2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

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2008年考研数学(二)真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

OxyD (,())A a f a ()y f x =(,0)B a yxO222x y u +=221x y +=vuvD 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()d axf x x '⎰等于（A ）曲边梯形ABOD 的面积.（B ）梯形ABOD 的面积.（C ）曲边三角形ACD 的面积.（D ）三角形ACD 的面积.（3）在下列微分方程中，以123e cos 2sin 2xy C C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是（A ）440y y y y ''''''+--=.（B ）440y y y y ''''''+++=.（C ）440y y y y ''''''--+=.（D ）440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数ln ()sin 1x f x x x =-，则()f x 有（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点.（B ）1个可去间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点.（D ）2个无穷间断点.（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（A ）若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛.（B ）若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.（C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.（D ）若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数()f x 连续.若22(,)d uvD F u v x y =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（A ）2()vf u .（B ）2()vf u u.（C ）()vf u .（D ）()vf u u.（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若3=A O ，则（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆.（B ）-E A 不可逆，+E A 可逆.（C ）-E A 可逆，+E A 可逆.（D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.（8）设1221⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（A ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(e 1)()x x xf x f x →-=-，则(0)f =.（10）微分方程2(e )d d 0xy x x x y -+-=的通解是y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程是.（12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为.（13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248=-A ，则λ=.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.（16）(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20(),ln(1)d .t x x t y u u =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0d 2e 0,d |0.xt x t tx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22d d y x .（17）(本题满分9分)计算21x ⎰.（18）(本题满分11分)计算{}max ,1d d Dxy x y ⎰⎰，其中{(,)02,02}D x y x y = .（19）(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.（20）(本题满分11分)（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；（Ⅱ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()d x x ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.（21）(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值.（22）(本题满分12分)设n 元线性方程组=Ax b ，其中2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，100⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .（Ⅰ）证明行列式(1)nn a =+A ；（Ⅱ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.（23）(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323=+Aααα.（Ⅰ）证明123,,ααα线性无关；（Ⅱ）令()123,,=P ααα，求-1P AP .2008年考研数学(二)试卷答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）D （4）A （5）B （6）A（7）C （8）D二、填空题（9）2（10）(e )xx C --（11）1y x =+（12）(1,6)--（13）2(ln 21)2-（14）1-三、解答题（15）61.（16）22(1)[ln(1)1]t t +++.（17）21π416+.（18）2ln 419+.（19）e e 2x xy -+=.（20）略.（21）222max (2)(2)872u =-+-+=,222min 1126u =++=.（22）（Ⅰ）略.（Ⅱ）0≠a ,1(1)nx n a =+.（Ⅲ）0a =,1001,0000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x 为任意常数.