高中数学基础知识点梳理(理)

高中数学基础知识归类——献给20XX 年高三(理科)考生

一.集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|l g }x y y x =

—函数图象上的点集.

2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如：}012|{2

=--=x ax x A ,如果A R +

=?,求a 的取值.(答：0a ≤)

④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A

B C A C B =；

A B C A B C =（）（）；

A B C A B C =（）（）.

⑤A B A A

B B =?=U U A B

C B C A ????U A C B ?=?U C A

B R ?=.

⑥A

B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-.

⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数12)2(24)(2

2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：3

2(3,)-)

4.原命题: p q ?；逆命题: q p ?；否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)

5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).

6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???. 命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”.

如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式

二.函数 1.①映射

f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不

同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?).

②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义 域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()

1(()0)f x f x f x -=±≠；

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如()0f x =定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数12

2log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）；

上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →. ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然. ③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；

④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；

⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2

a b x +=对称；

⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=

对称(由a x b x +=-确定)；

原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是

不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有1n -个 小于 不小于

至多有n 个

至少有1n +个

对所有x ,成立 存在某x ,不成立 p 或q p ?且q ? 对任何x ,不成立 存在某x ,成立

p 且q

p ?或q ?

⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2

a b x +=对称；

⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2

A y =

对称(由()()

2

f x A f x y +-=

确定)；

⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =-- 的图像关于点22(,)m n

对称；

⑩函数()y f x =与函数1

()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于 y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=； 曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ； ⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ； ⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；

⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -； ⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()

()f x f x a +=-

,则()y f x =的周期为2||a ；

10.对数：⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>； ⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a a

a a a a M N

M N M N M N M n M ?=+=-=；

1log log n a a M n

M =；⑷对数换底公式log log log b b a N a

N =

(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；

推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a n b c a a a a a -??=????=.

(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠>且12,,

n a a a 均不等于1)

11.方程()k f x =有解k D ?∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ?≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值.

12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：

2

()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由 不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求 ()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()y f x =与1()y f x -=互为

反函数,设()f x 的定义域为A ,值域为B ,则有1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈. 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

()()()0f u g x u

h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0()0f a f b ≥???≥?(或()0

()0

f a f b ≤??≤?)；

19.函数(0,)ax b cx d

y c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d c

x =-(由分母为零确定)和 直线a c

y =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c

-；③反函数为b dx cx a

y --=；

20.函数(0,0)b x

y ax a b =+>>：增区间为(,],[

,)b b a

a

-∞-

+∞,减区间为,

,

[,0),(0]b b a

a

-.

如：已知函数12

()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是_____(答：1

2

(,)+∞).

三.数列

1.由n S 求n a ,1*

1(1)

(2,)

n n n S n a S S n n N -=??=?-≥∈?? 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列{}n a 满足11153

4,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{

14(1)

34(2)n n n a n -==?≥).

2.等差数列1{}n n n a a a d -?-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-?=+≥∈ 2112

2

(,)(,)n n d

d

a an

b a d b a d S An Bn A B a ?=+==-?=+==-；

3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m n

d --=

；

②m n l k m n l k a a a a +=+?+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=； ③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S --仍是等差数列；

⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd -=偶奇,1

n n S a S a +=奇偶

；项数为21n -时,

(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n n S n a -=-,且1

S n S n =-奇偶

；()(21)n n n

n

A a

B b f n f n =?=-.

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式

100n n a a +≥??≤?(或10

n n a a +≤??≥?).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.

⑦若,()n m a m a n m n ==≠,则0m n a +=；若,()n m S m S n m n ==≠,则()m n S m n +=-+； 若()m n S S m n =≠,则S m+n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；m n m n S S S mnd +=++. 4.等比数列12

1111{}(0)(2,*)n n

n n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+?=≠?=≥∈?=.

5.等比数列的性质 ①n m

n m a a q

-=,n n m m

a q a -=；②若{}n a 、{}n

b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；

③11

11

11(1)1111(1)(1)

(1)

(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==????==??-+≠=≠????

；④m n l k m n l k a a a a +=+?=(反之不一定成

1

-2

2

-00

1

1

-1

sin cos αα

-1

-2

2

-00

11

-1

sin cos αα+ 立)；m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)

仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,

S S q =偶奇

；项数为21n -时,1S a S q -=奇偶

.

6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n

a A (n

a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列, 则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；

②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++； 三个数成等比的设法：,,a

q a aq ；四个数成等比的错误设法：

33

,,,a a

q

q

aq aq (为什么？)

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵已知n S (即12()n a a a f n ++

+=)求n a 用作差法：11,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?.

