圆的切线的性质和判定
圆的切线的判定和性质
（三）演绎推理 形成判定
O
已知：如图OA是⊙O的半径，OA⊥直
A
l
线l，垂足为A
求证：直线l是⊙O的切线
证明：∵半径OA⊥直线 l ，垂足为A ∴点O到 l的距离d=OA ∴直线 l 是⊙O的切线
O
A
l
切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线。
几何符号表达：
∵ OA⊥l 于A ，OA是半径
问题3：如果直线CD是⊙O的切线，切点为A,那 么半径OA与直线CD是不是一定垂直呢？
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条
B
直径垂直于CD,垂足为M, （2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离
切线性质 的证明
证法：反证法.
小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这
线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外
端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（四）初步应用 感受新知 连半径，证垂直
例1 直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB 求证:直线AB是⊙O的切线.
证明： 连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形， OC是底边AB上的中线.
∴ 直线 l 是⊙O的切线
想一想：利用切线的判定定理证明某直线 是圆的切线时，必须满足什么条件？
1)经过半径的外端(过圆上一点)； 2)垂直于这条半径。
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
(1)证明：∵AB是⊙ O的切线， OA为半径，
圆的切线有哪些性质(九年级上)
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圆的切线有哪些性质
答：圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的性质主要有五个：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．。
圆的切线判定定理及性质定理讲义
AT圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长.AAOBPCM【例2】如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．【例5】设直线ι到⊙O 的圆心的距离为d ，半径为R ，并使x 2－2d x ＋R=0，BDC试由关于x 的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O 的位置关系．【例6】在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．。
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
圆的切线知识点总结
圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。
2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。
3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。
这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。
二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。
2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。
3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。
4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。
5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。
以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。
三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。
2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。
3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。
切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。
四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。
2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。
3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。
圆的切线的性质及判定定理优秀教学设计
圆的切线判定和性质【教学目标】（一）知识与技能：1．掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。
2．掌握圆的切线常用添加辅助线的方法（二）过程与方法：1．运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力；2．进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。
（三）情感态度与价值观：形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。
【教学重点】对切线的判定方法及其性质的准确、熟练、灵活地运用。
【教学难点】综合型例题分析和论证的思维过程。
【教学方法】先学后教，当堂训练【教学过程】一、一学一归纳：1、作图1：过⊙O外一点P作直线，复习指导：1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)P O A作图2：若点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？（请学生上黑板按要求作图，并尝试说出作法）提问：你是怎样判断所作直线是圆的切线的？（设计意图：利用作图，体会切线的判定方法：①圆心到直线的距离等于半径②定义③经过半径的外端并且垂直于半径）2．已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L与⊙O 的位置关系为 。
3．PA 切⊙O 于点A ，PA=4，OP=5，则⊙O 的半径是____（设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时归纳出切线性质，并在性质应用时体现辅助线做法指导：见切线，连半径，得垂直，体会转化和数形结合的数学思想，至此形成知识体系。
）二、二学二归纳：4．已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ．①求证：直线AB 是⊙O 的切线。
切线的判定与性质
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
圆的切线和切点
圆的切线和切点圆是几何中的基本概念之一，而切线和切点是与圆密切相关的内容。
在本文中，我们将探讨圆的切线和切点的定义、性质以及相关的定理。
一、圆的切线和切点的定义在几何学中，切线是与圆相切于一点的直线，切点是切线与圆相切的点。
圆的切线与圆的半径垂直。
二、圆的切线和切点的性质1. 切线与半径的垂直性：切线与半径在切点处相交，且相交点是垂直的。
2. 切点唯一性：一条直线只能与圆相切于一个点，即切点是唯一确定的。
3. 切点在半径上的位置：切点到圆心的连线与切线相垂直。
三、圆的切线与切点的定理1. 切线与切点的定理：切线上的切点到圆心的距离等于切线与切点之间连线的长度。
即在一个三角形中，切点和三角形顶点连线的长度等于该三角形的高。
2. 切线的长度定理：外切圆的切线等于两切点之间的连线长度的两倍。
即切线长等于两切点与外切圆的半径之和。
3. 切线与切线的定理：如果两条切线相交于圆的外部一点，那么两条切线所夹的弧度相等。
四、圆的切线与切点的应用圆的切线和切点在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 轮胎的制造：轮胎的制造过程中需要确定轮胎与地面的接触点，这可以通过圆的切线和切点来确定。
2. 光学系统：在光学系统中，切线和切点可以帮助确定光线的传播路径和反射规律，对于光学仪器的设计和调整有着重要的意义。
3. 数学建模：在数学建模中，圆的切线和切点可以用于解决多种实际问题，例如物体运动的轨迹、流体力学中的接触问题等。
总结：圆的切线和切点是几何学中重要的概念，其定义、性质和定理都与圆的特性密切相关。
了解圆的切线和切点的性质和定理，能够帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识。
同时，圆的切线和切点也在实际问题中有广泛的应用，为我们解决各种问题提供了重要的数学工具。
通过深入研究和理解圆的切线和切点的概念，我们将能够更好地应用几何知识解决实际问题。
高中数学 1.2.2 圆的切线的判定和性质课件 北师大版
【证明】 如图，连接 AO1 并延长，分别交两圆于点 E 和点 D.连接 BD，CE，因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A，所以 点 O2 在 AD 上，故 AD，AE 分别为圆 O1，圆 O2 的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝π2. 所以 BD∥CE，于是AABC＝AADE＝22rr12＝rr12. 所以 AB∶AC 为定值.