（23）（Ⅰ）略.（Ⅱ）1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】D .【解答】222()2(1)(2)(2)(1)(494)0f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+=，有三个实数根，所以有三个零点.故答案选D .（2）【答案】C .【解答】()d d ()()()d aa axf x x x f x af a f x x '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，()d af x x ⎰为曲边梯形的面积，0()d a xf x x '⎰为曲边三角形的面积.故选C .（3）【答案】D .【解答】由123e cos 2sin 2xy C C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为2(1)(2)(2)(1)(4)0i i λλλλλ-+-=-+=，即方程为440y y y y ''''''-+-=，故选D .（4）【答案】A .【解答】因为[]111ln 1(1)ln 1(10)lim sin lim sin sin1limsin1111x x x x x x f x x x x x ++→→→+--+===⋅=---，[]111ln 1(1)ln 1(10)lim sin lim sin sin1lim sin1111x x x x x x f x x x x x --→→→+---==-=-⋅=----，所以1x =为跳跃间断点；又因为000021ln ln limsin lim ln lim lim 011|1|x x x x x xx x x x x x x→→→→=⋅===--，所以0x =为可去间断点；故答案选A .（5）【答案】B .【解答】若{}n x 单调，则由()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，{}()n f x 单调有界.由单调有界收敛定理可知{}()n f x 收敛，故答案选B .（6）【答案】A .【解答】由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分22011()(,)d d ()d v uu f r F u v v r r v f r r r==⎰⎰⎰，所以2()Fvf u u∂=∂，故答案选A .（7）【答案】C .【解答】因为3=A O ，所以32()()=-=-++E E A E A E A A .由可逆矩阵的定义可知-E A 可逆，且12()--=++E A E A A .同理，32()()=+=+-+E E A E A E A A ，所以+E A 可逆，且12()-+=-+E A E A A .故答案选C .（8）【答案】D .【解答】12||(1)(3)021λλλλλ---==+-=--E A ，则121,3λλ=-=.所以矩阵A 的正负惯性指数都是1；A 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ+-=++=-+，负惯性指数为2，不合同；B 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ-=--=-，正惯性指数为2，不合同；C 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ--=--=--，正惯性指数为2，不合同；D 选项，特征方程12(1)(3)021λλλλ-=+-=-，则121,3λλ=-=，正负惯性指数都为1，合同.故答案为D .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2.【解答】由22220001()1cos[()]121lim lim ()()2(e 1)()x x x x x f x xf x f x x f x f x →→→-===-，得0lim ()2x f x →=.因为()f x 连续，所以(0)2f =.（10）【答案】(e )xy x C -=-.【解答】方程可变形为d e d x y yx x x-=，通解为()11d d ee e d ed (e )xx x xx xxy x x C x x C x C ------⎛⎫⎰⎰=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰.（11）【答案】1y x =+.【解答】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()1d 1d cos()x y y xy F y y x x F x xy y x-+-'-=-=-'+-，在(0,1)处，得1k =，因此切线方程为1y x =+.（12）【答案】(1,6)--.【解答】21133325()(5)(2)33f x x x x x x --'=+-=-，4310()(1)9f x x x -''=+，由4310()(1)09f x x x -''=+=，得1x =-，且1x <-时，()0f x ''<；1x >-时，()0f x ''>，所以1x =-对应的点(1,6)--为拐点.（13）【答案】(ln 21)2-.【解答】令,y xu v x y==，方程变为v z u =，取对数得ln ln z v u =.方程两边对x 求导得，111ln ln x xz vy v u u z x u y x y∂''=+=-∂，所以，(1,2)(1,2)(1,2)11112(ln )()()(ln 21)2xy z y y y z x y x y x y x y∂=-=-=-∂.（14）【答案】1-.【解答】因为A 是3阶矩阵，248=-A ，所以848=-A ，即6=-A .而23λ=⋅⋅A ，所以1λ=-.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解：[]43sin sin(sin )sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x →-⋅=20cos (1cos(sin ))lim 3x x x x →-=613sin 21lim 220==→x xx .（16）（本题满分10分）解：解方程d 2e 0d x xt t--=，且0|0t x ==，可得2ln(1)x t =+.因为函数()y y x =由参数方程20()ln(1)d t x x t y u u =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，所以，()2222d d ln(1)2d 1ln(1)d 2d d 1yy t t t t t x t x t t +⋅===+++，故，()222222d d d ln(1)221ln(1)12d d d 1y y t t tt t t x x x t +⋅+⎛⎫⎡⎤===+++ ⎪⎣⎦⎝⎭+.（17）（本题满分9分）解：令sin x t =，则ππ22122sin 1cos d (1cos 2)d cos 2t t x t t t t t t ⋅==-⋅⎰⎰⎰ππ22200111πd cos2d 22416t t t t t =-=+⎰⎰.