专题03 点击数学思想方法基础巩固+技能提升(解析版)

专题03 点击数学思想方法基础巩固+技能提升【基础巩固】1．（2020·内江市期中）数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（ ） A ．8或﹣8 B ．4或﹣4 C ．8D ．﹣4 【答案】A.【解析】数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为8或-8，故答案为：A ．2．（2020·兴化市期中）若a 为有理数，则a 与a 的和() A ．可能是负数B ．不可能是负数C ．只可能是正数D ．只可能是0 【答案】B.【解析】解：当a≥0时，|a|-a=0，当a ＜0时，|a|-a =-2a>0，故结果一定是非负数，故答案为：B ．3．（2020·山东临沂市期中）若|a|＝|b|，则（ ）A ．a ＝bB ．a ＝﹣bC ．a ＝±bD ．a b ＝±1 【答案】C.【解析】解：∵|a|＝|b|，∴a ＝±b ，故答案为：C ．4．（2020·邳州市月考）若222a a -=-，则2636a a -+的值是________．【答案】12.【解析】解：原式=6-3（a 2-2a ）=6-3×（-2）=12故答案为12．5．（2020·临武县月考）已知代数式235x x ++的值是8，则代数式2392x x +-的值是______【答案】7.【解析】解：由x 2+3x+5=8，得x 2+3x=3，则原式＝3（x 2+3x ）-2=9-2=7，故答案为：7．6．（2020·洛阳市期中）点A 是数轴上一点，一只蚂蚁从点A 出发爬了4个单位长度到了表示的数1的点，则点A 所表示的数是____．【答案】-3或5.7．（2020·成都市期中）若||m n n m -=-，且||2m =，||5n =，则m n -=______．【答案】-3或-7.【解析】解：由题意知，m -n≤0，m≤n则m=±2，n=5故m -n=-3或-7.8．（2020·甘州月考）已知射线OA ，从O 点再引射线OB ，OC ，使∠AOB=67º31'，∠BOC=48º29'，则∠AOC 的度数为_______【答案】19°2′或116°.【解析】解：（1）OC在OA、OB之间，∵∠AOB=67º31′，∠BOC=48º29′∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=67º31′-48º29′=19°2′（2）OB在OA、OC之间∵∠AOB=67º31′，∠BOC=48º29′∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=67º31′+48º29′=115°60′=116°故答案为：19°2′或116°.9．（2019·义乌市月考）已知数轴上点A、B、C所表示的数分别是3-，7+，x．（1）求线段AB的长；AC=，①求x的值；②若点M、N分别是AB、AC的中点，求线段MN的（2）若4长度．【答案】见解析.【解析】解：(1)AB=7−(−3)=10；(2)①∵AC=4，∴|x−(−3)|=4，∴x−(−3)=4或(−3)−x=4，∴x=1或−7；②当点A. B.C所表示的数分别是−3，+7，1时，∵点M、N分别是AB、AC的中点，∴点M表示的数为2，点N的坐标是−1，∴MN=2−(−1)=3；当点A. B.C所表示的数分别是−3，+7，−7时，∵点M、N分别是AB、AC的中点，∴点M表示的数为2，点N的坐标是−5，∴MN=2−(−5)=7；∴MN=7或3．，点B表示的数为4．10．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为 2.5（1）求AB的长度；（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化，已知点M 是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．【答案】见解析.【解析】解：（1）AB=4+2.5=6.5.（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A所表示的数为-75，点B所表示的数为120；线段AB上靠近A的三等分点所表示的数为-10，线段AB上靠近B的三等分点所表示的数为55；即点M 所表示的数为-10或55．11．（2020·成都市月考）阅读理解，完成下列各题．定义：已知A 、B 、 C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2倍，则称点C 是[],A B 的2倍点．例如：如图1，点C 是[],A B 的2倍点，点D 不是[],A B 的2倍点，但点D 是[],B A 的2倍点，根据这个定义解决下面问题：（1）在图1中，点A 是 的2倍点，点B 是 的2倍点；（选用A 、B 、C 、D 表示，不能添加其他字母）（2）如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 表示的数是2-，点 表示的数是4，若点E 是[],M N 的2倍点，则点E 表示的数是 ．（3）若P 、Q 为数轴上两点，点P 在点Q 的左侧，且PQ m =，一动点H 从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P 和Q 两点的2倍点？