2018高考数学压轴卷河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2018年高三最新 河北保定市2018年高考模拟考试数学(理
保定市2018年高考模拟考试 数学试题（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试用时120分钟。
（第Ⅰ卷选择题部分，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每个小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1、已知复数ii z +-=131则2z 的虚部为 A.-i B.i 3 C. 3- D. 12 、给出下列条件（其中l 和a 为直线，α为平面）①α⊥l 内的一凸五边形的两条边 ②α⊥l 内三条不都平行的直线③α⊥l 内正六边形的三条边 ④a l a ⊥⊂,α.其中是α⊥l 的充分条件的所有序号是 A ② B ①④ C ②③ D ③④3、若奇函数)10()(≠>-=-a a a ta x f x x 且在R 上单调递增，那么)(log )(t x x g a -=的反函数的图像大致是4、已知命题p: (1－2x )5的展开式中第4项的系数最小，q : x +x1有极小值2，但无极大值，下列说法正确的是A.命题“p 或q ”为假B.命题“p 且q ”为真C.命题“非q ”为真D.命题p 为假5、已知函数)(x f 在R 上是减函数，且满足f(-2)=3,f(2)=1那么2|)12(|1<--x f 的解集为A ． ()1,2--B ．()1,∞-C ．()2,1D ．()1,-∞-6、点P （-3,-1）在椭圆)0(122>>=+b a by a x 的左准线上.过点P 且方向向量为=(2,5)的光线，经直线y = 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为A313 C 2D 127、设集合I=}{Ry R x y x ∈∈,|),(M={}1|),(≥-+a y x m y x N={}0log |),()1(<++-b y x m y x ，(其中)10<<m ,当S(2,-1))(M C N I ⋃∈时a 、b 满足的条件是A.a <1且b <-4B.a ≥1且b ≤-3C.a ≥1或 b ≥-4D.a <1或b >-38、从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有A 321144432A A C C ++ B.311443A A C + C.3612A +24A D.36A 9、地球半径为R,球心为O ，北纬30。
【全国百强校】河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题(二)(原卷版)
【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷全国卷 I A模拟试题（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 53. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：若满足回归方程，则以下为真命题的是（）A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度C. 所有样本点的中心为D. 当时，的预测值为13.54. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.5. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（）A. 4B.C.D. 66. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A. B. C. D.7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是（）A. B. C. D.9. 如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 310. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）A. 114种B. 150种C. 120种D. 118种11. 如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（）A. B. C. D.12. 已知为函数的导函数，当是斜率为的质询案的倾斜角时，若不等式恒成立，则（）A. B.C. D.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则其最小正周期为_______.14. 过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_______.15. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.16. 已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.①求随机变量的分布列；②求随机变量的数学期望.参考数据如下：参考格式：，其中20. 已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21. 已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.。
河北省唐山市2018年高考第三次模拟考试理科数学试卷含答案.docx
唐山市 2017—2018 学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 M x 1 x 3 , N x x 0 ，则集合 x 0 x 3 （ ）A ． M NB ． M N C. MC R ND ． C R MN2. 复数 z 满足 2 i z 3 4i （ i 为虚数单位），则 z （ ）A ． 2 iB ． 2 i C. 2 i D ． 2 i3. 已知 tan6 1 ，则 tan（）6A ． 23B． 23C. 23D ． 234. 已知命题 p : 在 ABC 中，若 sin Asin B ，则 AB ；命题 q : x0, ， sin x1 . 则下列命题为真命 2sin x题的是（）A ． p qB ． p q C. p q D ． p q5. 已知双曲线 E :x 2y 2 1 a 0,b 0 的两条渐近线分别为l 1, l 2 ，若 E 的一个焦点 F 关于 l 1 的对称点 F 在 l 2 上，a 2b 2 则 E 的离心率为（）A ． 5B ． 2C.2 3D ．5326. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． 6B． 7 C.15D． 23237. 已知函数 f x sin x20 的图象与 x 轴相切，则f（）3A．3B．1C.31D．31 22228. 已知 P 是抛物线 y24x上任意一点， Q 是圆x 421上任意一点，则PQ 的最小值为（）y2A．5B． 3 C. 3 1D． 2 3 1 29. 利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand表示产生区间0,1 上的均匀随机数（实数) ，若输出的结果为786，则由此可估计的近似值为（）A． 3.134B． 3.141 C.3.144D． 3.14710. 在ABC 中，点 G 满足 GA GB GC0 . 若存在点 O ，使得 OG 1BC ，且 OA mOB nOC ，则 m n（6）A． 2B． 2C. 1D． 111.若异面直线 m,n 所成的角是60，则以下三个命题:①存在直线l ，满足 l 与m,n的夹角都是60 ；②存在平面，满足 m，n与所成角为60；③存在平面,，满足m, n，与所成锐二面角为60 .其中正确命题的个数为（）A． 0B． 1 C. 2D． 312. 已知 a0, fxe xx 的最小值为 1 ，则 a（）x，若 fe x aA．1B．1C.eD． e2e2e第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）x y10,13. 设变量 x, y 满足约束条件 y1,则 z x y 的最大值为．x 2 y50,14. 某种袋装大米的质量X （单位： kg ）服从正态分布N 50,0.01，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg 的概率为．x2 , x 0,15. 设函数 f x则使得f x f x 成立的 x 得取值范围是．x, x 0,16. ABC 的内角A, B, C的对边分别为a,b,c，角 A 的内角平分线交11，则 AD 的取BC 于点 D ，若 a 1,2b c值范围是．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知数列a n是等差数列，b n是等比数列，a11,b1 2 ， a2b27, a3b313 .（ 1）求a n和b n的通项公式；a , n为奇数（ 2）若 c n n，求数列c n的前 2n 项和 S2 n .为偶数b n , n18.某球迷为了解A,B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20 场与这两支球队有关的比赛. 两队所得分数分别如下：A 球队： 122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B 球队： 114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数低于 100 分100 分到 119 分不低于120分攻击能力等级较弱较强很强记事件 C : “ A 球队的攻击能力等级高于 B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率 .19. 如图，四棱锥P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BAC PAD PCD 90 .