（18）（本题满分11分）解：如图，取111{(,)2,2}2D x y x y x= ，2D 是区域D 去掉1D 的剩余部分.则，()12max ,1d d d d 1d d DD D xy x y xy x y x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，12211215d d d d ln 24xD xy x y x x y y ==-⎰⎰⎰⎰，21221121d d 1d d 1d d 4d d 12ln 2xD DD x y x y x y x y =-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以，()1219max ,1d d d d 1d d ln 24D D D xy x y xy x y x y =+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1（19）（本题满分11分）解：旋转体体积2()πd tV t y x =⎰，侧面积0()2πtS t x =⎰.因为，202π2πd tt x y x =⎰⎰,两边对变量x求导可得2y =，整理得，221y y '+=,再对变量求导化简可得二阶微分方程y y ''=.由特征方程为210λ-=，特征根为1λ=±，通解为12e exxy C C -=+.将通解代入方程221y y '+=，得1241C C =.再由(0)1f =，得112C =.故该曲线方程为e e 2x xy -+=.（20）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）设M 和m 分别是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值及最小值，则()()d ()b am b a f x x M b a --⎰ ，1()d ba m f x x Mb a -⎰ .由介值定理，在[,]a b 上至少存在一点η，1()d ,()b af x x a b b a ηη=-⎰ ,即()d ()(),()baf x x f b a a b ηη=-⎰.（Ⅱ）由积分中值定理，则至少存在一点(2,3)c ∈，使得32()d (),(2,3)x x c c ϕϕ=∈⎰，且32(2)()d x x ϕϕ>⎰，则(2)(1),(2)()c ϕϕϕϕ>>.对()x ϕ分别在区间[][]1,2,2,c 上应用拉格朗日中值定理，可得1(2)(1)()0,21ϕϕϕη-'=>-2(2)()()0,2c cϕϕϕη-'=<-则在区间[]12,ηη上对()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有1212()()()0ϕηϕηϕξηη''-''=<-.（21）（本题满分11分）解：构造拉格让日函数2222212(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λλ=++++-+++-，由1212122222022020040x x y y z x y z x y z λλλλλλ++=⎧⎪++=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎩，解得228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.则点(2,2,8)--和(1,1,2)为函数222u x y z =++在约束条件下的最值点，带入有222max (2)(2)872U =-+-+=，222min 1126U =++=.即最大值为72，最小值为6.（22）（本题满分12分）解：（Ⅰ）利用初等变换进行计算222222121321012221122a a aa a a a a a aaa a==A 2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a n n a n+==⋅⋅⋅=++.（Ⅱ）方程组=Ax b 有唯一解，需0≠A .因为||(1)nn a =+A ，所以有0a ≠.利用克莱姆法则可得唯一解为111(1)(1)n n D na nx n a n a-===++A ，其中2111000*********2a a a D a=（Ⅲ）当0=A 时，即0a =时，方程组=Ax b 有无穷多解.此时原矩阵变为010010100100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .由0100100100(,)0001000000⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭A A b ，得(,)()1r r n ==-A b A .所以=0Ax 的解为()T1,0,0,,0k ，k 为任意常数.方程组=Ax b 特解为0100η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以通解为10010000k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）.（23）（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，所以1122,=-=AααAαα，且12,αα线性无关.令，112233k k k ++=0ααα①则等式两侧左乘A 得，1122331122323()k k k k k k ++=-+++=0AαAαAααααα，整理可得1123233()k k k k -+++=0ααα②由①和②两式相减可得11322k k -=0αα.所以，130k k ==.再由①可知20k =，故123,,ααα线性无关.（Ⅱ）由于123,,ααα线性无关，()123,,=P ααα，所以P 可逆.因为()()()1231223123100,,,,,,011001-⎛⎫ ⎪==-+= ⎪ ⎪⎝⎭AP A αααααααααα，所以-1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查：一、选择题二、填空题三、解答题（15）16（16）2222(1)[ln(1)1]d y t t dx =+++（17）21416π+（18）19ln 24+ （19）1()()2x xf x e e -=+（20）略（21）最大值为72，最小值为6 （22）（Ⅰ）略；（Ⅱ）10,(1)n a x n a≠=+；（Ⅲ）0,(0,1,0,,0)(1,0,,0)T Ta x k ==+L L ，其中k 为任意常数（23）（Ⅰ）略；（Ⅱ）1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】()D【解析】()()()()()()22221212494f x x x x xx x x x x x '=--+-+-=-+令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3. （2）【答案】()C【解析】()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积。

（3）【答案】()D【解析】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+，即32440λλλ-+-=所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=, 选()D . （4）【答案】()A【解析】()f x 的间断点为1,0x =，而0lim ()0x f x →+=，故0x =是可去间断点；1lim ()sin1x f x →+=，1lim ()sin1x f x →+=-，故1x =是跳跃间断点故选()A 。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

故线性无关．
（Ⅱ）记则可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则。记，则
则，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数连续，且，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析：的间断点为，而，故是可去间断点；
，，故是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
【详解】
解析：令
得方程组即，解得或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设元线性方程组，其中，， .
（Ⅰ）证明行列式；
（Ⅱ）当为何值时，该方程组有唯一解，求；
（Ⅲ）当为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则，时方程组有唯一解，故时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为
所以，．
（Ⅲ）当时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数．

考研数学历年真题(2008-2017)年数学一

(C) ab 0
(D) ab 2
（2）设函数 f x 可导，且 f x f x 0 则（）
(A) f 1 f 1
(B) f 1 f 1
(C) f 1 f 1
(D) f 1 f 1
（3）函数 f x, y, z x2 y z2 在点 1, 2, 0 处沿向量 n 1, 2, 2 的方向导数为（）
y)
(2x
1)e2xy , 且
f
(0,
y)
y
1,
Lt
是从点 (0, 0)
到点 (1,t)
的光滑曲线，计算曲线积分 I (t) f (x, y) dx f (x, y) dy ，并求 I (t) 的最小值
Lt x
y
（18）设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分
A3x1 x2
B 3x1 x2
C
1
x x
2
D
1
x x2
（4）已知函数
f
x
x, x 0
1 n
,
n
1 1
x
1 n
,n
1, 2,，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点
（B） x 0 是 f x 的第二类间断点
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导
（D） f x 在 x 0 处可导
0 0 1
2 1 0 1 0 0 B 0 2 0 C 0 2 0 ，则（）
0 0 1 0 0 2
1
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似

2008年数二真题及标准答案及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积。

(3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛。

()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛。

()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛。

（6）设函数f 连续,若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵。

若30A =，则（ ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。

()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。

()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭。

30676 77D4 矔 29252 7244 牄27551 6B9F 殟-25596 63FC 揼：二、填空题：9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.(10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学解析版

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b cA ．B ．C ．D ．4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（）A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x --<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B． C． D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96B ．84C ．60D ．48第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c-=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．C DE AB21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>．答案与解析：1.C解析：由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或； 2.A解析：根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A解析：2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D解析：222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=- 5.C解析：243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B解析：2(1)2(1)21,(1),()y x xy x e f x e f x e --=⇒=-==7. D解析：3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==-8.A解析：π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x --=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或. 10.D解析：由题意知直线1x ya b +=与圆221x y +=22111a b+1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知cos sin 1a b αα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C解析：由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.12.B解析：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=. 另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9解析：如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9. 14. 答案：2解析：由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38解析：设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====.16.答案：16解析：设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM ⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c-= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）2313--，且23a >解得：74a ≥20．解：（Ⅰ）对于甲：对于乙：0.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e =．（Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=．22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a < 211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得 1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==， 121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得 k k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k i i i a b a a ==--∑ 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0 若对任意i k ≤都有b a i >，则k k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k i i a b a b==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

2008考研数学(二)真题及参考答案

2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)21)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+，即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

考研数学历年真题(1987-2012)年数学一_可直接打印(纯试题)