（用含m 的代数式表示）图1图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵AC=2，AD=1，AC=2AD∴点A 是[C,D]的2倍点，∵BD=2,BC=1,BD=2BC，∴点B是[D,C]的2倍点，故答案是[C,D]，[D,C]．（2）∵AM=6，E是[M,N]的2倍点，∴点E表示的数是2．（3）∵PQ=4,PH=2t,∴QH=m-2t，∵点H恰好是P和Q两点的2倍点，∴点H是[P,Q]的2倍点或点H是[Q,P]的2倍点，即PH=2QH，QH=2PH即2t=2(m-2t)或2×2t=m-2t，解得：t=13m或t=16m.12．（2020·无锡市期中）阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离表示为|AB|（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示-3和4两点之间的距离是______．（2）若数轴上点B表示的数是-1，且|AB| = 3，则a=______．（3）在数轴上有三个点A，B，C若点A表示的数是-1，点B表示的数是3，且|AB| + |AC| = 6 ，求点C表示的数．【答案】（1）3；7；（2）-4或2；（3）1或-3．【解析】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是3，数轴上表示-3和4两点之间的距离是7，故答案为：3；7；（2）∵数轴上点B表示的数是-1，|AB| = 3，∴点B表示的数是-4或2故答案为：-4或2；（3）∵点A表示的数是-1，点B表示的数是3，∴|AB|=4∴ |AC| = 2，∴点C表示的数为1或-3．13．（2020·兴化市月考）非遗园的门票价格规定：购票人数1～40人，票价120元；购票人数41～80人，票价100元；购票人数80人以上，票价80元．（1）蚌埠路小学六（1）班36人、六（2）班46人一起去游非遗园．①如果两班都以班为单位分别购票，那么一共需多少钱？②如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少钱？（2）现又来了两个旅游团，甲团人数少于乙团人数，如果两团都以团为单位分别购票，则一共需付8080元．如果两团作为一个团体购票则需付7600元．问：两个旅游团各有多少人？【答案】（1）①8920元②2360元；（2）甲旅游团24人乙旅游团52人，或甲旅游团12人乙旅游团83人．【解析】解：（1）①120×36+100×46=8920（元），两班都以班为单位分别购票，一共需8920元．（1）②80×（36+46）=6560（元），8920-6560=2360元，两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约2360元．（2）两团作为一个团体购票，票价可能是100元，也可能是80元，分情况讨论：①两团作为一个团体购票，票价为100元时，节约的票价总额为：480（元），甲旅游团人数为：480÷（120-100）=24（人），乙旅游团人数为：52（人）；①两团作为一个团体购票，票价为80元时，（i ）甲旅游团人数1～40人，乙旅游团人数41～80人，7600÷80=95（人），设甲旅游团x 人，乙旅游团95-x 人，120x+100(95-x)=8080，解得x=-71（舍）（ii ）甲旅游团人数1～40人，乙旅游团80人以上，120x+80(95-x)=8080，解得x=12,95-12=83甲旅游团12人，乙旅游团83人；（iii ）甲旅游团人数41～80人，乙旅游团80人以上，这种情况不存在；（iiii ）甲旅游团人数41～80人，乙旅游团人数41～80人，两团分别购票则总金额为：9500元≠8080元，这种情况不存在．综上，甲旅游团24人，乙旅游团52人；或甲旅游团12人，乙旅游团83人．14．（2020·南京月考）（1）已知射线OA ，从点O 处再引两射OB 、OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒．求AOC ∠的度数．（2）已知30AOB ∠=︒，24BOC ∠=︒，15AOD ∠=︒，锐角COD ∠的度数是________．【答案】见解析.【解析】解：（1）①AOC的度数为40°或80°；（2）①COD=21°或9°或69°或39°.【技能提升】1．（2020·兴化市月考）一动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位，后退3个单位的程序运动，已知P每秒前进或后退1个单位，设n x表示第n秒点P在数轴x为（）的位置所对应的数如4x=4，5x=5，6x=4，则2012A．504B．505C．506D．507【答案】C.【解析】解：点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；9～16是3、4、5、6、7、6、5、4．根据此规律可推导出，2012=8×251+4，故x2012=251×2+4=506．故答案为：C．2．（2020·扬州市月考）若234-=，则2a b-+=______．622020b a【答案】2012.【解析】解：6b-2a2+2020=-2（a2-3b）+2020=-2×4+2020=2012故答案为：2012.3．