高考数学中档题系列训练1

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2019高考数学中档题训练含详细讲解答案

目录第一套：高考数学中档题精选（1）第二套：高考数学中档题精选（2）第三套：高考数学中档题精选（3）第四套：高考数学中档题训练第五套：不等式专练第六套：高考最新模拟试题一套高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q}是等差数列？若存在，试求出p 、q 应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE.（Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B的正弦值.解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O,由正三棱锥的性质可知O为底面中心，连CO,则CO⊥BD,由三垂线定理知AC⊥BD，又AC⊥ED,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在Rt△ACD中，由AC2+AD2=2AC2=a2可得：AC=AD=AB=22a .∴V=VB-ACD =13·12·AC·AD·AB=224a3 .（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD,即∠EHG为二面角E-FD-B的平面角.∵EG＝12AO 而AO＝VB-ACD13·S△BCD=66a ,∴EG=612a .又∵ED＝AE2+AD2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF∥AC，∴EF⊥DE.∴在Rt△FED中，EH＝EF·EDDF=1512a ∴在Rt△EGH中，sin∠EHG＝EGEH=105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.又令x∈（－1,1），则-x∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x2)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数.（Ⅱ）令－1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在定义域ABCDEF OGH上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i. 解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π 解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i. 解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。

2013—2014学年高三数学(苏教版)考前小练习：中档题训练

高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ．（1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=；（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。

2019版考前三个月高考数学考前抢分必做中档大题规范练1 Word版含答案

中档大题规范练中档大题规范练1　三角函数1.(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝，求角A 的大小.a 24(1)证明　由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解　由S ＝得ab sin C ＝，a 2412a 24故有sin B sin C ＝sin A ＝sin 2B ＝sin B cos B ，1212由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝±B .π2当B ＋C ＝时，A ＝；π2π2当C －B ＝时，A ＝.π2π4综上，A ＝或A ＝.π2π42.(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.解　(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝＝sin ，2(22sin 2ωx ＋22cos 2ωx )2(2ωx ＋π4)由ω＞0，f (x )的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.2π2ω(2)由(1)得f (x )＝sin，2(2x ＋π4)令－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π4π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，3π8π8即f (x )的单调递增区间为(k ∈Z ).[－3π8＋k π，π8＋k π]3.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，π4纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的最大值及取得最大值时x 的集合.解　(1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －)，2π4令2k π－≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π83π8故函数f (x )的单调递增区间为[k π－，k π＋](k ∈Z ).π83π8(2)由已知，得g (x )＝sin(x ＋)，2π4∴当sin(x ＋)＝1，即x ＋＝2k π＋(k ∈Z )，π4π4π2也即x ＝2k π＋(k ∈Z )时，g (x )max ＝.π42∴当{x |x ＝2k π＋(k ∈Z )}时，g (x )的最大值为.π424.(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且＋＝.cos A a cos B b sin Cc (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝bc ，求tan B .65(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k (k >0)，a sin Ab sin B csin C 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入＋＝中，有cos A a cos B b sin Cc ＋＝，变形可得cos A k sin A cos B k sin B sin Ck sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .(2)解　由已知，b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，有65cos A ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 35所以sin A ＝＝.1－cos2A 45由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin B ＝cos B ＋sin B .454535故tan B ＝＝4.sin Bcos B 5.已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m·n .3(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积.解　(1)f (x )＝m·n ＝sin x cos x ＋cos 2x3＝sin 2x ＋cos 2x ＋321212＝sin(2x ＋)＋，π612由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2可得，－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π3π6∴函数f (x )的单调递增区间为[－＋k π，＋k π]，k ∈Z .π3π6(2)∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋)＝，π612∵0<A <π，∴<2A ＋<，π6π613π6∴2A ＋＝，∴A ＝.π65π6π3由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋c 2－2bc cos ＝4－3bc ，π3∴bc ＝1，∴S △ABC ＝bc sin A ＝.1234。

2020高考数学中档题强化训练含答案

若{an }是等比数列，则首项为 a，公比为 2.
∴ 2 a+ b=a
∴
a+ b=0 ………………………………………………6…分…
∴若{an}为等比数列， a、b 应满足的条件是 a+ b=0 ，且 a、
b 均不为零 .…8 分（Ⅱ）由（Ⅰ） Sn a 2n a
Sn 1 a 2 n 1 a …………………………
分）由正弦定理得 c2 ab cosC. （ 8 分）从而由余弦定理及
a 2 b 2 mc2 0 得 c 2 a 2 b 2 2abcosC mc2 2c 2 . m 3. （ 12 分）
2．（ 12 分）已知数列 {an }的前 n 项的和为 Sn，且 an Sn Sn 1 (n 2,Sn 0) 且 a1 2 .
……8 分
（Ⅱ）因为 O 为 A1B 中点，所以点 B 到平面 AB1D 的距离等于点 A 1 到平面 AB1D 的距
离.由（Ⅱ）可知 B1D⊥平面 A 1ACC1，所以平面 AB 1D ⊥平面 A 1ACC1 ，且平面 AB1D ∩平面
A 1ACC1=AD.
过点 A 1 作 A 1H⊥ AD ，垂足为 H ，则 A1H ⊥平面 AB1D.
所以 A 1C1⊥B1D.
在正三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AA 1⊥平面 A 1B1C1
所以 AD ⊥B1D，
所以∠ADA 1 是二面角 A1— B1D—A 的平面角……6 分
在 Rt△ADA 1 中， tg ADA1 AA1
3.
A1 D
所以∠ ADA 1=60 °，即二面角 A1 — B1D — A 等于 60 °.
22
解：（Ⅰ） f ( x) sin( x ) sin( x ) cos x a 3 sin x cos x a ……2

2015届高三理科数学二轮复习中档题压轴题训练10份

高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。

高三数学中档题详细规范标准答案(全)

高三数学中档题训练26班级姓名1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值；（Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.3．已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与m S 2的大小，并说明理由！高三数学中档题训练27班级姓名1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元。

高考数学中档难度题精选

高考数学中档难度题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2) 求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q }是等差数列？若存在，试求出p 、q应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3.（2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q ＝An+B,即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE. （Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B 的正弦值. 解：（Ⅰ）作AO ⊥平面BCD 于O,由正三棱锥的性质可知O 为底面中心，连CO,则CO ⊥BD,由三垂线定理知AC ⊥BD ，又AC ⊥ED,∴AC ⊥平面ABD,∴AC ⊥AD, AB ⊥AC,AB ⊥AD.在Rt △ACD 中，由AC 2+AD 2=2AC 2=a 2 可得：AC=AD=AB=22a .∴V=V B-ACD =13·12·AC ·AD ·AB=224a 3.（Ⅱ）过E 作EG ⊥平面BCD 于G ，过G 作GH ⊥FD 于H ，连EH ，由三垂线定理知EH ⊥FD,即∠EHG 为二面角E-FD-B 的平面角. ∵EG ＝12 AO 而AO ＝V B-ACD 13·S △BCD =66a ,∴EG=612a .又∵ED ＝AE 2+AD 2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF ∥AC ，∴EF ⊥DE.∴在Rt △FED 中，EH ＝EF ·ED DF =1512a ∴在Rt △EGH 中，sin ∠EHG ＝EG EH =105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x 、y ∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy );②当x ∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12).A BCDE FOG H解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. 又令x ∈（－1,1），则-x ∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x 2)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数. （Ⅱ）令－1<x 1<x 2<1,则x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0,于是f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在定义域上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f xx x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即Θ解得r= 2 ,z=1+2i.解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i.解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθΘ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。