（ 1）求证：平面PAB平面ABCD；（ 2）若 AB AC PA 3 ， E 为 BC 的中点， F 为棱 PB 上的点， PD / / 平面 AEF ，求二面角 A DF E 的余弦值 .20. 已知点 A2,0 ，点 B1,0 ，点 C 1,0，动圆 O 与 x 轴相切于点 A ，过点 B 的直线1与圆O 相切于点D，l过点 C 的直线 l2与圆 O 相切于点 E （D,E均不同于点 A ），且 l1与 l2交于点 P ，设点 P 的轨迹为曲线.（ 1）证明：PB PC 为定值，并求的方程；（ 2）设直线 l1与的另一个交点为Q ，直线 CD 与交于M , N两点，当O , D,C三点共线时，求四边形MPNQ 的面积 .21. 已知 a 0 ，函数 f x ln x4a2 . x a 2（ 1）记 g af a 2，求 g a的最小值；（ 2）若 y f x 有三个不同的零点，求 a 的取值范围 .请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知点 A 在椭圆 C : x2 2 y2 4 上，将射线OA 绕原点 O 逆时针旋转，所得射线OB 交直线 l : y 2 于点 B .2以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（ 1）求椭圆 C 和直线 l 的极坐标方程；（ 2）证明： : Rt OAB 中，斜边AB 上的高 h 为定值，并求该定值.23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x x 1 2x 3 .（ 1）求不等式 f x0 的解集；（ 2）设 g x f x f x ，求 g x 的最大值 .试卷答案一、选择题1-5: CADBB6-10: BBDCD 11、12：DA二、填空题13. 414.0.818515.(- , 1)0,116.3 ,1 2三、解答题17.解：（ 1）设数列 {a n } 的公差为 d，数列 {b n } 的公比为q，依题意有，1＋ d＋ 2q＝ 7，{1＋2d＋2q2＝13， )解得d＝2，q＝2，故a n＝ 2n－ 1， b n＝ 2n，（ 2）由已知 c2n－1＝a2n－1＝4n－ 3，c2n＝ b2n＝ 4n，所以数列 {c n} 的前 2n 项和为S2n＝ (a 1＋ a3＋⋯a2n－1 ) ＋(b 2＋ b4＋⋯b2n)n(1 ＋ 4n－ 3)4(1 － 4n)4＝2＋ 1－ 4＝ 2n2－ n＋ 3(4 n－ 1) ．18．解：（ 1）两所得分数的茎叶如下A 球B 球7593813693152407195510836771678845011440720921240通茎叶可以看出， A 球所得分数的平均高于 B 球所得分数的平均；A 球所得分数比集中，B 球所得分数比分散．（ 2） C A1表示事件：“A球攻能力等”，C A2表示事件：“A球攻能力等很”；C B1表示事件：“B球攻能力等弱”，C B2表示事件：“B球攻能力等弱或”，C A1与 C B1独立， C A2与 C B2独立， C A1与 C A2互斥， C＝ (C A1C B1) ∪(C A2C B2) ．P (C) ＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2) ＝ P(C A1)P (C B1) ＋P (C A2)P (C B2) ．143518由所数据得C A1， C A2， C B1， C B2生的率分20，20， 20，20，故143518P (C A1) ＝ 20，P (C A2) ＝ 20， P(C B1) ＝20， P (C B2) ＝ 20，14 5 3 18P (C) ＝20×20＋20×20＝0.31 ．19．解：（1）∵ AB∥CD，PC⊥CD，∴ AB⊥PC，∵AB⊥AC，AC∩PC＝ C，∴ AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，又∵ PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD， PA平面PAB，∴平面 PAB⊥平面 ABCD．（2）连接 BD交 AE于点 O，连接 OF，∵E 为 BC的中点， BC∥AD，BO BE1∴OD＝AD＝ 2，∵PD∥平面AEF， PD平面PBD，平面 AEF∩平面PBD＝ OF，∴PD∥OF，BF BO1∴FP＝OD＝ 2，以 AB， AC， AP所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系A－ xyz ，则A(0 ， 0， 0) ， B(3 ， 0， 0) ， C(0， 3， 0) ， D(－ 3，3， 0) ，3 3P(0 ，0， 3) ， E(2，2， 0)，F(2 ， 0，1) ，设平面 ADF 的法向量 m ＝(x 1， y 1， z 1) ，→→AFAD∵ ＝(2， 0，1)， ＝ ( － 3， 3，0) ，→ →2x1＋ z1＝0， )取 m ＝ (1AFAD－3x1 ＋ 3y1＝ 0，， 1，－ 2) ．由 ·m ＝ 0， · m ＝ 0 得{设平面 DEF 的法向量 n ＝(x 2， y 2， z 2) ，→93 →13DEEF∵ ＝(2，－ 2， 0)， ＝(2，－ 2， 1)，→ →DEEF得 取 n ＝ (1 ， 3， 4) ．由 ·n ＝ 0， · n ＝ 0m ·n 2 39cos m ， n| m|| n| ＝－ 39 ，2 39∵二面角 A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－39 ．20．解：（ 1）由已知可得 |PD| ＝|PE| ， |BA| ＝ |BD| ， |CE| ＝ |CA| ，所以 |PB| ＋ |PC| ＝ |PD| ＋|DB| ＋ |PC|＝ |PE| ＋ |PC| ＋|AB|＝ |CE| ＋ |AB|＝ |AC| ＋ |AB| ＝4＞ |BC|所以点 P是以 B ， C 为焦点的椭圆（去掉与 x 轴的交点），x2y2的方程为4 ＋ 3 ＝1(y ≠0) ．（ 2）由又由直线O ， D ， C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥ CD ，CE ，CA 为圆 O 的切线，可知CE ＝ CA ，OA ＝OE ，所以 |PC| ＝ |BC| ＝ 2，又由椭圆的定义， |PB| ＋ |PC| ＝ 4，得 |PB| ＝ 2，所以△ PBC 为等边三角形，即点 P 在 y 轴上，点 P 的坐标为 (0 ， ± 3) (i) 当点 P 的坐标为 (0 ，3) 时，∠ PBC ＝ 60BCD ＝ 303此时直线 l 1 的方程为 y ＝3(x ＋ 1) ，直线 CD 的方程为 y ＝－ 3 (x － 1) ，83 316由 整理得 5x 2＋ 8x ＝ 0，得 Q(－ 5，－ 5 )，所以 |PQ| ＝5，由整理得 13x 2－ 8x － 32＝ 0，832设 M(x 1，y 1) ， N(x 2， y 2) ，x 1＋x 2＝13， x 1x 2＝－13，48|MN| ＝|x1－ x 2| ＝ 13，1384所以四边形 MPNQ 的面积S ＝ 2|PQ| ·|MN|＝ 65 ．384(ii) 当点P 的坐标为(0 ，－3) 时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为65 ．384综上，四边形 MPNQ 的面积为 65 ．21．解：4a 1（ 1）g (a) ＝ ln a 2 ＋a2＋ a2－2＝ 2(ln a ＋ a － 1)，1 1 2(a －1)g (a) ＝ 2(a －a2)＝ a2，所以 0＜ a ＜ 1 时， g (a) ＜ 0， g (a) 单调递减；a ＞ 1 时， g(a) ＞ 0， g (a) 单调递增，所以 g (a) 的最小值为 g (1) ＝ 0．1 4a x2＋(2a2 － 4a)x ＋ a4（ 2）f(x) ＝x － (x ＋ a2)2 ＝x(x＋ a2)2，x ＞ 0．因为 y ＝ f (x) 有三个不同的零点，所以 f (x) 至少有三个单调区间，而方程 x 2＋ (2a 2－ 4a)x ＋ a 4＝ 0 至多有两个不同正根，2a2－4a ＜ 0，所以，有{ ＝ 16a2(1 － a) ＞ 0， )解得， 0＜ a ＜ 1．1由（ 1）得，当 x ≠1时， g (x) ＞ 0，即 ln x ＋ x － 1＞0，11所以 ln x ＞－ x ，则 x ＞ e －x(x ＞0) ，2a2a2令x ＝ 2 ，得 2 ＞ e－a2．2242(a － 1)2a2a2＜ 0， f (a 2) ＞ 0，因为 f (e－)＜－ a2＋a － 2＝－4a－ 2(a － 1)24af (1) ＝1＋ a2－2＝1＋a2 ＜ 0， f (e 2) ＝ e2＋ a2＞ 0，2所以 y ＝ f (x) 在(e －a2222， a )， (a ， 1) ， (1 ， e ) 内各有一个零点， 故所求 a 的范围是 0＜ a ＜ 1． 22．解：（ 1）由 x ＝ρ cos θ， y ＝ρ sinθ 得4椭圆 C 极坐标方程为 ρ 2(cos 2θ＋ 2sin2θ) ＝ 4，即 ρ 2＝ 1＋ sin2 θ ；2直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ＝ 2，即 ρ＝ sin θ ．（ 2）证明：设 A( ρ A ，θ ) ， B(ρ B ，θ＋ 2 )，－ 2 ＜θ＜ 2．444由（ 1）得 |OA| 2 ＝ρ A2＝ 1＋sin2 θ ，|OB| 2＝ρ B2＝sin2(θ＋ \f(,2)) ＝ cos2 θ ，1 1由 S △OAB ＝ 2×|OA| ×|OB| ＝ 2×|AB| ×h 可得，|OA|2 × |OB|2|OA|2 × |OB|2h 2＝|AB|2＝ |OA|2 ＋ |OB|2 ＝ 2．故 h 为定值，且 h ＝ 2．23．解：（ 1）由题意得 |x －1| ≥|2x － 3|,所以 |x － 1| 2≥|2x － 3| 24整理可得 3x 2－ 10x ＋8≤0，解得 3≤x ≤2，4故原不等式的解集为 {x | 3≤x ≤2}．（ 2）显然 g (x) ＝ f (x) ＋ f ( － x) 为偶函数，所以只研究 x ≥0时 g (x) 的最大值．