（2020·思南级期中）若代数式2x x++的值是465237x x++的值是8，则代数式2________．【答案】7．【解析】解：∵2x2+3x+7=8，∴2x2+3x=1，∴4x2+6x+5=2（2x2+3x）+5=2×1+5=7．故答案为：7．4．（2020·十堰市期中）当x=﹣3时，多项式ax3+bx+1的值为-4，则当x=3时ax3+bx+4的值为_______．【答案】9.【解析】解：当x＝-3时，ax3+bx+1= a×（-3）3+b×（-3）+1=-27a-3b+1=-4，即27a+3b＝5，当x＝3时，ax3+bx+4= a×33+b×3+4=27a+3b+4=5+4=9故答案为：9．5．（2020·常州市期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与1-表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．【答案】（1）-4；（2）5；（3）12a m+或12a m-．【解析】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m +，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m -．故答案为：12a m+或12a m-6．（2020·石室月考）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设A 在原点，如图1，||||||||AB OB b a b ===-.当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边||||||||||||AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，||||||||||()||AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-③如图4，点A 、B 在原点的两边，||||||||||()||AB OB OA b a a b a b =+=+=+-=-；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离||||AB a b =-．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是______，如果2AB =，那么x 为______．（2）若x 表示一个有理数，则当x 在什么范围内时，|1||3|x x -++有最小值？请写出x 的范围及|1||3|x x -++的最小值．图1图2图3图4【答案】（1）3；|x+1|；1或-3；（2）-3≤x≤1；4.【解析】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离为3.数轴上表示x 和-1的两点距离为|x+1|.①AB=2，①|x+1|=2即x=1或x=-3．（2）代数式13x x -++表示数轴上一点到1，-3两点的距离的和，当-3≤x≤1时，有最小值为4．7．（2020·四川成都市级期中）唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚．”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知P 、Q 在数轴上分别表示有理数p 、q ，P 、Q 两点的距离表示为PQ p q =-．阅读上述材料，回答下列问题：（1）若数轴上表示x 与3的两点之间的距离是4，则x =___________．（2）当x 的取值范围是多少时，代数式23x x ++-有最小值，最小值是多少？【答案】（1）-1或7；（2）-2≤x≤3，5.【解析】解：（1）由题意知，|x -3|=4解得x=-1或x=7.（2）若代数式23x x ++-有最小值，表示在数轴上找一点x ，使其到-2与3的距离之和最小，当x 的取值范围是-2≤x≤3，取最小值为5.8．（2020·江西省丰城期中）点A ，B 为数轴上的两点，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为3，a 3＝﹣8．（1）求A，B两点之间的距离；（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C 到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为．【答案】（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9【解析】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；（3）设点P所表示的数为x，∵PQ＝m，Q点在P点右侧，∴点Q所表示的数为x+m，∴P A＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：P A+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，故答案为：1或9．9．