⑶已知12()n a a a f n ???=求n a 用作商法：()

(1)(1),(1)

,(2)n f n f n f n a n -=??=?≥??.

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n n

a a

f n +=,求n a 用迭乘法.

⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1n n n a ka b -=+, 1n n a ka a n b -=+?+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后, 再求n a .②形如11n n n a ka b

a --+=

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 相减；⑤分裂通项法.公式：1

2

123(1)n n n ++++=+；22221

6

123(1)(21)n n n n +++

+=++；

3

3

3

3

2

(1)2

123[

]n n n +++++=；2

135n n +++

+=；常见裂项公式

1

11(1)

1

n n n

n ++=

-

；

11

1

1()

()n n k k n

n k

++=-

；

1

1

1

1(1)(1)2(1)

(1)(2)

[

]n n n n n n n -++++=-

；

11

(1)!

!

(1)!

n n n n ++=-

常见放缩公式：2121111

2()2()n n n n n n

n

n n +-+++--=<

<

=-.

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利 率为r ,则n 期后本利和为：(1)2

(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=++++

+=+(等差数列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等

额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利 率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足： 12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++(等比数列问题).

四.三角函数

1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ?=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ?=+∈；α终边 与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称

2()k k Z απθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ?=++∈；

α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ?=-+∈.

2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：2112

2

||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3?. 3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： 3tan15cot 752?=?=-；3tan75cot152?=?=+； 4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 s i n c o s x x ±、sin cos x x ?”的关系.

如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等.

5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；2

2αβ

αβ++=?

；

2

2

2

()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=?=?=?；

7.重要结论：22sin cos sin()a b a x b x x ?++=+其中tan b

a

?=）；重要公式2

2cos 1sin 2αα-=；2cos α=

1c o s 2

2

α+；1cos sin 1cos 2

1cos 1cos sin tan

α

αααα

α

α

--++=±

=

=

；21sin 2

2

2

2

(cos sin )|cos sin |θθθθ

θ±=±=±.

万能公式：2

2tan 1tan sin 2αα

α+=

；22

1tan 1tan cos 2αα

α-+=

；2

2tan 1tan tan 2αα

α-=

.

8.正弦型曲线sin()y A x ω?=+的对称轴2

()k x k Z π

π?

ω

+

-=

∈；对称中心(

,0)()k k Z π?

ω

-∈；

余弦型曲线cos()y A x ω?=+的对称轴()k x k Z π?

ω

-=

∈；对称中心2

(

,0)()k k Z π

π?

ω

+-∈；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2a b c A

B

C

R ==

=；

余弦定理：222

22

2

2

2

()222cos ,cos 1b c a

b c a

bc

bc

a b c bc A A +-+-=+-=

=

-；

正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC S a b c

r ?++=

；

?

k

面积公式：12

4sin abc R

S ab C ?==

；射影定理：cos cos a b C c B =+. 10.ABC ?中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②2

2

sin

cos

A B C +=,2

2

cos

sin

A B C +=,2

2

tan

cot

A B C +=. ③sin sin a b A B A B >?>?>

④锐角ABC ?中,2

A B π

+>

,sin cos ,cos cos A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ?结论.

⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.

11.角的范围：异面直线所成角2

(0,]π；直线与平面所成角2

[0,]π

；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线

的倾斜角[0,)π；1l 到2l 的角[0,)π；1l 与2l 的夹角2

(0,]π

.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.

五.平面向量

1.设11(,)a x y =,22(,)b x y =. (1)1221//0a b x y x y ?-=；(2)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=.

2.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向 量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.

3.设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212||||cos a b a b x x y y θ?==+；其几何意义是a b ?等于a 的长度 与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影1212

22

22

||cos ||x x y y a b a b x y θ+?==

+. 4.三点A 、B 、C 共线AB ?与AC 共线；与AB 共线的单位向量||

AB

AB ±

.

5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则12122222

1122

cos ||||x x y y a b

a b x y x y θ+?==

++；注意: ,a b ??为锐角0a b ??>,,a b 不同向；,a b ??为直角0a b ??=；,a b ??为钝角0a b ??<,,a b 不反向. 6.a b ?同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-；a b ?反向或有0

||||||||||||a b a b a b a b ?-=+≥-=+；

a b ?不共线||||||||||a b a b a b ?-<±<+. 7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212a b x x y y ?=+； 221212||()()AB x x y y =-+-； ⑵若(,)a x y =,则2

22a a a x y =?=+.

