高一趣味数学比赛试卷(原创 很实用)
高一数学竞赛试卷
高一数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知函数是定义域上的单调增函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为B ．的图象关于点对称C ．的图象关于直线对称D ．的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列函数在上是增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．5.下列函数中，图象过定点的是（ ）A ．B ．C ．D ．6.．已知二次函数，若，且，则下列等式成立的是（ ） A ．B．C．D．7.下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．三条平行直线必共面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面8.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线.A．3 B．2 C．1 D．09.已知，，…为凸多边形的内角，且，则这个多边形是（）A．正六边形 B．梯形 C．矩形 D．含锐角菱形10.（2015•德阳模拟）以茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．5，2 B．5，5 C．8，5 D．8，811.已知函数与分别由下表给出：若2时，则=（）A．4 B．3 C．2 D．112.（2014•红桥区一模）若双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线的焦点相同，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为（）A．y2+=1 B．y2﹣=1 C． D．13.已知点，则＝（）．A． B．2 C． D．214.下列命题正确的是（）A．B．C．当且时，D．15.-3000的弧度数是（）.A． B． C． D．16.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是A． B． C． D．17.在数列中，等于（）A． B． C． D．18.下列关系中，正确的个数为（）①②③④ A．1 B．2 C．3 D．419.（2014•永州三模）随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（）附表：A.3.565B.4.204C.5.233D.6.84220.（本题满分12分）设A={x∈Z| ，，求：（1）；（2）二、填空题21.若关于的不等式＜0的解集是，则关于的不等式＞0的解集是___________．22.若A=，B=，C=，则A（B+C）= ．23.已知点E 在正△ABC 的边AB 上，AE = 2EB ，在边AC 上任意取一点P ，则“△AEP 的面积恰好小于△ABC 面积的一半”的概率为 24.不等式＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2},那么的值为________.25.已知，若，则____________________． 26.在下列四个命题中： ①函数的定义域是；②已知，且，则的取值集合是；③函数的图象关于直线对称，则的值等于；④函数的最小值为.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________________. 27.若，当时是增函数,当时是减函数,则________.28.若程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是 .29.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍 30.已知集合A ＝，用列举法表示集合A 为________．三、解答题31.已知函数的图象的一个最高点的坐标为，与其相邻的一个最低点的坐标为（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间及对称轴方程．32.（Ⅰ）已知，求；（Ⅱ）已知，求.33.已知，求[f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)]＋[f()＋f()＋…＋f()].34.在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求的值.35.已知奇函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）求证：函数在上为减函数；（3）若对恒成立，求实数的范围．参考答案1 .A【解析】试题分析：因为是定义域上的单调增函数,所以应满足,解得,故选A.考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题考查学生的是对分段函数和函数单调性的理解掌握程度,属于中档题目.函数在定义域上单调递增,即在和上分别递增,且在端点处,左侧的函数值小于等于右侧的函数值,根据函数的性质,指数函数和对数函数单调递增,只需底数,因此列出三个不等式取交集,解出的范围即为所求.2 .C【解析】试题分析：，所以函数最小正周期为，故A不正确；当时，函数取得对称中心，可知若满足，由于对称中心在函数图象上，此时纵坐标为，故B不正确；若，函数，函数取得最大值，所以图象关于直线对称，故C正确；当的图象向左平移个单位长度，函数为，函数图象不关于轴对称，不为偶函数，故D不正确．考点：三角函数的图象与性质．【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质．解答时一般需将函数解析式化简为或，从而可利用正（余）弦型周期计算公式周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．3 .D【解析】试题分析：最小正周期为的函数有A、B、D，在上有增有减，在是是增函数，在上是减函数．故选D．考点：函数的周期性与单调性．