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.2z t =+(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰Ñ= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x ∂∂∂∂(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s(D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k nn ∞=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A)a(B)1a(C)1n a -(D)n a六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑g 的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为221(),xx f x -+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤,求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域. (3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰Ò二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是 (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处 (A)取得极大值(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则 (A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B)12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x yu yf xg y x=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x yx x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x = 六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M沿直线y =自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +⎰=_____________.(4)向量场div u 在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1siny x x= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是 (A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2)(D)(1,1,2)--(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)11223c y c y y ++(B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +---(D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰L 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14 (D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分) 将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分) 设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln e x x π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值. (2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B U 的概率()P A B U =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t=-+(1)过点(1,21)M-且与直线34y t=-垂直的平面方程是_____________.1z t=-(2)设a为非零常数,则lim()xxx ax a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x=111xx≤>,则[()]f f x=_____________.(4)积分222e yxdx dy-⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x是连续函数,且e()(),xxF x f t dt-=⎰则()F x'等于(A)e(e)()x xf f x----(B)e(e)()x xf f x---+(C)e(e)()x xf f x---(D)e(e)()x xf f x--+(2)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()[()],f x f x'=则当n为大于2的正整数时,()f x的n阶导数()()nf x是(A)1![()]nn f x+(B)1[()]nn f x+(C)2[()]nf x(D)2![()]nn f x(3)设a为常数,则级数21sin()[nnan∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知()f x在0x=的某个邻域内连续,且()(0)0,lim2,1cosxf xfx→==-则在点0x=处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f'≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组=AX b的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k-+++ββααα(B)1211212()2k k++-+ββααα(C)1211212()2k k-+++ββαββ(D)1211212()2k k++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求12ln(1).(2)xdxx+-⎰(2)设(2,sin),z f x y y x=-其中(,)f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分) 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'> 七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F r 作用(见图).F r的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F r 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===L 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________. (4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线221e 1ex x y --+=- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于 (A)e ln 2x (B)2e ln 2x (C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20).x π+→(2)设n r 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n r 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和. 六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x -+0x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A L L L L L L L其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=L 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn an∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x = 21e xx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分) 求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++r r r r 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F r所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________. (2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=⎰.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π (C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分) 计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点. (2)设,b a e >>证明.b a a b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011limcot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xx u y -=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N <<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c =(D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu==-⎰,求dydx 、22d y dx 在t =. (2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. (2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c g 则[()()]()+⨯++a b b c c a g =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-则级数 (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.z ϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f f g g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e X Y =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =+在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=L 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑ (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数22,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b -(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x ⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2b f c a '≤+设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ (2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ=== 又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:(2)求随机变量X 的数学期望().E X。

2008 考研数三真题答案及详解

D
(18) （本题满分 10 分）设 f x 是周期为 2 的连续函数，（1）证明对任意实数 t ，有（2）证明 G x

t 2
t
f x dx f x dx ；
0
2

x
0
2 f t t 2 f s ds dt 是周期为 2 的周期函数． t
n
（2） a 为何值，方程组有唯一解; （3） a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分 10 分）设 A 为 3 阶矩阵，a1 , a2 为 A 的分别属于特征值 1,1 特征向量，向量 a3 满足 Aa3 a2 a3 ，证明（1） a1 , a2 , a3 线性无关；（2）令 P a1 , a2 , a3 ，求 P AP .
F u
（A） vf (u )
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
3
（D）
v f (u ) u
）
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A 0 ，则（
A E A 不可逆， E A 不可逆. C E A 可逆， E A 可逆.
（6）设 A
2a 1 2 a 2a ，现矩阵 A 满足方程 AX B ，其中 X x , , x T ，设矩阵 A 1 n 1 a 2 2 a n n
B 1, 0, , 0 ，
（1）求证 A n 1 a ;
.
1 x
2 x x3 ，则 4 2 1 x
2 2
2
f ( x)dx ______ .
（11）设 D {( x, y ) x y 1} ，则

2008考研数二真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD()D 有两个跳跃间断点(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u()C ()vf u()D ()vf u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( )()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y = (11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算2121dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x--+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】方法一：由于2211x x-→=+∞-，故2121dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈221222220000sin cos 2cos sin ()cos 221t t t t t dx tdt t tdt dt t xπππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：2121dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰D 1123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+ 即 21y y '=-由分离变量法解得 21ln(1)y y t C -=+，即 21t y y Ce -=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e -=，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2t t y f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数20()ln(2)xfxtdt则()fx的零点个数（） A0 B1 C2 D3

解：、B. 解：22()ln(2)22ln(2)fxxxxxg 22

4()2ln(2)02xfxxx

，恒大于0，所以()fx在(,)上是单调递增的.

又因为(0)0f，根据其单调性可知()fx只有一个零点. （2）函数(,)arctanxfxyy在点(0,1)处的梯度等于（） Ai B -i C j D j

解；A.