g (x) ＝f (x) ＋ f ( － x) ＝ |x － 1| － |2x － 3| ＋|x ＋ 1| －|2x ＋ 3| ，所以 x ≥0时， g (x) ＝ |x － 1| － |2x － 3| － x － 2－ 4， 0 ≤ x ≤ 1，＝ { 3)2x － 6，1＜ x ＜ ，2 － 2x ，x ≥ 3，3所以当 x ＝ 2时， g (x) 取得最大值－ 3，3故 x ＝± 2时， g (x) 取得最大值－ 3．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合）B. C. D.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）C.4. 设为）C.5. 函数的图象大致是（）A. B. ......C. D.6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为）B.D.7. ）B.8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）C.9. 如图，：的右顶点为右焦点为，，若直线平分线段于，则椭圆）C.10. 设函数为定义域为的奇函数，且时，）B. C.11. 已知函数（）12. 已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：；④的“绝对曲线”的条数为（）C.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数_______．14. 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．15. 若平面向量________．16. 观察下列各式：；；……__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1）求数列的通项公式；（2.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知（1（2.20. 在平面直角坐标平面中，.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）作两条互相垂直的直线，，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21. 已知函数（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3）已知请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线中，曲线的参数方程为：.（1）求曲线（2后得到曲线的最小值.23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.。
河北省唐山市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（ ） A ．22i -+ B ．22i + C ．22i -- D ．22i - 2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N Ø B ．N M Ø C ．M N = D ．M N R =U3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35-4.两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r r （ ）A ．2B ．3CD 5.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．9 6.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++ 8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．542+．9 C ．652+．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（ ）ACD ．211. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=o ，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（ ） A．4 B．8 C ．12D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是 ．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 ．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO= ． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a b b a+的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12n T <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=o.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合.（1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB二．填空题： （13）－5（14）－160 （15）32（16）[2，22]三．解答题：（17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1， 又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2 n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2 n ＋1－a 2n ＋1，整理得2a n ＋1＝a 2 n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2． 所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分 （Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜ 12． …12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分 （Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1； P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3； P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15； 所以X 的分布列为：…6分 （ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500， 此时Y 1的分布列为：此时利润的期望值E (Y 1)180； …8分 当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000， 此时Y 2的分布列为：此时利润的期望值E (Y 2×0.4 ＝1200； …10分 因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤． …12分 （19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC ⊂平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ． 由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ． 又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1⊂平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ．由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)． …8分设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．…10分1则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12．又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角，所以二面角A 1-AB -C 的大小为 π3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b－3＋c＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m， 又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m 2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m 2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m 2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m 2，|AM |2＝2＋m 2， …9分 由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |，所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F '(x )＝(x ＋1)e x －1，当x ＜－1时，F '(x )＜0，F (x )单调递减； 当x ＞－1时，F '(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e2． …4分（Ⅱ）因为f '(x )＝e x －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，e t －1)处的切线为y ＝e t －1x ＋(1－t )e t －1； …5分因为g '(x )＝ 1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝ 1mx ＋ln m ＋a －1， …6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝ 1 m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．