高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)

中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。

辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(多选中档题)练习(附答案)

辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项（多选中档题）练习1．（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =2．（2021•新高考Ⅱ）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切3．（2022•沈阳一模）已知圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为直线l 上一动点，过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则( )A ．点P 到圆心的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB ∆的面积为34．（2022•沈阳一模）已知棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中M 为11B C 中点，点P 在正方体的表面上运动，且总满足MP 垂直于MC ，则下列结论正确的是( ) A ．点P 的轨迹中包含1AA 的中点B ．点P 在侧面11AA D D 内的轨迹的长为4C ．MPD ．直线1CC 与直线MP5．（2022•沈河区校级二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，2()2f x x x =-+，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．当[2x ∈，3]时，2()66f x x x =-+-C ．当[2x ∈，3]时，()f x 单调递增D ．(2022)0f =6．（2022•大连模拟）已知抛物线2:2C y px =，C 的准线与x 轴交于K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，连接AK 、BK ，设AB 的中点为P ，过P 作AB 的垂线交x 轴于Q ，下列结论正确的是( ) A ．||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅B ．tan cos AKF PQF ∠=∠C ．AKB ∆的面积最小值为22pD ．||2||AB FQ =7．（2022•辽宁一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是( ) A ．1ab a b +>+B ．2log ()1a b +>C ．11a b a b+<+ D ．11a b a b+>+ 8．（2022•辽宁模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的点（不包括端点），则下列说法正确的是( )A ．1A M ⊥平面ABMB ．三棱锥P ABM -的体积的取值范围是C ．存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒D ．存在点P ，使得AP 与BM 垂直9．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数()(1)x a f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，且()f x 仅有一个零点，则下列选项正确的是( ) A ．e 是()f x 的零点 B ．()f x 在(1,)e 上单调递增 C ．1x =是()f x 的极大值点D ．f （e ）是()f x 的最小值10．（2022•辽宁模拟）在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起，使点A 至点(P P 在平面ABCD 外）的位置，则( ) A ．在折叠过程中，总有BD PC ⊥B ．存在点P ，使得2PC =C ．当1PC =时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为32πD ．当三棱锥P BCD -的体积最大时，32PC =11．11．（2022•望花区校级模拟）已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，，，，，则 A ．B ．C ．D ．12．（2022•辽宁模拟）如图，几何体ABCDEFG 的底面是边长为3的正方形，AE ⊥平面ABCD ，////AE CF DG ，1AE CF ==，3DG =，则下列说法正确的是( )A ．BF 与EG 为异面直线B ．几何体ABCDEFG 的体积为12C ．三棱锥G BCD -的外接球表面积为27πD ．点A 与点D 到平面BFG 的距离之比为3:213．（2022•辽宁一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率()f x ()()f x f x π-=--()f x ()cos (2g x x x π=≠-1(x 1)y 2(x 2)y 3(x 3)y 4(x 4)y ()412i i x π==∑412i i x π==-∑412i i y π==-∑410i i y ==∑存在的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且2222AB BF BF F A F A AB ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是( ) A ．A ，B 两点不可能同在C 的左支上B ．2ABF ∆为直角三角形C ．若11||||BF AF >，则1||2AF a =D ．若x 轴上存在点D 满足230BD F A +=，则C14．（2022•辽宁模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n nn S a a b =-+，在数集{1-，0，1}中随机抽取一个数作为a ，在数集{3-，0，3}中随机抽取一个数作为b ．在这些不同数列中随机抽取一个数列{}n a ，下列结论正确的是( ) A ．{}n a 是等差数列的概率为13B ．{}n a 是递增数列的概率为29C ．{}n a 是递减数列的概率为13D ．*2()n S S n N ∈…的概率为1315．（2022•抚顺一模）已知函数3()f x x ax b =++，其中a ，b R ∈，则下列条件中使得函数()f x 有且仅有一个零点的是( ) A ．a b <，()f x 为奇函数 B ．2(1)a ln b =+C ．1a =-，1b =D ．3a =-，240b -…16．（2022•丹东模拟）设0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，()f x '为函数()x x f x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则( )A ．f （1）的最小值为2B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在(0,)+∞内为增函数17．（2022•铁东区校级模拟）已知函数224,0()21,0xx x x f x x -⎧+<=⎨-⎩…，若关于x 的方程24()4()230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为( ) A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-18．（2022•沈河区校级四模）数列{}n a 的首项12a =，对一切正整数n ，都有121n n n a a a +=-，则( ) A ．对一切正整数n 都有1n a >B ．数列{}n a 单调递减C ．存在正整数n ，使得22n n a a =D ．*10()101nnn N ∈-都是数列{}n a 中的项 19．（2022•锦州模拟）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率 50% 30% 20% 优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A ，2A ，3A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B 表示买到的是优质品，则( ) A ．2()30%P A =B ．3()70%P BA =C ．1(|)80%P B A =D ．P （B ）81%=20．（2022•大连二模）已知在平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)C ，(2,0)D -，(2,0)E ，P 为该平面上一动点，记直线PD ，PE 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k ⋅=-，设点P 运动形成曲线F ，点M ，N是曲线F 上位于x 轴上方的点，且//MA NB ，则下列说法正确的有( )A ．动点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．PAB ∆C ．||||PA PC +的最大值为5D ．||||MA NB ⋅的最小值为9421．