（2020·北京延庆区期中）阅读思考：小明在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，如图1所示，线段AB，BC，CD的长度可表示为：AB==-；341BC=5=4-（-1）；()()CD==---；314>时，于是他归纳出这样的结论：如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，当b a =-（较大数-较小数）．AB b a（1）尝试应用：①如图2所示，计算：OE=______，EF=______；②把一条数轴在数m处对折，使表示-20和2020两数的点恰好互相重合，则m=______；（2）问题解决：①如图3所示，点P 表示数x ，点M 表示数-2，点N 表示数28x +，且4MN PM =，求出点P 和点N 分别表示的数；②在上述①的条件下，是否存在点Q ，使3PQ QN QM +=？若存在，求出点Q 所表示的数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①5，8；②1000；（2）①点P 表示的数为-3，点N 表示的数为2；②存在，-5或13-【解析】解：（1）①答案为：5；8．②依题意，得：2020-m=m -（-20），解得：m=1000．故答案为：1000．（2）①依题意，得：2x+8-(-2)=4(-2-x)，解得：x=-3，即P 点表示数为-3，N 点表示数为2×（-3）+8=2.②设点Q 表示的数为x ．当x<-3时，-3-x+2-x=3(-2-x)，解得：x=-5；当-3≤x≤-2时，x -(-3)+2-x=3(-2-x)，解得：x=113-（舍去）； 当-2<x<2时，x -(-3)+2-x=3(x -(-2))，解得：x=13-； 当x≥2时，x -(-3)+x -2=3(x+2)，解得：x=-5（舍去）．在上述①的条件下，存在点Q ，使PQ+QN=3QM ，点Q 表示的数为-5或13-． 10．（2020·长沙市月考）已知点A ，B 在数轴上对应的数分别为a ，b 且()2580a b ++-=． （1）求线段AB 的长；（2）若P 为数轴上任意点，设P 点对应数为x ，满足18x a x b -+-=，求P 点在数轴上对应的数.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵()2580a b ++-=∴5=080a b +-=，，解得：=58a b -=，∴A 点表示-5，B 点表示8，线段AB 的长度为8-（-5）=13（2）由题意可得：(5)818x x --+-= ①当点P 位于A 点左侧时，x ＜-5∴5818x x --+-=，解得：152x =- ②当P 点位于A 、B 之间时，-5≤x≤8∴5818x x ++-=，此方程无解③当P 点位于B 点右侧时，x ＞8∴5818x x ++-=，解得：212x = 综上，点P 在数轴上对应的数152-或212. 11．（2020·沈阳市期中）点A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B的距离的3倍，即3CA CB =，我们就称点C 是[],A B 的三倍点．（1）如图，若点A 表示的数为1-，点B 表示的数为3，点C 表示的数为2，可得3CA =，1CB =，即3CA CB =，则点C 是[],A B 的三倍点 ①若点D 表示的数为5，请说明点D 是[],A B 的三倍点；②若点E 表示的数为0，则点E 是［_______］的三倍点（数轴上不再添加其它点）； （2）点M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为4-，点N 所表示的数为1，若点P 是[],M N 的三倍点，设点P 表示的数为x ，请直接写出x 的值，并在数轴上表示出来．【答案】（1）①见解析 ②B ，A （2）见解析.【解析】解：（1）①∵AD=6，BD=2∴AD=3BD ，即D 是[A,B]的三倍点②B ，A（2）①P 是[M,N]的三倍点，①PM=3PN即|(4)|3|1|x x --=- 解得：72x =或14x =- 在数轴上表示如图所示：12．（2020·宁波市期末）已知：如图150AOB ∠=︒，在AOB ∠内部有20COD ∠=︒（AOC AOD ∠<∠）．（1）如图1，求AOD BOC ∠+∠的度数；（2）如图2，OM 平分BOC ∠，ON 平分AOD ∠，求MON ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当COD ∠从10AOC ∠=︒的位置开始，绕着点O 以每秒2︒的速度顺时针旋转t 秒时，使32BOM AON ∠∠=，求t 的值． 【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=150°+20°=170°（2）∵ON 平分∠AOD ，OM 平分∠BOC∴∠AON+∠BOM=12（∠AOD+∠BOC ）=12×170°=85° ∴∠MON=∠AOB -(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65°（3）∵∠AON=∠12∠AOD=12（10+20+2t）°=(15+t) °∠BOM=12∠BOC=12（150-10-2t）°=(70-t) °又∵∠BOM=32∠AON∴70-t=32（15+t）∴t=19。