数a 的取值范围是(],8-∞-. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点求参数，解题的关键就是将指数函数转化为二次函数来求解，并利用参变量分离法简化计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax b y +的形式，则+a b 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ；（4）因为32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ； （5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 三. 解答题17.已知a ∈R ，函数()1f x a x=+. （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的不等式()2f x x ≤在区间[]2,1--上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）(],3-∞-. 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，分0x <和0x >两种情况，去绝对值，解出不等式()2f x x ≤即可；（2）由()2f x x ≤，利用参变量分离法得出12a x x≤-，将问题转化为：当[]2,1x ∈--时，max12a x x ⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭，然后分析函数()12g x x x =-在[]2,1--上的单调性，求出该函数在区间[]2,1-- 上的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()11f x x=+. 当0x <时，()111f x x=+>，而20x <，则不等式()2f x x ≤无解； 当0x >时，()1111f x x x =+=+，由()2f x x ≤，得112x x+≤，即2210x x --≥， 解得12x ≤-或1x ≥，此时，1x ≥. 综上所述，当1a =时，不等式()2f x x ≤的解集为[)1,+∞； （2）由()2f x x ≤，得12a x x +≤，由参变量分离法得12a x x≤-. 由题意可知，当[]2,1x ∈--时，max12a x x ⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭.当[]2,1x ∈--时，构造函数()1122g x x x x x=-=+. 任取1221x x -≤<≤-，则()()1212121122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212121212211122x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=-+=. 1221x x -≤<≤-，则1214x x <<，12210x x ->，120x x -<，()()12g x g x ∴<.则函数()12g x x x=+区间[]2,1--上单调递增，所以，()()max 13g x g =-=-，3a ∴≤-，因此，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了不等式成立求参数，灵活利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.18.如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为游客体验活动区，已知120A ∠=，AB 、AC 的长度均大于200米，设AP x =，AQ y =，且AP 、AQ 总长度为200米.（1）当x 、y 为何值时，游客体验活动区APQ 的面积最大，并求最大面积？ （2）当x 、y 为何值时，线段PQ 最小，并求最小值？【答案】（1）100x y ==时，最大值为25003；（2）100x y ==时，最小值为1003. 【分析】（1）由题意得出200x y +=，利用三角形的面积公式和基本不等式可求出APQ ∆面积的最大值，并利用等号成立的条件求出对应的x 与y 的值；（2）由余弦定理结合基本不等式可得出PQ 的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的x 与y 的值. 【详解】（1）由题意可知，200x y +=，且0x >，0y >.APQ ∆的面积为1133sin 22ABQ S AP AQ A xy xy ∆=⋅⋅∠==.由基本不等式得)222333100250032ABQx y S xy m ∆+⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭. 当且仅当200x y x y +=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，游客体验活动区APQ 的面积取得最大值225003m ； （2）由余弦定理得222212cos 22PQ AP AQ AP AP A x y xy ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⋅- ⎪⎝⎭()22240000x y xy x y xy xy =++=+-=-由基本不等式得224000040000400001002x y PQ xy +⎛⎫=-≥-=- ⎪⎝⎭()1003m =.当且仅当200x y x y+=⎧⎨=⎩时，即当100x y ==时，等号成立，因此，当100x y ==时，PQ 取得最小值1003m .【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理的应用，同时也考查了基本不等式的应用，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x1x132x 3x103x ωϕ+2π π32π 2π()sin A x ωϕ+33-（1）请写出上表1x 、2x 、3x ，并求出函数()f x 的解析式；（2）设()()()31g x x f x =+-，当[]0,4x ∈时，求()g x 的单调递增区间. 【答案】（1）123x =-，243x =，373x =，()323f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据五点作图法，求出ω、ϕ的值，结合表格中的数据可得出1x 、2x 、3x 的值，并可得出函数()y f x =的解析式；（2）利用诱导公式、辅助角公式可得出()2326g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，先求出函数()y g x =在R 上的单调递增区间A ，再由[]0,4A可得出函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间.【详解】（1）由题意可得1321023πωϕωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2πω=，3πϕ=，且3A =则1023x ππ+=，得123x =-；223x πππ+=，得243x =；33232x πππ+=，得373x =.()323f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()()()313sin 323232g x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313sin 323cos 232323223x x x x ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦23sin cos cos sin 23236236236x x x πππππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦2326x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解不等式()222262k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得()424433k x k k Z -≤≤+∈. 所以，函数()y g x =在R 上的单调递增区间为()424,433A k k k Z ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦. []280,40,,433A⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此，函数()y g x =在区间[]0,4上的单调递增区间为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用五点作图法求函数解析式，同时也考查了正弦型三角函数在定区间上的单调区间的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，考查运算求解能力，属于中等题. 20.对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足：①存在闭区间[],a b D ⊆，使得任取[]1,x a b ∈，都有()1f x c =（c 是常数）；②对于D 内任意2x ，当[]2,x a b ∉时总有()2f x c >，称()f x 为“平底型”函数.（1）判断()112f x x x =-+-，()22f x x x =+-是否为“平底型”函数？说明理由；（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，若()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的范围；（3）若()22F x mx x x n =++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，求m 和n 的值.【答案】（1）()1f x 是“平底型”函数，()2f x 不是“平底型”函数；理由见解析；（2）15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1m n ==. 【分析】（1）将函数()1y f x =与()2y f x =分别表示为分段函数，结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断；（2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由题意得出()()min11f x t t ≤-++，利用绝对值三角不等式求出11t t -++的最小值2，然后分1x <、12x ≤≤、2x >三种情况来解不等式()2f x ≤，即可得出x 的取值范围；（3）假设函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的两个条件同时成立的m 、n 值是否存在.【详解】（1）()132,1121,1223,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-≥⎩，()22,222,2x f x x x ≤⎧=⎨->⎩.对于函数()1y f x =，当[]1,2x ∈时，()11f x =，当1x <时，()1321f x x =->；当2x >时，()1231f x x =->. 所以，函数()1y f x =为“平底型”函数.对于函数()2y f x =，当2x ≤时，()22f x =；当2x >时，()2222f x x =->. 但区间(],2-∞不是闭区间，所以，函数()2y f x =不是“平底型”函数； （2）由（1）知，()12f x x x =-+-，由于不等式()11t t f x -++≥对一切t ∈R 恒成立，则()()min11f x t t ≤-++.由绝对值三角不等式得()()11112t t t t -++≥--+=，则有()2f x ≤. ①当1x <时，由()2f x ≤，得322x -≤，解得12x ≥，此时，112x ≤<； ②当12x ≤≤时，()12f x =≤恒成立，此时，12x ≤≤； ③当2x >时，由()2f x ≤，得232x -≤，解得52x ≤，此时，522x <≤. 综上所述，x 的取值范围是15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）假设函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数，则存在R c ∈， 使得()F x c =对[)2,-+∞上某个闭区间上的任意实数x 恒成立，即22mx x x n c ++=，22x x n c mx ++=-，()2222222x x n c mx m x cmx c ∴++=-=-+.所以，22122m cm c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.①当1m =，1c =-，1n =时，()21,2121121,1x F x x x x x x x x --≤≤-⎧=+++=++=⎨+>-⎩.且当1x >-时，()211F x x =+>-，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数； ②当1m =-，1c =，1n =时，()221,212111,1x x F x x x x x x x ---≤<-⎧=-++=-++=⎨≥-⎩.[)1,-+∞不是闭区间，此时，函数()y F x =，[)2,x ∈-+∞不是“平底型”函数.综上所述，当1m n ==，函数()22F x mx x x n =+++，[)2,x ∈-+∞是“平底型”函数.【点睛】本题考查函数的新定义“平底型”函数，同时也考查了不等式恒成立问题以及绝对值不等式的求解，体现等价转化和分类讨论数学思想，属于难题.21.已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足111{2n n a a a +=-=，111{2n nb b b +=-=，其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列” ①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,1{2,2n n n b n --==≥（2）①22,4{415,5n n n S n n n ≤=-+≥②6【解析】(1)∵数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=,21212,2,n n b b b b n N ++=-=∈∗， 则数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 从第二项起构成等比数列。