（2022•辽宁模拟）使直线y ax b =+与曲线3y x =有且只有一个公共点的一组a ，b 的值为( ) A ．3a =，2b =-B ．3a =，3b =-C ．1a =，2b =-D ．1a =-，2b =-22．（2022•辽宁二模）已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．||1ab b>+ 23．（2022•辽宁模拟）对于非零向量,m n ，定义运算“:||||sin?,?m n m n m n ''=⊗⊗．已知两两不共线的三个向量,,a b c，则下列结论正确的是( )A ．若a b ⊥ ，则||||a b a b =⊗B ．()()a b c a b c =⊗⊗C ．()a b a b =-⊗⊗D ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗24．（2022•鞍山模拟）已知函数22log ,(02)()813,(2)x x f x x x x ⎧<<=⎨-+⎩…，若()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列命题正确的是( )A ．01a <<B ．1292)2x x +∈C ．123421(10,)2x x x x +++∈ D ．122x x +∈25．（2022•辽宁三模）已知函数()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为2π，图象沿x 轴向左平移12π单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12πB ．当[,]62x ππ∈时，函数()f x 的最小值为C ．若444sin cos ((0,52πααα-=-∈，则()4f πα+的值为45-D ．函数()f x 的减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈26．（2022•沈阳模拟）函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，||)2πϕ…的部分图像如图所示，且f （a ）f =（b ）0=，对不同的1x ，2[x a ∈，]b ，若12()()f x f x =，有12()f x x +=，则( )A ．(0)f =B ．3a b π+=C ．()f x 在5(12π-，)12π上单调递增D ．()f x 在区间(3π，5)6π内有极大值27．（2022•辽宁模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点M 为双曲线右支上一点，设12F MF θ∠=，则下列说法正确的是( ) A ．线段1F M 长度的最小值为a c +B ．线段2F M 长度的最小值为2b aC ．若当2πθ=时，2(OMF O ∆为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C 1+D ．当6πθ=时，若直线1F M 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的渐近线的斜率的绝对值为3-28．（2022•辽阳二模）已知0ω>，函数()sin()6f x x πω=-在[,63ππ上单调递增，且对任意[,]84x ππ∈，都有()0f x …，则ω的取值可以为( ) A ．1B ．43C ．53D ．229．（2022•葫芦岛二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是( ) A ．14a b <+< B ．11()()4b a a b ++…C ．2211()()b a a b+>+D ．2211()()a b a b+>+30．（2022•中山区校级一模）将数列{21}n -中的各项依次按如下规律组成有序数组：第一组1个数，第二组2个数，第三组4个数，第四组8个数，，即（1），(3,5)，(7，9，11，13)，(15，17，19，21，23，25，27，29)，，则以下结论中正确的是( ) A ．第10组的第一个数为1023B ．2021在第11组内C ．前10组一共有1023个数D ．第10组的数字之和19(2S ∈，202)31．（2022•沈阳模拟）如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为形，底面ABCD 为矩形，CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的有( )A ．CQ ⊥平面PADB ．直线QC 与PB 是异面直线C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为32．（2022•辽宁模拟）已知函数2()cos()(0)3f x x πωω=->在区间[0，]π上恰好能取到2次最大值，则下列说法中正确的有( ) A ．()f x 在(0,)π上有5个零点B ．ω的取值范围为814[,)33C ．()f x 在(0,)6π上一定有极值D ．()f x 在(0,3π上不单调33．（2022•沙河口区校级一模）下列说法中正确的是( ) A ．若20352049x y =，则0x y ==B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足()0xf x …的x 的取值范围为(-∞，2][2- ，)+∞D ．若25log 3m =，2log n =，则0mn m n <+<34．（2022•辽宁三模）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在[,36ππ-上单调，且4()()(633f f f πππ==--，则ω的取值可能为( ) A ．35B ．75 C ．95D ．12735．（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是( )A ．命题“0x ∀>，30x x π+…”的否定是“30000,0x x x π∃+<…” B ．用二分法求函数3()22f x x x =-+在(2,0)x ∈-内的零点近似解时，在运算过程中得到(1)0f ->，( 1.5)0f ->，( 1.75)0f ->，则可以将 1.875-看成零点的近似值，且此时误差小于18C ．甲乙丙丁四人围在圆桌旁，有6种不同的坐法D ．已知(,)P a b 为平面直角坐标系中一点，将向量OP绕原点O 逆时针方向旋转θ角到OQ 的位置，则点Q 坐标为(cos sin ,sin cos )a b a b θθθθ-+36．（2022•和平区校级模拟）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是ABC ∆的重心B ．若向量0OA OB OC ++=，且||||||OA OB OC == ，则ABC ∆是正三角形C ．若O 是ABC ∆的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-D ．若240OA OB OC ++=，则::4:1:2OAB OBC OAC S S S ∆∆∆=37．（2022•葫芦岛一模）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线//MN 平面ABC 的是( )A ．B ．C ．D ．38．（2022•丹东模拟）已知a ，b ，c 为单位向量，若230a b c ++= ，则( ) A ．||2a c -=B ．b c =C ．0a b b c ⋅+⋅=D ．320a b c ++=参考答案1．（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【答案详解】设22AB ED FB ===，ED ⊥ 平面ABCD ，||ED ∴为四棱锥E ABCD -的高， //FB ED ，||FB ∴为三棱锥F ABC -的高，平面//ADE 平面FBC ，∴点E 到平面FBC 的距离等于点D 到平面FBC 的距离，即三棱锥E FBC -的高||2DC ==，几何体的体积111||||||4333E ABCD E FBC E ABF ABCD FBC ABF V V V V S ED S DC S AB ---∆∆=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，114||33ACD V S ED ∆=⨯⨯=，212||33ABC V S FB ∆=⨯⨯=，3122V V V V =--=．故C 、D 正确，A 、B 错误．故选：CD ．2．（2021•新高考Ⅱ）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案详解】点A 在圆C 上， 222a b r ∴+=，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ===，∴直线与圆C 相切，故A 选项正确，点A 在圆C 内， 222a b r ∴+<，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ==>，∴直线与圆C 相离，故B 选项正确，点A 在圆C 外， 222a b r ∴+>，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ==<，∴直线与圆C 相交，故C 选项错误，点A 在直线l 上， 222a b r ∴+=，圆心(0,0)C 到直线l 的距离为22d r ===，∴直线与圆C 相切，故D 选项正确．故选：ABD ．3．（2022•沈阳一模）已知圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为直线l 上一动点，过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则( )A ．