解：由 222222222221,(0,1)1.11xxxxyyyffxxyxyyy 22222

,(0,1)0.1yyxxyffxxyy

所以(0,1)10.gradfiji （3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意常数）为通解的是（） A440yyyy. B440yyyy

C440yyyy. D440yyyy

解：D. 解：由123cos2sin2xyCeCxCx可知其特征根为12,31,2i. 故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)ii 32324444



所以所求微分方程为440yyyy, 选D. （4）设函数()fx在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（） A若nx收敛，则()nfx收敛. B若nx单调，则()nfx收敛.

C若()nfx收敛，则nx收敛. D若()nfx单调，则nx收敛.

解：（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若30A，则（） AEA不可逆，EA不可逆. BEA不可逆，EA

可逆.

CEA可逆，EA可逆. DEA可逆，EA

不可逆.

解：选C 分析：23()()EAEAAEAE，23()()EAEAAEAE 故,EAEA均可逆。

（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1xxyzAyz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（） A0. B1. C2. D3.

解：选B

分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221xyzac，故A的正特征值个数为1。（7）设随机变量,XY独立同分布且X分布函数为Fx，则max,ZXY分布函数为（） A 2Fx. B FxFy.

C 211Fx. D 

11FxFy

.

解：选A max,FZPZzPXYz2PXzPYzFzFzFz

（8）设随机变量0,1XN:，1,4YN:且相关系数1XY，则（） A 211PYX. B211PYX.

C211PYX. D211PYX.

解：选（D）用排除法

设YaXb，由1XY，知道,XY正相关，得0a，排除（A）（C）

由~(0,1),~(1,4)XNYN，得 0,1,()()EXEYEYEaXbaEXb 10, 1abb 排除（C）故选择（D）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）微分方程0xyy满足条件11y的解是y. 解：1yx 由,,lnlndyydydxyxdxxyx所以1xy，又(1)1y，所以1yx. （10）曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为. 解：1yx.

解：设、(,)sin()ln()Fxyxyyxx，斜率1cos()11cos()xyyxyFyxkFxxyyx，在(0,1)处，1k，所以切线方程为1yx，即1yx （11）已知幂级数02nnnax在0x处收敛，在4x处发散，则幂级数03nnnax

的收敛域为. 解：(1,5].

由题意知0(2)nnnax的收敛域为(4,0]，则0nnnax的收敛域为(2,2].

所以0(3)nnnax的收敛域为(1,5]. （12）设曲面是224zxy的上侧，则2xydydzxdzdxxdxdy. 8.

解：222100()2xydxdyxdzdxxdxdyxydxdy

142482dxdygg

（13）设A为2阶矩阵，12,为线性无关的2维列向量，12120,2AA，则A的非零特征值为. 解：分析：1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA

记12(,),PP可逆，故10201PAPB A与B有相同的特征值2(1)01EB，1,20,1，故非零的特征值为1。

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2PXEX. 解：112e 因为 22()DXEXEX，所以 22EX，X 服从参数为1的泊松分布，所以 1122PXe 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分10分）求极限40sinsinsinsinlimxxxxx. 解： 4300(sinsinsin)sinsinsinsinlimlimxxxxxxxxx20coscos(sin)coslim3xxxxxg 200cos(1cos(sin))sin(sin)coslimlim36xxxxxxxx

g

0sin1lim66xxx (16)（本题满分10分）计算曲线积分2sin221Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从点0,0到点

,0的一段.

解：220sin22(1)[sin22(1)sincos]Lxdxxydyxxxxdx 2000sin2sin2sin2xdxxxdxxdx

1cos22xdx

1[cos22cos202xxxxdx

11[cos20]2cos222xxdx 20

0200

202

11[cos20]2cos222112sin22221sin2221[sin2sin2]2211[cos2]2222xxdxxdxxdxxxxdxx





(17)（本题满分10分）已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

解；解：2222035xyzxyz 得：53xyz 2225203xyxy





224520500xxyyy

2222,,452050Fxyxyxxyyy

22450Fxxyx



242200Fyxyy



224520500Fxxyyy



15,15xxyy





得：22max5,5152zxy