4 .B【解析】试题分析：对于A，反比例函数图象分布在一、三象限，在两个象限内均为减函数，故A与题意不符；对于B，当时，函数显然是区间上的增函数，故B正确；对于C，因为二次函数的图象是开口向下的抛物线，关于对称，所以函数在区间上是减函数，可得C与题意不符；对于D，由于一次函数的一次项系数为负数，所以函数在区间上不是增函数，故D与题意不符.考点：函数的单调性.5 .B【解析】略6 .D【解析】略7 .D【解析】选项A应该是不共线的三点才能确定一个平面，选项B应该是直线和直线外一点才能确定一个平面，选项C应该是两条平行线才必共面，故选D.8 .D【解析】对于①，过平面外的两点，有可能有无数个平面与平面垂直，故错误；对于②，若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，可能，故错误；对于③，若直线与平面内的无数条直线垂直，不能得出，故错误；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线，故错误.综上正确命题的个数为 ,故选D.考点：点线面的位置关系9 .C【解析】试题分析：因为为凸多边形的内角，所以，又，所以，所以，则这个多边形是矩形.故选C.考点：对数的运算性质点评：本小题主要考查对数的运算性质、实数的性质等基础知识，解答的关键是利用角的范围得出角的正弦的常用对数的取值范围．属于基础题．10 .C【解析】试题分析：根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．解：根据茎叶图中的数据，得；∵甲组数据的中位数为15，∴y=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得x=8；综上，x、y的值分别为8、5．故答案为：C．点评：本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．11 .A【解析】试题分析：考点：函数求值12 .B【解析】试题分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线mx2+ny2=1方程化为标准方程，再利用双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线的焦点相同，且双曲线的离心率为2，即可求得双曲线的方程．解：抛物线的焦点坐标为（0，2），双曲线mx2+ny2=1方程可化为∴∵双曲线的离心率为2，∴，∴n=1∴m=﹣∴双曲线的方程为：故选：B．点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查双曲线的标准方程，合理运用性质是关键．13 .B【解析】试题分析：根据两点角距离公式，故选B。
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
高一年级趣味数学知识竞赛
风险题10分
往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里 的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样下 去，12分钟后，篮子满了。那么，你 知道在什么时候是半篮子鸡蛋吗？
风险题25分
24个人排成6列，要求5个人为一 列，你知道应该怎样来排列吗？
风险题25分
某店来了三位顾客，急于要买3个饼赶 火车，限定时间不能超过16分钟。几个 厨师都说无能为力，因为要烙熟一个饼 的两面各需要五分钟，一口锅一次可放 两个饼，那么烙熟三个饼就得2O分钟。 这时来了厨师老李，他说动足脑筋只要 15分钟就行了。你知道该怎么来烙吗？
13.断脐（打两个数学名词）
14.一二三四五六七九十（打一字）
15.八分之七（打一成语）
16.打得鸳鸯各一方 （打一数学名词）
17.考试不作弊：（打一数学名词）
18.追本溯源（打一数学名词）
19.猜数学成语： 12345609
20.打一数学名词： 厨师操刀
这一环节各队根据本队目前得分情况 选择A（10分）、B（25分）、两类型的题，分值越多难度越大。答对 得分，答错则倒扣与所选题
7.猜数学成语：
3333333…55555555…
答：三五成群
8.七六五四三二一。（打一数学名 词）
9. 二胡调音（打一数学名词）
10. 一支队伍长又长,有头无尾排 成行,“.”的后面分小节,节节外 表都一样(猜一类数)
11.讨价还价。（打一数学名词）
12．你盼着我，我盼着你。（打 一数学名词）
10.下图中有几个长方形？
11.如下图，一只小猴重8千克，一 只小兔和一只小猫共重多少千克。
12.图中阴影部分占总面积的几分之 几？其中，A、B、C、D、E、 F为中点
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数是：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 6x + 5C. 6x^2 - 3x + 4D. 6x^2 - 3x + 5答案：A3. 以下哪个数列不是等差数列？A. 2, 5, 8, 11, ...B. 1, 3, 6, 10, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 5, 10, 15, 20, ...答案：B4. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：66. 函数y = 1 / (x - 2)的渐近线方程为________。
答案：x = 27. 等比数列的前三项为2, 6, 18，则该数列的公比为________。
答案：38. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积为________平方厘米。
答案：78.54三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果一个数列的前n项和为S_n，且S_n = n^2，则该数列是等差数列。
证明：设数列的第n项为a_n，则S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
由题意知S_n = n^2，因此S_{n-1} = (n-1)^2。