点P 到圆心的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB ∆的面积为3【答案详解】点P 到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d ==A 正确；由平面几何知识知线段PA ==B 错误；由向量运算可知PA PB ⋅的最小值为PA 长度的最小同时APB ∠最大时，所以PA =60APB ∠=︒，所以cos 603PA PB ⋅=︒=，故C 正确；由平面几何知识知线段PA 长度的最小时，PAB ∆的面积最小值为1322ABP S APB ∆=∠=<，所以存在点P ，使得PAB ∆的面积为3．故D 正确；故选：ACD ．4．（2022•沈阳一模）已知棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中M 为11B C 中点，点P 在正方体的表面上运动，且总满足MP 垂直于MC ，则下列结论正确的是( ) A ．点P 的轨迹中包含1AA 的中点B ．点P 在侧面11AA D D 内的轨迹的长为4C ．MP 长度的最大值为4D ．直线1CC 与直线MP 所成角的余弦值的最大值为5【答案】BCD【答案详解】如图，取11A D 的中点E ，分别取11A AB B 上靠近1A ，1B 的四等分点F ，G ，连接EM ，EF ，FG ，MG ，易知//EM FG 且EM FG =，所以E ，M ，F ，G 四点共面，连接GC ，因为22222222222255325((),(),(241624416a a a a a a a MG MC a GC a =+==+==+=，因此222MG MC GC +=，所以MG MC ⊥，易知ME MC ⊥，所以MC ⊥平面MEFG ，即点P 的轨迹为四边形MEFG （不含点)M ，易知点P 的轨迹与侧面11AA D D 的交线为EF ，由EF 不过1AA 的中点，故A 选项错误；又4EF MG a ==，故B 选项正确；根据点P 的轨迹可知，当P 与F 重合时，MP 最大，易知FG ⊥平面11BB C C ，则FG MG ⊥，连接MF，所以4MF ==，故C 选项正确；由于点P 的轨迹为四边形MEFG （不含点M )，所以直线1CC 与直线MP 所成的最小角就是直线1CC 与平面MEFG 所成的角，又向量1CC 与平面MEFG 的法向量CM的夹角等于1C CM ∠，且1sin 2aC CM ∠==，所以直线1CC 与平面MEFG即直线1CC 与直线MP所成角的余弦值的最大值等于5，故D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022•沈河区校级二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，2()2f x x x =-+，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．当[2x ∈，3]时，2()66f x x x =-+-C ．当[2x ∈，3]时，()f x 单调递增D ．(2022)0f =【答案】ACD【答案详解】因(1)(1)f x f x +=-，则有函数()f x 图象关于1x =对称，A 正确；由(1)(1)f x f x +=-得(2)()f x f x +=-，又R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，因此有(2)()f x f x +=，于是得函数()f x 是周期为2的周期函数，当[2x ∈，3]时，2[0x -∈，1]，则22()(2)(2)2(2)68f x f x x x x x =-=--+-=-+-，B 不正确；因当[2x ∈，3]时，2()68f x x x =-+-，因此()f x 在[2，3]上单调递增，C 正确；因函数()f x 是周期为2的周期函数，则(2022)(0)0f f ==，D 正确；故选：ACD ．6．（2022•大连模拟）已知抛物线2:2C y px =，C 的准线与x 轴交于K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，连接AK 、BK ，设AB 的中点为P ，过P 作AB 的垂线交x 轴于Q ，下列结论正确的是( ) A ．||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅B ．tan cos AKF PQF ∠=∠C ．AKB ∆的面积最小值为22pD ．||2||AB FQ =【答案】BD【答案详解】设直线AB 的倾斜角为α，即AFx α∠=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，对于A 选项：设直线AB 为2p x my =+，联立直线AB 与抛物线方程222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化简整理可得，2220y pmy p --=，由韦达定理可得，122y y pm +=，212y y p =-， (,0)2pK -， 2212121212*********()220()()()()22AK BKy y y y my y p y y mp p mk k p p my p my p my p my p my p my p x x ++-+∴+=+=+===++++++++，x ∴轴为AKB ∠的角平分线，∴根据角平分线的性质可得，||||||||AF AK BF BK =，即||||||||AF BK AK BF ⋅=⋅，故A 正确，对于B 选项：过A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，则11tan 2y AFK p x ∠=+，111cos cos()sin 2||2y y PQF pAF x παα∠=-===+，所以tan cos AFK PQF ∠=∠，故B 正确；对于C 选项：212121||||||2222AKB AKF BKF p pS S S KF y y y y p p ∆∆∆=+=-=-⋅=…，当12||||2y y AB p -==，即AB x ⊥时，取等号，故AKB ∆的面积最小值2p ，故C 错误；对于D 选项：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减121212()()2()y y y y p x x +-=-，12121202tan y y p px x y y y -===-+，所以PQ 方程为000()y y y x x p -=--，令0y =，000()yy x x p-=--，则0x p x =+，所以0(Q p x +，0)，所以00||22p pFQ p x x =+-=+，所以120||22||AB x x p x p FQ =++=+=，故D 正确；故选：BD ．7．（2022•辽宁一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是( ) A ．1ab a b +>+B ．2log ()1a b +>C ．11a b a b+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD【答案详解】对于AC ，取2a =，1b =，显然错误，对于B ，0a > ，0b >，1ab >且a b ≠，222log ()log log 21a b ∴+>>=，故B 正确，对于D ，1111()(()(1)()0ab a b a b a b a b ab ab-+-+=+-=+⋅> ，11a b a b∴+>+，D 正确，故选：BD ．8．（2022•辽宁模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的点（不包括端点），则下列说法正确的是( )A ．1A M ⊥平面ABMB ．三棱锥P ABM -的体积的取值范围是(0,)3C ．存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒D ．存在点P ，使得AP 与BM 垂直【答案】BC【答案详解】由题意得1112A C MC ==．则1AM A M BM =====1A B ==，所以1A M 与BM 不垂直．故A 错误；由22211AM A M A A +=，所以1AM A M ⊥，所以1AM A M BM =====又PM ∈，则1(0,)333P ABM B AMP AMP V V S PM --∆===∈，故B 正确； BP 与平面111A B C 所成的角即为BP 与平面ABC 所成的角，设为α，易知当点P 与M 重合时，α最小，此时45MBC α=∠=︒，当点P 与1A 重合时，α最大，此时11,tan 2AA ABA ABαα=∠==，此时60α>︒，故存在点P ，使得BP 与平面111A B C 所成的角为60︒，故C 正确；若AP BM ⊥，设AC 中点为N ，所以BN AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BN ⊂平面ABC ，所以BN ⊥平面11ACC A ，AP ⊂平面11ACC A ，所以BN AP ⊥，又BN BM B = ，则AP ⊥平面BNM ，因为MN ⊂平面BNM ，所以AP MN ⊥，因为tan 2MNC ∠=，tan 0PAC ∠>，故AP 与MN 不垂直，故不合题意，故D 错误．故选：BC ．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数()(1)x a f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，且()f x 仅有一个零点，则下列选项正确的是( ) A ．