直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程综合题、典型题

例题：已知m ∈R ，直线l ：2

(1)4mx m y m -+=和圆C ：2

2

84160x y x y +-++=．

（1）求直线l 斜率的取值范围；

（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）斜率k 的取值范围是1122??

-????，． （2）不能．

例题：已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0

例题：已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围. 解：∴当2

2

m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.

题：已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。 （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；

（2）若1l 与圆相交于Q 、P 丙点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为N ，判断AN AM ?是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。

解：（1）直线方程是1=x ，0343=--y x （2） 故AN AM ?是定值，且为6。

例题：已知 C 过点)1,1(P ,且与 M :222

(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求 C 的方程；

(Ⅱ)设Q 为 C 上的一个动点,求PQ MQ ?

的最小值；

(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与 C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.

解:(Ⅰ)22

2x y +=(Ⅱ)PQ MQ ? 的最小值为4-(Ⅲ)直线AB 和OP 一定平行

例题：已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于

P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N .

（１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （２）当32=PQ 时，求直线l 的方程；

（３）探索?是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

解析：（１）∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C （２）直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x

（３）?与直线l 的斜率无关，且5-=?

.

第17题

例题：已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D

，且

||CD =.

(1)求直线CD 的方程；⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.

解：⑴()21y x -=--即x+y-3=0 ⑵圆P 的方程为()()223640x y ++-= 或()()22

5240x y -++= ⑶ 两个点Q 使 △QAB 的面积为8

例题：在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点

A ()

2的入射光线l 1被直线l

：3

y x =反射，反射光线l 2交y 轴于B 点．圆C 过点A 且与l 1、l 2相切． （1）求l 2所在的直线的方程和圆C 的方程；

（2）设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．

解析．

40y --=．圆C

的方程为22((1)9x y -++=．

（Ⅱ）1

),2

P

最小值33B C '-=． 例题：设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．

（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；

（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 解：（1）2224)1()12(m m y m x =--+--（2）圆心在定直线x －2y +1=0上。2C 公切线方程为：4

743

+-=x y

例题：已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=

的直线与，相交于M 、N 两点.

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ?= 定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ?=

求的值.

k <<

1,0,1k k =?>∴=又当时

例题：已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足

||||PQ PA =．

(1) 求实数a b 、间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；

(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程．

解：（1）230a b +-=.（2）PQ （3） P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．

例题：已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程； ⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB

PA

为一常数，试求所有满足

条件的点B 的坐标.

解：⑴所求直线方程为2y x =-±⑵点9(,0)5B -有PB PA

为常数3

5。

例题：2009年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：4)1()3(22=-++y x 和圆C 2：4)5()4(22=-+-y x . （Ⅰ）若直线l 过点A(4, 0)，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标. 解：（Ⅰ）直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0 （Ⅱ）|)4()5(||)1()3(|a k b b k a -+-=-++)21,25

(-

P 或)2

13,23(-P

例题：（2008年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，

设二次函数f (x)＝x 2＋2x ＋b （x ∈R ）的图像与两个坐标轴有三个交点， 经过这三点的圆记为C. （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程； （Ⅲ）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.

解一：（Ⅰ）b 范围是（－∞, 0）?(0 ,1）.

（Ⅱ）??

?

??=+-==b F b E D )1(2

∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0

（Ⅲ）圆C 过定点（0,1）和（－2,1）.

例题：如图平面上有A(1 , 0)、B(－1 , 0)两点，已知圆C 的方程为()()2

2

2

342x y -+-=.

（Ⅰ）在圆C 上求一点P 1使△ABP 1面积最大并求出此面积； （Ⅱ）求使22||||BP AP +取得最小值时的圆C 上的点P 的坐标.

解：（Ⅰ）112662ABP S ?=

??= （Ⅱ）点P 的坐标为912,55??

???