两式相减得a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1。
由此可知，a_n - a_{n-1} = 2，即数列的相邻两项之差为常数2，因此该数列是等差数列。
高一数学竞赛试卷
高一数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.数的定义域是（ ） A ． B ．C ．D ．2.已知，则（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．1或-2 3.下列叙述中（ ）①变量间关系有函数关系，还有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系； ③x i =x 1+x 2+…+x n ；④线性回归方程y=bx+a 中，b=，a=；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④⑤ C ．①②③④ D ．③④⑤ 4.若方程x 2﹣5x+6=0和方程x 2﹣x ﹣2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．45.经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝(x －2)B ．y －2＝(x ＋2)C ．y －2＝(x ＋2)D ．y ＋2＝(x －2)6.若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,则( ) A ．B ．C ．D ．8.已知等差数列和的前n 项和分别为和,且，则的值为（） A ．B ．C ．D ．9.（2014•顺义区二模）已知直线l 1：x ﹣2y+1=0与直线l 2：mx ﹣y=0平行，则实数m 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣210.下列四组函数中表示相等函数的是（ ） A ．与B ．与C ．与D ．＞与11.在数列中，=1，，则的值为 （ ）A ．99B ．49C ．102D ．101 12.直线经过的象限是 （ ）A ．一、二、三B ．一、三、四C ．一、二、四D ．二、三、四13.已知两条直线，与函数的图象从左到右交于两点，与函数的图象从左到右交于两点，若，当变化时，的范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．14.已知a=lg3+lg ，b=lg9，c=lg2，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b<a<cB ．c<a<bC ．a<b<cD ．c<b<a 15.已知，为非零实数，且，则 （ ）A ．B ．C ．D ．16.如果a ＜b ＜0，那么( )．A ．a －b ＞0B ．ac ＜bcC ．＞D ．a 2＜b 217.已知，，，那么（ ）A ．B ．C ．D ．18.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为A ．B ．C ．D ．19.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2－ D ．－220..某工程中要将一长为100m 倾斜角为的斜坡，改造成倾斜角为的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长（ ）mA ．B ．C ．D ．200二、填空题21.数据 平均数为6，标准差为2，则数据的方差为__ __ 22.若函数f （x ）=,则f （-3）=______．23.已知满足对任意成立，那么的取值范围是_______ 24.定义在上的函数，则不等式的解集为____________.25.已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(cos θ，－2)，θ为第二象限角．若a ∥b ，则＋3tan 2θ＝________． 26.把函数的图象，按向量 （m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最小正值为__________________、 27.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是28.已知集合A={}，B={}，若，则实数=29.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2.则肯定进入夏季的地区有____个.30.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为三、解答题31.已知直线（）.（1）证明：直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.32.已知，.（1）求证：……；（2）求…的值.33.若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).34.（本小题满分10分）在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？35.设f(x)=(1)将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求．并用“五点法”画出y="g(x)," x∈[0,π]的图像。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题（本题共10分，每小题2分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值。
A. 5B. 3C. 1D. 72. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( ax + by + c = 0 \)的距离为4，求直线与圆的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 35B. 32C. 29D. 314. 一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，求其对角线的长度。