e 是()f x 的零点 B ．()f x 在(1,)e 上单调递增 C ．1x =是()f x 的极大值点D ．f （e ）是()f x 的最小值【答案】ACD【答案详解】取()0x a f x a x =-=，即x a a x =，两边取对数得，xlna alnx =，即lnx lnax a=有且只有一个解，设()lnxh x x=，21()lnx h x x -'=，函数()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，画出图象如图所示，故1lna a e =或0lnaa<，解得a e =或01a <<（舍去），故a e =， ()x e f x e x =-，可得f （e ）0=，e 是()f x 的零点，故A 正确； 1()x e f x e ex -'=-，令1()0x e f x e ex -'=-=，即1x e e ex -=，两边取对数1(1)x e lnx =+-，画出函数11x y e -=-和y lnx =的图象，根据图象知，当(1,)x e ∈时，11x lnx e -<-，故1()0x e f x e ex -'=-<，函数()f x 单调递减；当(0,1)x ∈和(,)e +∞时，1()0x e f x e ex -'=->，函数()f x 单调递增，所以1x =是()f x 的极大值点，f （e ）是()f x 的极小值，又0x →时，()1f x →，可得f （e ）是()f x 的最小值．故B 错误，CD 正确．故选：ACD ．10．（2022•辽宁模拟）在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起，使点A 至点(P P 在平面ABCD 外）的位置，则( ) A ．在折叠过程中，总有BD PC ⊥B ．存在点P ，使得2PC =C ．当1PC =时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为32πD ．当三棱锥P BCD -的体积最大时，32PC =【答案】AC【答案详解】如图所示，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，则BE PC ⊥，DE PC ⊥，因为BE DE E = ，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以PC ⊥平面BDE ，又BD ⊂平面BDE ，所以BD PC ⊥，A 项正确；在菱形ABCD 中，1AB =，120ABC ∠=︒，所以AC =，当ABD ∆沿对角线BD 折起时，0PC <<，所以不存在点P ，使得2PC =，B 项错误；当1PC =时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球，因为正方体的各面的对角线长为1．所以正方体的棱长为2，设外接球的半径为R ，则222341()22R =+=，所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==，C 项正确；当三棱锥P BCD -的体积最大时，平面PBD ⊥平面BCD ，取BD 的中点O ，连接PO ，OC ，易知PO ⊥平面BCD ，则PO OC ⊥，又12PO OC AC ===所以2PC ==，D 项错误．故选：AC ．11．（2022•望花区校级模拟）已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，，，，，则 A ．B ．C ．D ．【答案】【答案详解】由，可得的图象关于点，对称，的图象也关于点，对称，则，，故选：．12．（2022•辽宁模拟）如图，几何体ABCDEFG 的底面是边长为3的正方形，AE ⊥平面ABCD ，////AE CF DG ，1AE CF ==，3DG =，则下列说法正确的是( )A ．BF 与EG 为异面直线B ．几何体ABCDEFG 的体积为12C ．三棱锥G BCD -的外接球表面积为27πD ．点A 与点D 到平面BFG 的距离之比为3:2【答案】ABC()f x ()()f x f x π-=--()f x ()cos ()2g x x x π=≠-1(x 1)y 2(x 2)y 3(x 3)y 4(x 4)y ()412i i x π==∑412i i x π==-∑412i i y π==-∑410i i y ==∑BD ()()f x f x π-=--()f x (2π-0)()cos ()2g x x x π=≠-(2π-0)412()2i i x ππ==⨯-=-∑41200i i y ==⨯=∑BD【答案详解】在DG 上取两个点H ，I ，使得||||||1DH HI IG ===，连接AH ，HF ，EI ，由//DH CF 且DH CF =，则四边形DHFC 为平行四边形，则//HF DC 且HF DC =，又//DC AB 且DC AB =，所以//HF AB 且HF AB =，所以四边形AHFB 为平行四边形，则//AH BF ，同理可得AEIH 为平行四边形，则//EI AH ，所以//EI BF ，而GE EI E = ，则GE 与BF 不平行．BF ⊂/平面ADGE ，AH ⊂平面ADGE ，所以//BF 平面ADGE ，所以BF 与EG 为异面直线，故选项A 正确．由底面ABCD 为正方形，则AB AD ⊥，AE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AE AB ⊥，又AE AD A = ，所以AB ⊥平面ADGE ，由//AE CF ，则CF ⊥平面ABCD ，同理可证CB ⊥平面CFGD ，所以几何体ABCDEFG 的体积为1133B AEGD B CFGD ADGE CDQF V V S AB S BC --+=⨯+⨯1131133333123232++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选项B 正确．取BG 的中点K ，连接DK ，CK ，由上可知BDG ∆，CBG ∆均是以BG 为斜边的直角三角形，所以1||||||||||2DK KC BK KG BG ====，所以D ，B ，C ，G 四点在以K 为球心，1||2BG 为半径的球面上，又||BG ===，所以三棱锥G BCD -的外接球表面积为24()272ππ⨯=，故选项C 正确．设点A 与点D 到平面BFG 的距离分别为1h ，2h ，连接AC 交BD 于O ，则OC BD ⊥，由条件可得DG ⊥平面ABCD ，所以DG OC ⊥，且DB DG G = ，所以OC ⊥平面DBG，1||||2OC AC ==，所以211119||3333222D BFG BFG F BDG BDG V S h V S CO --=⨯==⨯=⨯⨯⨯=，由题意2GH DH =，所以G 点到平面ABFH 的距离是D 点到平面ABFH 的距离的2倍， 11112223313332A BFG BFG G ABF D ABF F ABD V S h V V V -∆---=====⨯⨯⨯⨯⨯=，所以1232932A BFG D BFG V h V h --===，故选项D 不正确．故选：ABC ．13．（2022•辽宁一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率存在的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且2222AB BF BF F A F A AB ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是( ) A ．A ，B 两点不可能同在C 的左支上B ．2ABF ∆为直角三角形C ．若11||||BF AF >，则1||2AF a =D ．若x 轴上存在点D 满足230BD F A +=，则C【答案】ACD【答案详解】由222AB BF BF F A ⋅=⋅ ，得2BF ．2()0AB AF +=，记线段2BF 的中点为E ，则222()20BF AB AF BF AE ⋅+=⋅=，所以直线AE 是线段2BF 的垂直平分线，所以2||||AB AF =，同理可证得2||||AB BF =，所以2ABF ∆为等边三角形，画图可知，此时A ，B 不可能同在C 的左支上，A 项正确，B 项错误；如图所示，若11||||BF AF >，则点A 在线段1BF 上，1211||||||||||2BF BF BF BA AF a -=-==，C 项正确；不妨设点A 在点B 的左侧，设12||2F F c =，因为230BD F A += ，所以2//BD F A ，所以△12F AF ∽△1F BD ，所以2||4F D c =，在等边三角形2ABF 中，设22||||||AF BF AB m ===，则1||3,||2m BD m AF ==，由双曲线的定义可得21||||2AF AF a -=，所以22mm a -=，即4m a =，① 因为2ABF ∆是等边三角形，所以2260F BD AF B ∠=∠=︒，在△2F BD 中，2222222222||||||9161cos 2||||232BF BD F D m m c F BD BF BD m m +-+-∠===⋅⋅，化简可得22716m c =，②由①②可得227c a =，所以e =D 项正确；故选：ACD ．14．（2022•辽宁模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n nn S a a b =-+，在数集{1-，0，1}中随机抽取一个数作为a ，在数集{3-，0，3}中随机抽取一个数作为b ．在这些不同数列中随机抽取一个数列{}n a ，下列结论正确的是( ) A ．{}n a 是等差数列的概率为13B ．{}n a 是递增数列的概率为29C ．