…7分令h (t )＝(t －1)e t －1－t ＋a ，则h '(t )＝t e t －1－1由（Ⅰ）得t ＜－1时，h '(t )单调递减，且h '(t )＜0；当t ＞－1时，h '(t )单调递增，又h '(1)＝0，t ＜1时，h '(t )＜0， 所以，当t ＜1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减； 当t ＞1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增． …9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0， …10分又h (3－a )＝(2－a )e 2－a ＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0， …11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点， 故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切． …12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－π2＜α＜π2，C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±π4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1)＝ 13(a ＋b )2＝ 13． 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13．…10分。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|x≤1}，则∁A故选：B．2. 对应的点的坐标为）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.，则满足的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为=（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=C．故选：D．6. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）A.【答案】A【解析】由题易知：故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）A. B. C.【答案】C【解析】由题意得：则输出的故选：C9. ：，，若直线平分线段于）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.）B. C.【答案】A【解析】，期为4的零点，分别画与两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）A. B. D.【答案】A的图象关于点中心对称，为奇函数，y轴对称，故选：A12. 已知直线：为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：其中直线的“绝对曲线”的条数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，化简得．令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【答案】【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，且__________．【答案】【解析】可设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，由I 为△PF 1F 2的内心，可得，则|QF 1|=，若|F 1Q|=|PF 2， 又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即， 则e== 故答案为：15. 若平面向量________．【答案】【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n 个式子的左边是n 3，右边是n 个连续奇数的和，设第n 个式子的第一个数为a n ，则有a 2﹣a 1=3﹣1=2， a 3﹣a 2=7﹣3=4，…a n ﹣a n ﹣1=2（n ﹣1）， 以上（n ﹣1）个式子相加可得a n ﹣a 1=故a n =n 2﹣n+1，可得a 45=1981，a 46=2071， 故可知2017在第45个式子， 故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2为数列.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1，因为存在以存在，使得成立，即存在，使得.即可解得.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在成立，即存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2.（3）试比较男生学习时间的方差.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足.∴可估计全校中每天学习不足.（2本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为由题意可得所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，.（1（2.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1得到（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，平面角的余弦值．试题解析：（1为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.所以二面角点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由，则即可求得顶点方程；（2的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得得到直线值，可得直线，有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线试题解析：（1）∵∴由①知的重心，由②知（2恰为①当直线的斜率存且不为0时，设直线则①根据焦半径公式得，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得的斜率为的方程为，整理化简得恒过定点②当直线0点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3，求证【答案】(1) (2) (3)见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1∴函数的图象在（2时，只需∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.在上的值域为.综合①②得实数的取值范围为.（3）由（2）知，当时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线中，曲线.（1（2后得到曲线的最小值.【答案】(1)【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求出C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1标方程为（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2.试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为，∴实数的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁B={x|x≤1}，A故选：B．2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）【答案】A化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.）【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）B. D.【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）D.【答案】C则输出的故选：C9. 如图，：右焦点为，，若直线平分线段于）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 时，）B. D.【答案】A【解析】，期为4与两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）C.【答案】A的图象关于点中心对称，可得为奇函数，y轴对称，故选：A12. 已知直线使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：的“绝对曲线”的条数为（）B.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF 1，若|F 1Q|=|PF 2，又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即，则e= 故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an ，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an ﹣a1故an =n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在，使得.