A. 7B. 6C. 5D. 45. 已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \)，\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，\( \beta \)在第二象限，求\( \sin(\alpha - \beta) \)的值。
A. \frac{4}{5}B. \frac{3}{5}C. -\frac{4}{5}D. -\frac{3}{5}二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 计算\( \sqrt{50} \)的值。
______7. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边，且\( a^2 +b^2 = c^2 \)，根据勾股定理，这个三角形是______三角形。
8. 已知函数\( y = \log_2(x) \)，当\( x \)的值从1增加到2时，\( y \)的值增加了______。
9. 一个正六边形的内角和为______。
10. 已知\( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号形式）。
______三、解答题（本题共70分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，\( (x+1)^2 \geq 0 \)。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2AB =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围；（3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围.2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====（1）求证：;N M ⊆（2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011, 2 011]上根的个数，并证明你的结论．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。
（1） 证明：BC DC ⊥1；（2） 求二面角11C BD A --的大小。
AB C D 1A 1B 1C7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．8．（本小题满分20分） 设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);41(),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案1、解：{}2,1=A（1）∵{}2A B = ∴B ∈2即，0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （，解得13-=-=a a 或① 当3-=a 时， {}{}2044|2==+-=x x x B② 当1-=a 时， {}{}2,204|2-==-=x x B综上{}3,1--∈a（2）∵A B A =∴A B ⊆① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴()[]0)5(41222<-⋅-+a a ，即3-<a ② 当φ≠B 时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3-≥a1. 当3-=a 时，{}2=B2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2∴ )1(221+-=+a ，即25-=a 5212-=⋅a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a（3）∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A① 当△<0时，即3-<a ，φ=B ，满足要求② 当△=0时，即3-=a ，{}2=B ，φ≠B A ，舍③ 当△>0时，即3->a ，所以只需B B ∉∉21且将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、综上，a 的取值范围为()()()()()+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ，2、3、解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ， 则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ．4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0x N ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M N ⊆，必存在1,x N ∈ 但1x M ∉，因此()11f x x ≠，① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。
高中数学竞赛试题高一
高中数学竞赛试题高一一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...（无限循环）D. -3/42. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}5. 将一个圆分成四个扇形，每个扇形的圆心角为90°，那么这四个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆的面积的一半C. 圆的面积的四分之一D. 圆的面积的两倍6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值：A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算(3x^2 - 5x + 2) / (x - 1)的余数是______。