{}n a 是递减数列的概率为13D ．*2()n S S n N ∈…的概率为13【答案】AB【答案详解】24n nn S a a b =-+ ，∴当1n =时，13a b a =-，当1n >时，125n n n n a S S a a -=-=-，若{}n a 是等差数列，则2153a a b a ⨯-=-，解得0b =， ∴在数集{3-，0，3}中取到0即可，概率为13，故A 正确；若{}n a 是递增数列，则1a =，且12a a <，即3b a a -<-，解得2b a <， 3b ∴=-或0b =，{}n a ∴是递增数列的概率为122339⨯=，故B 正确；与证明B 的结论同理得到C 错误；由已知得2(2)4n S a n b a =-+-，若0a =，则n S n =，满足2n S S …，概率为13，若0a ≠，2S 是n S 的最小值，则1a =-，概率为13，2n S S ∴…的概率为112333+=，故D 错误．故选：AB ．15．（2022•抚顺一模）已知函数3()f x x ax b =++，其中a ，b R ∈，则下列条件中使得函数()f x 有且仅有一个零点的是( ) A ．a b <，()f x 为奇函数 B ．2(1)a ln b =+C ．1a =-，1b =D ．3a =-，240b -…【答案】BC【答案详解】由题知2()3f x x a '=+，对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，易知()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +…，所以0a …，()0f x '…，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，2()313(f x x x x '=-=-+，()f x 的极大值为(10f =->，极小值为10f =->，可知()f x 仅有一个零点，C 正确，对于D ，若取2b =，则()f x 的极大值为(1)4f -=，极小值为f （1）0=，此时()f x 有两个零点，D 错误；故选：BC ．16．（2022•丹东模拟）设0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，()f x '为函数()x x f x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则( )A ．f （1）的最小值为2B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在(0,)+∞内为增函数【答案】BCD【答案详解】()f x 是偶函数， ()()f x f x ∴-=，即x x x x a b a b --+=+，即11x x x x a b a b+=+，得x xx x x x a b a b a b +=+，得()1x ab =，得1ab =，即1b a=，则()x x f x a a -=+， 0a > ，1a ≠，f ∴（1）12a a =+=…，当且仅当1a =时，取等号，但1a ≠，f ∴（1）2>，故A 错误，()()x x x x f x a lna a lna lna a a --'=-=-，则()()()()x x x x f x lna a a lna a a f x --'-=-=--=-'，即()f x '为奇函数，故B 正确，当1a >时，0lna >，x y a =为增函数，x y a -=为减函数，则x x y a a -=-为增函数，此时()f x '为增函数，当01a <<时，0lna <，x y a =为减函数，x y a -=为增函数，则x x y a a -=-为减函数，此时()f x '为增函数，综上()f x '为增函数，故C 正确，当0x >时，由C 知，()f x '在(0,)+∞上为增函数，则()(0)110f x f '>'=-=，即()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上为增函数，故D 正确，故选：BCD ．17．（2022•铁东区校级模拟）已知函数224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-⎩…，若关于x 的方程24()4()230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为( ) A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-【答案】BCD【答案详解】画出()f x 的图象如右上图，令()f x t =，要使x 的方程有5个不同的实根，∴由()f x 图象可知关于t 的方程244230t at a -++=必须有2个不等实根1t ，2t ，∴关于x 的两个简单方程1()f x t =与2()f x t =总共有5个不同实根，即如图()y f x =分别与1y t =与2y t =一共有5个交点，交点的横坐标即为根， 110t ∴-<<，221t -<<-或20t =或21t =-，①当20t =时，代入方程244230t at a -++=，得32a -=，2460t t ∴+=，∴13(1,0)2t =-∉-，∴32a ≠-； ②当21t =-时，代入方程244230t at a -++=，得76a =-，26710t t ∴++=，∴11(1,0)6t =-∈-，∴76a =-；③当1(1,0)t ∈-，2(2,1)t ∈--时，设2()4423g t t at a =-++，结合右图，∴(2)10190(1)670(0)230g a g a g a -=+>⎧⎪-=+<⎨=+>⎪⎩，∴3726a -<<-，综合①②③可得37(,]26a ∈--，BCD ∴都正确．故选：BCD ．18．（2022•沈河区校级四模）数列{}n a 的首项12a =，对一切正整数n ，都有121n n n a a a +=-，则( ) A ．对一切正整数n 都有1n a >B ．数列{}n a 单调递减C ．存在正整数n ，使得22n n a a =D ．*10()101nnn N ∈-都是数列{}n a 中的项【答案】ABD【答案详解】因为121n n n a a a +=-，所以11n n n n a a a a +-=-，即1(1)1n n n a a a +-=-，即111n n na a a +--=．所以1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，故111111n n a a +-=--，1111a =-．所以1{}1n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以11(1)1n n n a =+-=-，故11n a n=+．因为111n+>，所以A 选项正确，又因为11111(1)01(1)n n a a n n n n +--=+-+=<++，所以 1n n a a +<，故B 选项正确，因为对任意正整数n 都有11n a a <…，即12n a <…，所以222n a >．所以不存在正整数n 使2n n a a =，所以C 选项不正确，又因为*10(101)1()101101n n nnn N -+=∈--．且*(101)nN -∈，所以10101nn-都是数列{}n a 的项，故D 选项正确．故选：ABD ．19．（2022•锦州模拟）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率 50% 30% 20% 优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A ，2A ，3A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B 表示买到的是优质品，则( ) A ．2()30%P A = B ．3()70%P BA = C ．1(|)80%P B A = D ．P （B ）81%=【答案】ACD【答案详解】乙品牌市场占有率为30%，2()30%P A ∴=，故A 正确； 333()()(|)20%70%14%P BA P A P B A ==⨯=，故B 错误；1(|)80%P B A =，故C 正确；P （B ）112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++ 50%80%30%90%20%70%=⨯+⨯+⨯ 81%=，故D 正确．故选：ACD ．20．（2022•大连二模）已知在平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)C ，(2,0)D -，(2,0)E ，P为该平面上一动点，记直线PD ，PE 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k ⋅=-，设点P 运动形成曲线F ，点M ，N是曲线F 上位于x 轴上方的点，且//MA NB ，则下列说法正确的有( )A ．动点P 的轨迹方程为22143x y += B ．PAB ∆ C ．||||PA PC +的最大值为5D ．||||MA NB ⋅的最小值为94【答案】【答案详解】由题意得，设点0(P x ，00)(0)y y ≠，则001200,22y y k k x x ==+-，由1234k k =-，得00003224y y x x ⨯=-+-，整理，得220001(0)43x y y +=≠，BCD即动点P 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠，故A 错误；当点P 运动到椭圆的上顶点时，APB ∆的面积最大，此时122APB S ∆=⨯=，故B 正确；由椭圆的定义，得||2||4||PA a PB PB =-=-，而||||||1PC PB BC -=…，当且仅当P 、B 、C 三点共线且点P 位于第四象限时等号成立，所以(||||)4(||||)5max max PA PC PC PB +=+-=，故C 正确；由椭圆的焦半径公式，得22||,||cos cos b b MA NB a c a c αα==-+，（其中)MAE NBE α=∠=∠，有4222||||cos b MA NB a c α⋅=-，当即时，取得最小值，此时，得，所以，故正确．