的取值范围.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足..（2本的学生共的所有可能取值为所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知于.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角面角的余弦值．试题解析：（1，因为，平面为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.是平面的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由则的外心，轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的右焦点．当直线的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得值，可得直线，另一条直线的斜率为0，直线试题解析：（1）∵的重心轴上由③知（2恰为的斜率存且不为0时，设直线则，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1（2）若函数上单调递增，求实数（3，求证【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2）∵函数上单调递增，∴在在上无解满足，时，只需∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.上单调递增，在上的值域为.②（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]，极轴为中，曲线的参数方程为：.（1（2的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．出C3试题解析：（1（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2. 试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设z=x+∴在复平面内对应的点位于第四象限故选：D．3. ）【答案】A【解析】化为B为锐角，C为钝角．=-，当且仅当∴tanA故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.）【答案】C【解析】由题意，s=∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为S阴影（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. ）【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）【答案】C则输出的故选：C9. ：，于点，若直线平分线段于）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB=故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.）B. D.【答案】A【解析】，期为4两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11.（）C.【答案】A∴的图象关于点中心对称，可得为奇函数，y轴对称，故选：A12. ：为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：；④其中直线的“绝对曲线”的条数为（）B.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. ，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF1|，若|F1Q|=|PF2|=，又PQ为∠F1PF2的角平分线，则n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，，即，则e=故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…a n﹣a n=2（n﹣1），﹣1以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1故a n=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在.的取值范围.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在成立..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足小时的有..（2本的学生共人，其中男学生人数为人，故所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥，.（1（2.【答案】为【解析】试题分析：（1得到（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．试题解析：（1，因为，所以为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.是平面的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由，则轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的右焦点．当直线的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得值，可得直线，另一条直线的斜率为0试题解析：（1）∵的重心轴上由③知（2恰为的斜率存且不为0时，设直线则，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，，解得恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0轴，过点点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. .（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2）∵函数上单调递增，∴在在上无解满足，时，只需，∴∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.上单调递增，在上的值域为.综合①②得实数的取值范围为.（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为：.（1（2后得到曲线的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求出C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2. 试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题含答案
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合，，则（ ）2{|log (2)}A x y x ==-2{|320}B x x x =-+<A C B =A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(,1]-∞(2,)+∞[2,)+∞2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）2332i z i-++(2,2)-z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知中，，则的值是（ ）ABC ∆sin 2sin cos 0A B C +=c =tan AA B C D4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<s (1)n e +e m =，则满足的概率是（ ）(,)a b A ∈1ab >A ． B ． C ． D ．2e 2e 2e e -1e e -5.函数的图象大致是（ ）4lg x xy x =A ．B ．C ．D ．6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）2448π+A ．B ．C ．D ．2448π+2490π++4848π+2466π++7.已知，，则，，的大小关系为（ ）11717a=16log b =17log c =a b c A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>b a c >>c b a>>8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．B ．C ．D ．202005268.5-50505151-9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭E 22221(0)x y a b a b+=>>A F B BO 圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）E C BF AC M E A ． B ． C ． D ．1223131410.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数()f x R ()(2)f x f x =-[0,1]x ∈()sin f x x =在区间上的所有零点的和为（ ）()cos()()g x x f x π=-59[,22-A ． B ． C ． D ．67131411.已知函数，其中为函数的导数，求2()sin 20191x f x x =++'()f x ()f x (2018)(2018)f f +-（ ）'(2019)'(2019)f f ++-=A ．B ．C ．D ．220192018012.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点l 1()y ax a a R =+-∈a l 的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：a l ①；②；③；④.21y x =--22(1)(1)1x y -+-=2234x y +=24y x =其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）l A ． B ． C ． D ．1234二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围 ．x y 2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩341x y m x ++=+m 14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，22221x y a b-=1F 2F P I 12PF F ∆PI x Q 若，且，则双曲线的离心率的值为 ．12FQ PF =:2:1PI IQ =e 15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是 ．1e 2e 11232e e e =+= 1e 2e 16.观察下列各式：；311=；3235=+；337911=++；3413151719=+++……若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为 ．3*()m m N ∈2017m 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.{}n a 0d ≠735S =2a 5a 11a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.n T 11{}n n a a +n *n N ∈10n n T a λ+-≥λ18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.4004（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.44X X （3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）21S 22S 19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与P ABCD -1PA PB PC BC ====AB =AC 平行的平面交于.PB PDE （1）试判定点的位置，并加以证明；E （2）求二面角的余弦值.E AC D --20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①ABC ∆(0,1)B -(0,1)C P Q ；②；③.0PA PB PC ++= QA QB QC == //PQ BC（1）求顶点的轨迹的方程；A E（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，F 1l 2l 1l 2l A E 11A B 22A B 11A B 的中点分别为，.22A B M N ①求四边形的面积的最小值；1212A A B B S ②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.MN 21.已知函数.ln(1)()1x f x ax +=+（1）当，求函数的图象在处的切线方程；1a =()y f x =0x =（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,1)a （3）已知，，均为正实数，且，求证.x y z 1x y z ++=(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的1C 244cos 3sin ρθθ=+O x 单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.xOy 2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；1C 2C（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最2C ''2x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3C M N 1C 3C MN 小值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知.()21()f x x a x a R =--+∈（1）当时，解不等式.1a =()2f x >（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.21()12f x x x a +++>-x R ∈a十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. 14. 15.[2,7]3245三、解答题17.解：（1）由题意可得，即.12111767352(4)()(10)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩121352a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为，所以.所以.0d ≠121a d =⎧⎨=⎩1n a n =+（2）因为，所以111(1)(2)n n a a n n +=++1112n n =-++11112334n T =-+-1112n n +⋅⋅⋅+-++.11222(2)n n n =-=++因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，*n N ∈10n n T a λ+-≥*n N ∈(2)02(2)n n n λ-+≥+即存在，使得成立.*n N ∈22(2)n n λ≤+又，（当且仅当时取等号），2142(2)2(4)n n n n =+++114162(4)n n≤++2n =所以.即实数的取值范围是.116λ≤λ1(,16-∞18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有20484人.4∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.41240024020⨯=（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.484X 01234由题意可得；4448(0)C P X C ==170=；134448(1)C C P X C ==1687035==；224448(2)C C P X C ==36187035==；314448(3)C C P X C ==1687035==.4448(4)C P X C ==170=所以随机变量的分布列为X X01234P1708351835835170∴均值.116017070EX =⨯+⨯3616237070+⨯+⨯14270+⨯=（3）由折线图可得.2212s s >19.解：（1）为的中点，证明如下：E PD 连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的OE //PB AEC PBD AECOE =PB ⊄AEC //OE PB O BD 中点，所以为的中点.E PD （2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，PO ABCD OA OC =PA PC =PO AC ⊥PO BD ⊥所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建PO ⊥ABCD O OP z O AD x O CD y 立空间直角坐标系（如图所示）.易知，，，，，， 1(,2A 1(2B 1(2C -1(,2D -1(0,0,2P 11(,44E -则，.11(,44EA =-1(,2OA = 显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，OP ACD 1(,,)n x y z = ACE 则，即，取，1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11044102x y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1y =则，1n = 所以1cos ,n OP <> 11n OP n OP⋅= =所以二面角.E AC D --20.（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点.221(0)3x y x +=≠S 32MN ⎫⎪⎪⎭试题解析：（1）∵，2PA PB PO += ∴由①知，2PC PO =- ∴为的重心.P ABC ∆设，则，由②知是的外心，(,)A x y ,33x y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ABC ∆∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：.Q x ,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭QC QA==221(0)3x y x +=≠（2）解：恰为的右焦点，F 2213x y +=①当直线，的斜率存且不为时，设直线的方程为，1l 2l 01l my x =-由，22330my x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩22(3)10m y ⇒++-=设，，则，，111(,)A x y 122(,)B xy 12y y +=12213y y m -=+①根据焦半径公式得，1112)A B x x =+又，1212x x my my +=12()m y y =++=+=所以，同理，11A B =-=22A B ==则，2222(1)6(3)(31)m S m m +=++2222(1)64(1)2mm +≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭32=当，即时取等号.22331m m +=+1m =±②根据中点坐标公式得，同理可求得，MN 则直线的斜率为，MNMNk =243(1)m m =-∴直线的方程为，MNy 243(1)m x m ⎛=- -⎝整理化简得，()4334ym x m +-()263490ym x m y ++--=令，解得0y =x =∴直线恒过定点.MN ⎫⎪⎪⎭②当直线，有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为，直线即为轴，过点.1l 2l 0MN x ⎫⎪⎪⎭综上，的最小值的，直线恒过定点.S 32MN ⎫⎪⎪⎭21.（1）当时，则，1a =ln(1)()1x f x x +=+(0)0f =则，21ln(1)'()(1)x f x x -+=+'(0)1f =∴函数的图象在时的切线方程为.()y f x =0x =y x =（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，()f x (0,1)10ax +=(0,1)当时，在上无解满足，0a ≥10ax +=(0,1)当时，只需，∴①0a <1010a a +≥⇒-≤<1a ≥-，21ln(1)1'()(1)ax a xx f x ax +-++=+∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，()f x (0,1)'()0f x ≥(0,1)即在上恒成立.[](1)ln(1)1a x x x ++-≤(0,1)设，()(1)ln(1)x x x ϕ=++'()ln(1)(1)x x x x ϕ-=+++11ln(1)1x x ⋅-=++∵，∴，则在上单调递增，(0,1)x ∈'()0x ϕ>()x ϕ(0,1)∴在上的值域为.()x ϕ(0,1)(0,2ln 21)-∴在上恒成立，则②1(1)ln(1)a x x x ≤++-(0,1)12ln 21a ≤-综合①②得实数的取值范围为.a 11,2ln 21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦（3）由（2）知，当时，在上单调递增，1a =-ln(1)()1x f x x +=-(0,1)于是当时，，103x <≤ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≤=当时，，113x ≤<ln(1)()1x f x x +=-134(ln 323f ≥=∴，即，(31)()x f x -34(31)ln 23x ≥-⋅(31)ln(1)1x x x -+-33(31)ln 24x ≤-⋅同理有，，(31)ln(1)1y y y -+-33(31)ln 24y ≤-⋅(31)ln(z 1)1z z -+-33(31)ln 24z ≤-⋅三式相加得.(31)ln(1)1x x x -+-(31)ln(1)1y y y -++-(31)ln(z 1)01z z -++≤-22.解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴1C 244cos 3sin ρθθ=+4cos 3sin 24ρθρθ+=43240x y +-=的直角坐标方程为.1C 43240x y +-=曲线：，∴，故的普通方程为.2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩221x y +=2C 221x y +=（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为2C ''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩3C 22''184x y +=3C （为参数）.设，则点到曲线的距离为y 2sin x αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α(),2sin N ααN 1C.d(tan ϕ=当时，，所以的最小值为()sin 1αϕ+=d MN 23.解：（1）当时，等式，即，1a =()2f x >2112x x --+>等价于或或，11212x x x <-⎧⎨-++>⎩1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩解得或，23x <-4x >所以原不等式的解集为；2(,(4,)3-∞-+∞ （2）设，则，()()1g x f x x x =+-+2x a x =-+,2()3,2a a x x f x a x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则在上是减函数，在上是增函数，()f x (,2a-∞(,)2a +∞∴当时，取最小值且最小值为，2a x =()f x ()22a a f =∴，解得，∴实数的取值范围为.2122a a >-112a -<<a 1(,1)2-。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）4. 设为）A. C. D.5. 函数的图象大致是（）A. B. 学+科+...学+科+...C. D.6. ）A.7. ）A. D.8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）A. B. C.9. ：，于点，若直线平分线段于）A. C. D.10. 设函数为定义域为的奇函数，且）A. B. C. D.11.（）A. D.12. ：的“绝对曲线”的条数为（）A. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. ，则实数_______．14. 的左右焦点分别为，且__________．15. ________．16. 观察下列各式：……__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2.（3.（只需写出结论）19. 的底面为矩形，已知，（1（2.20.（1（2），，，①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21. .（1，求函数（2（3请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为：.（1（2后得到曲线的最小值.23. [选修4-5：不等式选讲]（1（2.。
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河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，那么（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，所以，选A. 2. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】全称性命题的否定是特称性命题,所以选C. 3. 等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）
A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A
【解析】设公比为，则等价于，故，所以，选A. 4. 以直线为渐近线的双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 2或 C. D. 或2
【答案】B
【解析】设双曲线方程为，若，则双曲线的标准方程为，此时
，；若，则双曲线的标准方程为，此时，，故选B. 点睛：已知双曲线的渐进线，要考虑与双曲线标准方程相关的问题，应该把双曲线方程设为
. 5. 执行如图的程序框图，如果输入，输出的，则输入的是（ ）
A. 30 B. 20 C. 12 D. 8
【答案】A
6. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得
到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设有，令，解得，故选C. 7. 某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可
能是该几何体俯视图的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C 【解析】俯视图从左到右依次记为：
图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图（1）； 如图几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图（4） 如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去一个圆柱（如下图所示），则俯视图如图（2）
而图（3）的正视图不是正方形，故选C. 8. 《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四
节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ）
A. 升、升 B. 2升、3升 C. 升、升 D. 升、升
【答案】D 【解析】设从上而下，记第节的容量为升，故，，设公差为，则有，解得，故，，选D. 点睛：对于数学文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数学知识去解决. 9. 若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原
点）的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】抛物线为，焦点为，设，，，由有，所以，，故，选D.
10. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D. 【答案】B 【解析】，它是上的奇函数，故D错；又当时，，故C
错；又，故，选B. 点睛：判断函数的图像，不仅要从函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如局部点的切线的斜率的正负等. 11. 为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年
级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ） A. 320 B. 324 C. 410 D. 416
【答案】B 【解析】6名学生选派4名参加，共有种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为,选B. 12. 若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围
为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设有，令，则，所以，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，所以，注意到当时，，故选D. 点睛：题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若复数满足，且其对应的点为，则点的坐标为__________．
【答案】 【解析】，所以，填． 14. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】由题设有，又，填． 15. 已知正三棱柱底面边长是2，该三棱柱的体积为，则该正三棱柱外接球的表面积是_．
【答案】 【解析】设正三棱柱的高为，由题设有正三棱柱底面面积为，所以，，底面外接圆的半径为，故外接球的半径，故表面积为． 点睛：组合体中有关球的计算，关键在球心位置的确定，本题中球心在上下底面中心的连线的中点处． 16. 已知函数的两个极值点分别为，且
，若存在点在函数的图象上，则实数的取值范围是__________． 【答案】(或) 【解析】，因为，所以，故，不等式表示的平面区域如图所示．因为存在在的图像上，故在函数的图像的下方，而，所以，解得．填．
点睛：函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图像和平面区域的关系得到所求参数的取值范围． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知是等比数列，.数列满足，且是等差数列.
（1）求数列和的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）因为是等比数列，，求出后就能得到的通项公式.又是等差数列且其首项为，第四项为，故等差数列的公差为，，根据的通项公式求出的通项公式.（2）的通项公式是等差数列和等比数列的差，可用分组求和的方法求前项和.
解析：（1）设等比数列的公比为，由题意得，解得.所以.设等差数列的公差为，由题意得.所以. 从而. （2）由（1）知，数列的前项和为；数列的前项和为，所以，数列的前项和为. 18. 在中，内角所对的边分別为，且.
（1）求角； （2）若，求 的面积. 【答案】(1) (2)
解析：（1）因为 ，所以有，由正弦定理可得，因 ，故，所以得到，∵ 所以. （2）法1:根据正弦定理，于是可得.∵ ， ∴，又因为，由余弦定理得，两式联立得，解得或（负值舍去）.∴. 法2：因为，所以，代入得，所以.因为
，所以.根据正弦定理，于是可得，∴ 19. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，
为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试.共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了 20名学生的答题数据进行统计，结果如下 （1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； （2）从抽取的20名学生中再随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望； （3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)96人；(2)见解析，（3）该次测试的难度预估是合理的 【解析】试题分析：（1）题设中给出了难度系数是答对该题的人数除以参加考试的总人数，由第二张表可知实测难度为，故估计240人中答对该题的人数约为96人.（2）离散型随机变量服从超几何分布，利用公式可以计算出、、，列表给出分布列，并利用公式计算.（3）先计算出各题的实测难度，根据题设给出的公式计算,该次测试的难度预估是合理的. 解析：（1）因为20人中答对第5题的人数为8人，因此第5题的实测难度为.所以，估计240人中有人实测答对第5题.
（2）的可能取值是 ；；. 的分布列为：
. （3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为24O名学生第题的实测难度.各题的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.4
所以，因为，所以，该次测试的难度预估是合理的. 20. 已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，
点是棱的中点，点在棱上，且，平面. （1）求实数的值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结，连结，可得，根据，可得比例关系，和平行线比例关系可得；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明平面，所以以点为原点建立如图坐标系，分别求两个平面的法向量，根据求值. 试题解析：（Ⅰ）连接，设，
则平面平面， //平面，//，
∽，， ，； （Ⅱ）， 又， ，，平面， 以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，平面的法向量， 设平面的法向量，