8. 若sinα + cosα = √2/2，那么sin2α的值为______。
9. 已知点A(2,3)，B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标为______。
10. 一个圆的半径为5，圆心到直线x + y - 6 = 0的距离为d，求d 的值为______。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
12. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 4。
13. 已知函数f(x) = ln(x + 1) - x^2，求其在区间[0, 1]上的最大值和最小值。
四、附加题（10分）14. 一个不透明的袋子中有5个红球和3个白球，每次随机取出一个球，取出后不放回。
求第三次取出红球的概率。
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高一趣味数学比赛试卷
班级__________号码_________姓名______________
1、请说出至少两个温籍数学家的名字。
答：___________。
2、用1、9、8、5四个数码，构成阶梯形的数a b c d
，要使其值最大，则d 的值为_________。
3、用5个5怎样算出24？
4、凸n 边形有__________条对角线？
*5、一个正方体截去一部分后，其截面是__________________________________________ *6、两条异面直线在一个平面上的投影图形是________________________________________ *7、一个正方体在地面上的投影面积最大时，投影图形是________________
*8、一个正方体纸盒沿某些棱剪开铺平后的平面图形如上图，请你画出一些不同的平面图形。
（画在上面空白处）
9、日本的“运动之秋”，在本地国立运动场的跑道上进行，在场的每位运动选手的前面，都跑着7个人，那么共计____名选手参加长跑竞赛。
10、从1—9九个数字按顺时针排成一圈，现从某个数字按时针开始数，数到第9个数，去掉这个数，接着从下一个数重新开始数。
请问你从数字_________开始数，才能最后去掉数字9。
*12
答
13、有甲乙两只蚂蚁从A 到B 同时沿如上图所示的路线赛跑（速度一
样），结果（ ）
A 、甲先到
B 、乙先到
C 、同时到
14、“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何？”
答_______________
15、哪二个正整数互乘后，其乘积与三者互加的和相等？答：_________
16、把四个4用“+”“—”“*”“/”和（ ）等运算符号连接起来，其结果为11。
请列出算式___________________________________________________________
17、谬证“2=1”
证明： 设X=Y ，且X >0，Y >0， 答_________________________ ∴X 2—Y 2=0，X （X —Y ）=0
∴X 2—Y 2=X （X —Y ）
∴（X —Y ）（X+Y ）= X （X —Y ）
∴X+Y=X
∵X=Y
∴2X=X ∴2=1
请你找出错误的一步。
18、某住宅区内道路呈田字形（如右上）A 到对角顶点B 的最短线共有_______条？
19、要使中国地图上相邻二个省着色不同，至少需要_________种颜色？
20、父子两人，爸爸32岁，儿子5岁，问几年后，爸爸的年龄是儿子的十倍？
答：__________
22、如下图所示，是少年宫科技馆的平面图，分为A 、B 、C 、D 、E 五个部分，相连的两个大厅都有门相通。
请问：能一次不重复地经过所有的门吗？为什么？
D
C
B
A E
仅施氮，磷、钾中一种肥的土地各___________________亩？
24、一个8*8类似于国际象棋棋盘的地面，少
了对角的两个小方格（如右图
，你能否用足够多个1*2的小长方形（如左图）瓷
砖恰好铺满地面？（不能切割小长方形瓷砖）
25、长方形石块随下面垫的圆柱形木头滚动而移动，圆心向前移动1米，则石块向彰移动___________米？
26、有一个长30米、12米，高12米的大厅。
在正方形的墙面中心上方离天花板1米处有一个电源A ，对面墙面中心下方离地面有一个插座B 。
现要从A 到B 紧贴墙面和天花板拉一根电线。
则电线的最短长度是__________米。
*27、一个3*3*3的正方体木料六个面分别涂上六种不同颜色，然后把它锯成1*1*1的27个小正方体，则这27个小正方体中表面涂1种、2种、3种、4种颜色和没有涂颜色的各
有________________块。
28、一个齿轮A固定不动，齿轮B紧靠A绕A旋转，不得滑动，直到回到起点。
则齿轮B转了_________圈。
29、在平面上标出4个点，使得彼此之间只有两种不同的距离。
请在下面画出几种图形，并有a、b表示距离。
30、以下打一数学名词（1）丢了弓背。
答___________；（2）诊断以后。
答__________；（3）员。
答__________；
31、把8*8正方形的方格纸如左图剪下，重新组合13*5的长方形（如右图）。
这莫非64=65？请问是哪里出了问题？答：
32、给你一根刻度尺，一个空啤酒瓶和足够量的水。
请估测啤酒瓶能装啤酒的量。
33、一个苏格兰人有44张一元的钞票，身上有十只口袋，若要使每只口袋装的钞票都不一样，他能办得到吗？为什么？
34、A氏是亿万富翁。
在临死之前给即将生孩子的妻子，留下如下遗言：生下来的孩子如果是男的，就把财产的2/3给孩子，剩下的给妻子。
另外，如果是女孩，就把财产的1/3给孩子，剩下的给妻子。
但是，当A氏死后，其妻子生下来的却是一男一女的双胞胎。
如果按照遗言来分配财产，怎样分配合理呢？
35、为了做游戏，幼儿园的老师把园里到24名儿童排成6列，而且每列都是5人。
这些老师用了怎样的排列方法呢？
36、如图所示，小王从家里A出发去河边提一桶水到他姥姥家B。
请画出他们行走的最短路线。
*37、一只蚂蚁从边长为a正方体形的石头的一个顶点爬到体对角线的另一个顶点，最短距离是多少？。