故选：．21．（2022•辽宁模拟）使直线与曲线有且只有一个公共点的一组，的值为 A ．， B ．，C ．，D ．，【答案】【答案详解】由题知直线与曲线有且只有一个公共点，即只有一个零点，即是单调函数或该函数的极小值大于零或极大值小于零，，当时，恒成立，此时原函数单调递增，则函数只有一个零点，故正确；当时，由得，当时，时，，故是的极大值点，是的极小值点，所以①，或②，易知选项、满足①式，正确，选项①②式都不满足错误．cos 0α=90α=︒||||MA NB ⋅33(1,),(1,)22M N -33||,||22MA NB ==9||||4MA NB⋅=D BCD y ax b =+3y x =a b ()3a =2b =-3a =3b =-1a =2b =-1a =-2b =-BCD y ax b =+3y x =3()f x x ax b =--()f x 2()3f x x a '=-0a …()0f x '…()f x D 0a >()0f x '=x =(,)x ∈-∞+∞ ()0f x '>(x ∈()0f x '<x =()f x x =()f x 0f b =-> (0f b =-< B C BC A A故选：．22．（2022•辽宁二模）已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是 A ． B ．C ．D ．【答案】【答案详解】对于，，则，故正确，对于，，，故正确，对于，由可得，，则，，故正确，对于，令，，满足，但，故错误．故选：．23．（2022•辽宁模拟）对于非零向量，定义运算“．已知两两不共线的三个向量，则下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．D ．【答案】【答案详解】对于，因为，所以，所以则，所以对；对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，如图所示，则左式，右式，所以左式右式，所以错；对于，因为，所以右式，，左式，所以对；对于，在棱长为1的正方体中，三个向量，如图所示，则左式，右式，所以左式右式，所以错．BCD a b ||1a b >+()221a b >+122a b +>24a b >||1ab b>+ABC A ||10110a b >++=>…2222(||1)||2||11a b b b b >+=++=+A B ||11a b b >++ …122a b +∴>B C A 222||1a b b >++222242||142||14||(||1)0a b b b b b b b b ->++-++-=-厖24a b ∴>C D 4a =2b =||1a b >+||||1ab b<+D ABC ,m n :||||sin?,?m n m n m n ''=⊗⊗,,a b c()a b ⊥ ||||a b a b =⊗()()a b c a b c =⊗⊗()a b a b =-⊗⊗()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗AC A a b ⊥ ,90a b <>=︒ ||||sin 90||||a b a b a b =⋅︒=⋅⊗A B ,,a b c c = a =≠B C ,,a b a b π<>=-<->||||sin a b a =-⋅⋅<- ||||sin b a b a >=⋅⋅< b >= C D ,,a b c1==11112=⋅=⋅=≠D故选：．24．（2022•鞍山模拟）已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】【答案详解】分别画出与的图象，如图所示：若有四个解，则，故正确；，AC 22log ,(02)()813,(2)x x f x x x x ⎧<<=⎨-+⎩…()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<()01a <<1292)2x x +∈123421(10,2x x x x +++∈122x x +∈ACD ()y f x =y a =()f x a =01a <<A 2122|log ||log |x x =，，，，由于在为增函数，，，，故错误；，，，易知在为增函数，，，，故正确；，，，由于在递减，在，为增函数，取最小值是，且，故的取值范围是，故正确；故选：．25．（2022•辽宁三模）已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是A ．函数图像的一个对称中心为B ．当时，函数的最小值为2122log log x x ∴-=∴211x x =1222122x x x x ∴+=+212x <<2212y x x =+(1,2)∴2212123x x +>+=12192422x x +<+=1292(3,)2x x ∴+∈B211x x =12221x x x x ∴+=+212x <<221y x x =+(1,2)12522x x ∴<+<348x x += 123421(10,)2x x x x ∴+++∈C211x x =122222x x x x ∴+=+212x <<222y x x =+2)2x ∴=y 3y <122x x +3)D ACD ()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><2πx 12π()()f x 5(,0)12π[,62x ππ∈()f xC ．若，则D ．函数的减区间为【答案】【答案详解】函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，所以：，故；由于函数的图象沿轴向左平移单位后，得到偶函数，故为偶函数．因为就是偶函数，所以，，，．所以；对于：当时，，故错误；（小技巧：将原函数向左平移个单位，若得到的是奇函数，即对称中心为，，题中向左平移后不是奇函数所以不对：若向左平移个单位得到偶函数，即可得到对称轴为．对于：当时，，函数的最小值为正确；对于：利用平方差公式原式，，．（展开），故正确；对于的单调减区间为．．，故正确；故选：．26．（2022•沈阳模拟）函数，的部分图像如图所示，且（a ）（b ），对不同的，，，若，有444sin cos ((0,52πααα-=-∈()4f πα+()f x 7[,],1212k k k Z ππππ++∈BCD ()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><2πT π=2ω=x 12π()2cos(())2cos(2)126g x x x ππωϕϕ=++=++cos x 6k πϕπ+=6k πϕπ=-+||2πϕ<∴6πϕ=-()2cos(26f x x π=-A 512x π=52(2cos 01232f ππ==-≠A 12π(12π0)12π12πB [,]62x ππ∈52666x πππ-剟5()2cos 6min f x π==B C 2222224(sin cos )(sin cos )(sin cos )5αααααα=+-=-=-224cos sin 5αα-=4cos 25α∴=(2cos(22cos(2)4263f ππππααα+=+-=+41342(cos 2cossin 2sin )2(3352525ππαα-=-=⨯-⨯=C :cosD x (02,2)k k πππ++∴2226k x k ππππ-+剟∴71212k x πππ+剟D BCD ()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>||2πϕ…f f =0=1x 2[x a ∈]b 12()()f x f x =12()f x x +=()A ．B ．C ．在，上单调递增D ．在区间，内有极大值【答案】【答案详解】根据函数，的部分图像，可得，周期，由（a ）（b ）得．，，，，．由图像可得，，，即．，，，，，，可得，故正确；根据，可得，故错误；在，上，，，函数单调递增，故正确；在区间，内，，有极大值，故正确，故选：．27．（2022•辽宁模拟）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，则下列说法正确的是(0)f =3a b π+=()f x 5(12π-)12π()f x (3π5)6πACD ()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>||2πϕ…2A =22T ππ==f f =0=22T b a π-==1x 2[x a ∈]b 12()()f x f x =12x x a b ∴+=+1212(2sin()2sin()22x x f x x a b ϕϕ+=++=++=2a b πϕ∴++=2a b πϕ+=-12()f x x +=()f a b ∴+=2sin(22)a b ϕ∴++=sin(22)sin(2)sin()sin 2a b ϕπϕϕπϕϕ∴++=-+=-==3πϕ∴=()2sin(2)3f x x π=+(0)2sin(03f π=+=A 2a b πϕ+=-6a b π+=B 5(12π-)12π2(32x ππ+∈-)2π()f x C (3π56π2(,2)3x πππ+∈()f x D ACD 1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>M 12F MF θ∠=()。