8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段21P P 上时,0λ>；当点P 在线段21P P (或12P P )

延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②分点坐标公式：若12PP PP λ=；且111(,)P x y ,(,)P x y 222(,)P x y ； 则121211(1)x x y y x y λλλλλ++++?=??≠-??=??

, 中点坐标公式：

1212

2

2(1)x x y y x y λ++?

=??=??=??. ③1P ,P ,2P 三点共线?存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+且1λμ+=.

9.三角形中向量性质：①AB AC +过BC 边的中点：||

||

||

||

(

)(

)AB AC AB AC AB AC AB AC +

⊥-

；

②1

3

()0PG PA PB PC GA GB GC G =++?++=?为ABC ?的重心；

③PA PB PB PC PA PC P ?=?=??为ABC ?的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=?为 ABC ?的内心；||

||

()(0)AB AC AB AC λλ+

≠所在直线过ABC ?内心. ⑤设1122(,),(,)A x y B x y ,

12

AOB A B B A S x y x y ?=

-. 22212

1

||||sin ||||()2

ABC S AB AC A AB AC AB AC ?==-?.

⑥O 为ABC ?内一点,则0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ???++=.

10.(,)(,)(,)a h k P x y P x y ='''?????→按平移,有x x h y y k

'=+??

'=+?(PP a '=)；(,)()()a h k y f x y k f x h ==?????→-=-按平移

. 六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： ①若0ab >,b a >,则

11

a

b

>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b

a ,则2

2

22

2

11a b

a b ab a b

+++≥≥≥

(当且仅当b a =时

取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈，

222

a b c a b b c c a ++≥++(当且仅当

a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22

22

2

(

)a b a b ++≥,

22

(

)a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m a

a m

++<

(真分数的性质)；

4.含绝对值不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-；,a b 异号或有0 ||||||||||||

a b a b a b a b ?-=+≥-=+

. 5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤?≤.注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：21||a a +>；(1)n n n +>.②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如：(1)

(1)2

n n n n +++<.④利用常用结论：01 11121k k k

k k

+++-=

<

；

02

2

1111111

1

(1)(1)1

k

k k k

k

k k

k k

++---

=

<

<

=

-(程度大)；0

3

2

2

1111

11

21

1

(

)k

k k k --+<

=-

(程度小)；

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ= (01r ≤≤)；知

222

2

1x y a

b

+

=,可设cos ,sin x a y b θθ==；已知

222

2

1x y a

b

-

=,可设sec ,tan x a y b θθ==.

⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则()a f x <恒成立. 七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2

tan ()k π

αα=≠(如右图)：

3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线

方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为

1121

21

y y x x y y x x ----=,它不包括垂直于坐标轴的直线.

⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1x

y a

b

+

=,它不包括垂直于坐标

轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式. 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为1-或直线过 原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等? 直线的斜率为1±或直线过原点.

⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行?12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)； ⑵相交?12210A B A B -≠；(3)重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=.

5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设 为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为

0()A x B y m m c ++=≠；③与直线

:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=. 6.到角和夹角公式：⑴1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ, (0,)θπ∈且2112

121tan (1)k k k k k k θ-+=

≠-；

⑵1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2

,(0,]π

θθ∈且2112

121tan |

|(1)k k k k k k θ-+=≠-.

7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式002

2

Ax By C

d A B

++=

+；

两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是12

2

2

C C d A B

-=

+.

8.设三角形ABC ?三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123

(,)33

x x x y y y G ++++；

9.有关对称的一些结论

⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a . ⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=； ②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =：

(,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.

10.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：

222

20(

40)

x y D x E y F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程 220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为2

2

(,)D E --,半径为

22

142

D E F +-的圆(二元二次方程

220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ?=≠,且220,40B D E AF =+->).

⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ

θ=+??=+?

(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要应用是

三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==； 222cos ,sin (0)x y t x r y r r t θθ+=→==≤≤. ⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=； 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->?点P 在圆外；

②22200()()x a y b r -+-

12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=； 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r

15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为,r R ：d R r >+?两圆相离；d R r =+?两圆相外切； ||R r d R r -<<+?两 圆相交；||d R r =-?两圆相内切； ||d R r <-?两圆内含；0d =?两圆同心.

16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程 为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标

函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.

八.圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,

则1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)；

2.双曲线焦半径：设00(,)P x y 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,

则：⑴当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑵当P 点在左支上时,10||PF a ex =--, 20||PF a ex =-；(e 为离心率).另：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为22

220x y a b

-=.

3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则

02

||p PF x =+

；22(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则02

||p PF x =-+

.