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的直线是圆的
切线．
3．切线的性质定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径 ． (2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线 的直线经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线 的直线经过圆心．
4．切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长 相等 ．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2. ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4. ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4. 又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC. ∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC. ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即 OD⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线．
1．在证明 OD⊥CD 时，借助了三角形全等，则对应角 相等．
2．在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？ 【提示】 (1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条 件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备 下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于 切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常 作的辅助线是过切点的半径． (2)圆的切线还有两条性质应当注意：①切线和圆只有一 个公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际 问题中，我们也利用它们来解决．
已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， 切点为 B，过点 A 作 AD∥OC，交⊙O 于点 D.
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圆 的 切 线
1、如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
2、已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B•作BC•∥OP交⊙O于点C，连结AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，PA=2，求BC的长．（结果保留根号）
3、已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，•弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理
由．
4．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
5．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．45cm B．25cm C．213cm D．13m
（1） （2） （3）
6．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm时，
⊙M与OA相切．
7．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足
的条件为_______（只需填一个条件）．
8、如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么
cos∠CAB=________．
（4） （5）
9、如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已
知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是________．
10、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长
为多少？
11．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．
12．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．
试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．
（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？•为什么？
① ②
13．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB•的延长线于点C．
求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．
- 3 -
14．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙
O于另一点D，连结CD。
(1)求证：PA∥BC；(2)求⊙O半径及CD的长。
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点
M，交BC于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
16、已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
三、应用与探究：
17、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）若AC=3，tanB=34，求⊙O的半径长．
答案：
例题经典
例1：A
例2：（1）略 （2）BC=233
例3：略
考点精练
1．B 2．B 3．4 4．∠B=∠C 5．32 6．相离 7．233
8．△DEF•是锐角三角形．连结OD、OE、OF．
综合应用圆的切线性质，四边形内角和定理和圆周角定理．
可以证得∠DEF=90°-12∠A，∠DFE=90°-12∠B，∠EDF=90°-12∠C．
△DEF的三个内角都是锐角
9．（1）∠D=∠CAB，理由（略）
（2）∠D=∠CAB 作直径AE、连结CE
由（1）可知：•∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB
10．（1）∠ADC的度数为120° （2）9cm
11．（1）解：连结OC，∵AB与⊙O相切于C点，
∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12
在Rt•△ACO中，OA=2222125ACOC=13
（2）作OF⊥AB于点F点，连结OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，
在Rt•△ODF中，OF=222254ODDF=3，
在Rt△AOF中，tanA=31124OFAF
12．（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，•
∴△ACB∽△NMB，∴BCABBMBN，∴AB·BM=BC·BN
（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC•中点，•∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B=12∠MON=30°．
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
13．（1）证明：如图，连结OA，因为sinB=12，
所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，•
所以△ACO是等边三角形，
故∠OAC=60°，因为∠CAD=30°，
所以∠OAD=90°，所以AD•是⊙O的切线
（2）解：因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC=BC=5，
所以OA=5，•在△OAD中，∠OAD=90°，
由正切定义，有tan∠AOD=ADOA，所以AD=53
14．略