(浙江专用)高考数学考前三个月中档大题规范练数列

1． (2013·四川)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解设该数列的公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.2． (2013·天津)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.3． (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n.从而B n ＝1＋(n －1)·2n.4．已知f (x )＝－4＋1x2，点P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上且a 1＝1，a n >0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a 2n ·a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *，存在正整数t ，使得S n <t2－t －12恒成立，求最小正整数t 的值．(1)证明 ∵－1a n ＋1＝－4＋1a 2n ，∴1a 2n ＋1－1a 2n＝4.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是以1为首项，4为公差的等差数列．∴1a 2n＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝14n －3. (2)解令b n ＝a 2n ·a 2n ＋1＝14n －34n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1.∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14(1－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1<14，对于任意的n ∈N *使得S n <t 2－t －12恒成立，∴只要14≤t 2－t －12，∴t ≥32或t ≤－12，∴存在最小的正整数t ＝2符合题意．5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2.即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②得，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n≥4.显然，当n ＝2时，不等式成立；当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ≥C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3>C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4，综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明方法一由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列．方法二 ∵当n ≥2时，1S n －1S n －1＝2S n －1＋1S n －1－1S n －1＝2S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列．(2)解由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n . 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1－2⎝⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72n ≥2.。

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1 高考数学中档题系列训练一、三角、向量 1.已知向量)cos2sin7,cossin6(),cos,(sinba，设函数baf)(. (Ⅰ)求函数)(f的最大值； (Ⅱ)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，()6fA，且ABC 的面积为3，232bc,求a的值.

2.已知ABC中，(tan1)(tan1)2,2ABAB，求：（1）角C的度数；（2）求三角形ABC面积的最大值。 2

3.已知cba,,分别是ABC中角CBA,,的对边，且222sinsinsinsinsinACBAC （1）求角B的大小；（2）若3ca，求tanA的值．

4.在ABC中，已知内角32,3BCA，设内角xB，周长为y．（1）求函数)(xfy的解析式和定义域；（2）求y的最大值． 3

5.已知函数()sin()cossincos()2fxxxxx，（1）求函数()fx的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，()1fA,2,3BCB,求AC边的长.

6．已知：axxxxfcossin32cos2)(2，a为实常数． (1) 求)(xf的最小正周期； (2) 若)(xf在]36[，上最大值与最小值之和为3，求a的值． 4

7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知)1tan(tan3tantanCACA，且733,22ABCbS．求：（1）角B；（2）a + c的值．

8．已知函数xxxfcos26sin2)(．（1）当,2x时，若54sinx，求函数)(xf的值；（2）当,2x时，求函数()3sin()cos(2)63hxxx的值域；（3）把函数)(xfy的图象按向量m平移得到函数)(xg的图象，若函数)(xg是偶函数，写出m最小的向量m的坐标． 5

高考数学中档题系列训练一、三角、向量 1.已知向量)cos2sin7,cossin6(),cos,(sinba，设函数baf)(. (Ⅰ)求函数)(f的最大值； (Ⅱ)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，()6fA，且ABC 的面积为3，232bc,求a的值. 解:(Ⅰ))cos2sin7(cos)cossin6(sin)(baf 226sin2cos8sincos4(1cos2)4sin22

42sin(2)24 max()422f

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()fA42sin(2)264A，2sin(2)42A 因为02A，所以43244A，2,444AA 12sin324ABCSbcAbc62bc，又232bc

222222cos()222abcbcAbcbcbc

22(232)12226210210a

2.已知ABC中，(tan1)(tan1)2,2ABAB，求：（1）角C的度数；（2）求三角形ABC面积的最大值。

解：记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c 6

（1）21tantantantanBABA BABAtantan1tantan 若1tantan0AB ，则 tantan0AB，ABC不存在。 1tantan1tantan)tan(BABABA 1)tan()](tan[tanBABAC (0,)CQ 34C

（2）由余弦定理222cos2cCabba，得

422222abba，4222abba abbaab22422 4)22(ab，224ab

12)224(4242sin21abCabSABC 3.已知cba,,分别是ABC中角CBA,,的对边，且222sinsinsinsinsinACBAC （1）求角B的大小；（2）若3ca，求tanA的值．

解：（1）由已知条件得：acbca222 所以21cosB，又,0B ，所以3B （2）∵ac3，由正弦定理，得ACsin3sin，且3B

所以有AAsin332sin，整理得：AAsin25cos23，从而有： 7

sin3tancos5AAA

．

4.在ABC中，已知内角32,3BCA，设内角xB，周长为y．（1）求函数)(xfy的解析式和定义域；（2）求y的最大值．

解：（1）由正弦定理知23,4sinsinsin60ACACxxo „„„„ （2分） 232,4sin()2sin603sin()3ABABxx

o „„„„.. （4分）

32)6sin(3432)32sin(4sin4xxxy)320(x

„„„„„..（8分）（2）5,66662xxQ即3x时，36maxy „„„ （12分） 5.已知函数()sin()cossincos()2fxxxxx，（1）求函数()fx的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，()1fA,2,3BCB,求AC边的长. 解： (1) 由题设知 ()sin()cossincos()2fxxxxx，

221()cossincossin(2)242fxxxxx

T (2) 2()cossincos1fAAAA 22sincos1cossinAAAA

sincosAA，

(0,)A

4A 8

sinsinACBCBA，2sinsin34AC 6AC. 6．已知：axxxxfcossin32cos2)(2，a为实常数． (1) 求)(xf的最小正周期； (2) 若)(xf在]36[，上最大值与最小值之和为3，求a的值．解：axxxf2sin32cos1)( 1)62sin(2ax （1）)(xf的最小正周期22T ；（2）由]36[，x得]656[62，x， ∴1)62sin(21x ，则 2)62sin(21x， ∴12)(maxaxf， 11)(minaxf，故332a，解得0a 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，

已知)1tan(tan3tantanCACA，且733,22ABCbS．求：（1）角B；（2）a + c的值．解：（1）)tantan1()tan(tantanCACACA，

tantantan(1tantan).tantan3(tantan1),tan3.ACBACACACB (0,)B 3B （2）233,3,sin21ABCABCSBBacS且， 6ac．

22222772cos,, ()()2(1cos),22bacacBbacacB 9

2121()4ac ，0ac 211ca

8．已知函数xxxfcos26sin2)(．

（1）当,2x时，若54sinx，求函数)(xf的值；（2）当,2x时，求函数()3sin()cos(2)63hxxx的值域；（3）把函数)(xfy的图象按向量m平移得到函数)(xg的图象，若函数)(xg是偶函数，写出m最小的向量m的坐标．解：(1)53cos,,2,5

4sinxxx

，

xxxxfcos2cos21sin232)( xxcossin35335

4．

（2） x2， 6563x，16sin21x， ()3sin()cos(2)63hxxx23172[sin()]648x17[,2]8 （3）设),(bam，所以baxxg6sin2)(，要使)(xg是偶函数，即要

26ka，即32ka， 22222()3mabkb，

当1k时，m最小，此时3a，0b，即向量m的坐标为)0,3( 9．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数2πsin()3yAx 0,0A， x∈[－4，0]时的图象，

且图象的最高点为B（－1，2）；赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD// EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求的值和DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF